Anreal Tugas

Tugas-1 Mata Kuliah Analisis Real Nama :Eva Herliana Utami(107017000055) Siti Muniroh(107017000071) VA Lema 1.21 Misalkan S ⊂ N dan S ≠ φ

, maka S memiliki unsur terkecil yaitu

terdapat no Є S, sehingga ganjil no ≤ n, ∀n Є S. Contoh : 1. Misal S = { x | x = bilangan ganjil ≤ 7}, S = {1, 3, 5, 7} Maka S memiliki unsur terkecil, yaitu 1, sehingga 1 < 3 < 5 < 7, ∀n Є S. 2. Misal S = { x | x = bilangan genap ≤ 5}, S = {2, 4, 3, maka S memiliki unsur, yaitu 2, sehingga 2 < 4, ∀n Є S. 3. Misal S = { x | x = bilangan prima < 3}, S = {2}, maka S memiliki unsur terkecil, yaitu 2 itu sendiri, sehingga 2 ≤ 2, ∀n Є S. 4. Misal S = { x | x = bilangan prima ≤ 7}, S = {2, 3, 5, 7}, maka S memiliki unsur terkecil, yaitu 2, sehingga 2 < 3 < 5 < 7, ∀n Є S. 5. Misal S = { x | x = bilangan genap ≤ 8}, S = {2, 4, 6, 8}, maka S memiliki unsur terkecil, yaitu 2, sehingga 2 < 4 < 6 < 8, ∀n Є S. Lema 1.2.2 jika x, y, є Q dan x < y, maka terdapat z є Q, sehingga x < z < y 1. Misal x = y=

1 3

2 3

1 2 3 1 < , maka terdapat z = є Q, sehingga x < z < y = 3 3 7 3 2 2. Misal x = 7 5 y= 7 2 3 2 5 < , maka terdapat z = є Q, sehingga x < z < y = 7 7 5 7 5 3. Misal x = 11 11 y= 13 5 11 7 < , maka terdapat z = є Q, sehingga x < z < y = 11 13 11

<

3 2 < 7 3

<

3 5 < 5 7

5 7 11 < < 11 11 13

2 21 3 y= 10 2 3 3 2 3 3 < , maka terdapat z = є Q, sehingga x < z < y = < < 21 10 13 21 13 10 2 5. Misal x = 9 17 y= 21 2 17 11 2 11 17 < , maka terdapat z = є Q, sehingga x < z < y = < < 9 21 21 9 21 21

4. Misal x =

Lema 1.2.3 (Sifat Archimedes), jika x є Q, maka terdapat n є Z, sehingga x < n 1. Misal x =

2 єQ 5

n=2єZ Sehingga x < n 2 <2 5 7 2. Misal x = єQ 2

n=4єZ Sehingga x < n 7 <4 2 5 3. Misal x = єQ 3

n=3єZ Sehingga x < n 5 <3 3 10 4. Misal x = єQ 3

n=5єZ Sehingga x < n 10 <5 3 −2 5. Misal x = єQ 7

n=0єQ Sehingga x < n −2 <0 7

Teorema 1.4.1 (sifat Archimedes) untuk setiap x, y, є R dan x > 0, terdapat n є N, sehingga n x > y

1. Misal x = 2,065 > 0 y = 3,065 Terdapat n = 4 є N Sehingga n*x > y 4 (2,065) > 3,065 8,26

> 3,065

2. Misal x = 2,902 > 0 y = 3,116 Terdapat n = 5 є N Sehingga n*x > y 5 (2,902) > 3,116 14,510 > 3,116 3. Misal x = 2,782 > 0 y = 3,312 Terdapat n = 3 є N Sehingga n*x > y 3 (2,782) > 3,312 8,246 > 3,312 4. Misal x = 1,525 y = 2,939 Terdapat n = 6 є N Sehingga n*x > y 6 (1,525) > 2,939 9,150 > 2,939 5. Misal x = 3,495 y = 4,130 Terdapat n = 7 є N Sehingga n*x > y 7 (3,495) > 4,130 24,465 > 4,130

Teorema 1.4.2 untuk setiap x, y є R dan x < y, terdapat p є Q, sehingga x < p < y

1. Misal x = 3,716 y = 4,276 3,716 < 4,276, terdapat p =

21 єQ 5

Sehingga x < p < y = 3,716 <

21 < 4,276 5

2. Misal x = 1,747 y = 2,898 1,747 < 2,898, terdapat p =

13 єQ 6

Sehingga x < p < y = 1,747 <

13 < 2,898 6

3. Misal x = 4,234 y = 5,025 4,234 < 5,025, terdapat p =

9 єQ 2

Sehingga x < p < y = 4,234 <

9 < 5,025 2

4. Misal x = 1,954 y = 2,458 1,954 < 2,458, terdapat p =

11 єQ 5

Sehingga x < p < y = 1,954 <

11 < 2,458 5

5. Misal x = 2,867 y = 3,538 2,867 < 3,538, terdapat p =

16 єQ 5

Sehingga x < p < y = 2,867 <

16 < 3,538 5

Teorema 1.4.3 untuk setiap a є R, a > 0 dan n є N terdapat x є R sehingga xn = a 1. Misal a = 5 > 0 n=2єN

Sehingga xn = a x2 = 5 x

=

5

єI

2. Misal a = 7 > 0 n=3єN Sehingga xn = a X3 = 7 x

=3 7

єI

3. Misal a = 9 > 0 n=4єN Sehingga xn = a x4 = 9 x

=

4

9

єI

4. Misal a = 11 > 0 n=5єN Sehingga xn = a x5 = 11 x

=

5

11

єI

5. Misal a = 13 > 0 n=6єN Sehingga xn = a x6 = 13 x

=

6

13

єI