Anreal Midi

TEOREMA 3.3.4 Jika barisan xnn=1∞ konvergen ke L maka setiap barisan bagian dari xnn=1∞ juga konvergen ke L 1. Misal: x=n2+nn=1∞={13,24,35,….} y=n22+n2n=1∞={13, 46,911,…..} Karena n22+n2n=1∞adalah barisan bagian dari x yang konvergen ke 1, maka y juga konvergan ke 1 2. Misal: x=15nn=1∞={15,110,115,….} y=15n2n=1∞={15, 420,345,…..} Karena 15n2n=1∞ adalah barisan bagian dari x yang konvergen ke 0, maka y juga konvergan ke 0 3. Misal: x=6n-32nn=1∞={32,94,156,….} y=3n2n2+5n=1∞={36, 129,2714,…..} Karena 3n2n2+5n=1∞adalah barisan bagian dari x yang konvergen ke 3, maka y juga konvergan ke 3 4. Misal: x=1n+2n=1∞={13,14,15,….} y=1n2+4n+4n=1∞={19, 416,125,…..} Karena 1n2+4n+4n=1∞adalah barisan bagian dari x yang konvergen ke 0, maka y juga konvergan ke 0 5. Misal: x=2n2n+3n=1∞={25,47,69,….} y=2n22n2+3n=1∞={25, 811,1821,…..} Karena 2n22n2+3n=1∞adalah barisan bagian dari x yang konvergen ke 1, maka y juga konvergan ke 1

TEOREMA 3.4.4 Jika barisab bilangan real xnn=1∞ konvergen, maka xnn=1∞ terbatas. 1. 2n3n+1n=1∞konvergen ke 23 maka, 2n3n+1n=1∞terbatas Bukti: 2n3n+1n=1∞={24,47,610,…..} Batas bawah 24

Batas atas 23 2. 19nn=1∞konvergen ke 0 maka, 19nn=1∞terbatas Bukti:19nn=1∞={19,118,127,…..} Batas bawah 0 Batas atas 19 3. 6n2n+1n=1∞konvergen ke 3 maka, 6n2n+1n=1∞ terbatas Bukti: 6n2n+1n=1∞={63,125,1817,…..} Batas bawah 63 Batas atas 2 4. n7n+1n=1∞konvergen ke 17 maka, n7n+1n=1∞erbatas Bukti: n7n+1n=1∞={18,215,322,…..} Batas bawah 18 Batas atas 17 5. n22n2+1n=1∞konvergen ke 12 maka, n22n2+1n=1∞terbatas Bukti: n22n2+1n=1∞={13,49,919,…..} Batas bawah 13 Batas atas 12 TEOREMA 3.4.7 Misalkan xnn=1∞ adalah barisan bilangan real. Jika xnn=1∞ barisan tak turun dan terbatas diatas, maka xnn=1∞ konvergen. 1. Misalkan n5n+2n=1∞adalah barisan bilangan real, jika n5n+2n=1∞ merupakan barisan tak turun dan terbatas diatas, maka n5n+2n=1∞ konvergen. Bukti: n5n+2n=1∞={17,16,317,…} -15<17
Konvergen ke 15 2. Misalkan 2nn+2n=1∞adalah barisan bilangan real, jika 2nn+2n=1∞ merupakan barisan tak turun dan terbatas diatas, maka 2nn+2n=1∞ konvergen. Bukti: 2nn+2n=1∞={23,1,615,…} -2<23<2nn+2<2 2nn+2<2 batasnya 2 Konvergen ke 2

3. Misalkan 3nn+1n=1∞adalah barisan bilangan real, jika 3nn+1n=1∞ merupakan barisan tak turun dan terbatas diatas, maka 3nn+1n=1∞ konvergen. Bukti: 3nn+1n=1∞={32,22,94,…} -3<32<3nn+1<3 3nn+1<3 batasnya 3 Konvergen ke 3

4. Misalkan n5n+2n=1∞adalah barisan bilangan real, jika n5n+2n=1∞ merupakan barisan tak turun dan terbatas diatas, maka n5n+2n=1∞ konvergen. Bukti: 2n3n+2n=1∞={25,12,611,…} -23<25<2n3n+2<23 2n3n+2<23 batasnya 23 Konvergen ke 23

5. Misalkan 3n5n+3n=1∞adalah barisan bilangan real, jika 3n5n+3n=1∞ merupakan barisan tak turun dan terbatas diatas, maka 3n5n+3n=1∞ konvergen. Bukti: n5n+2n=1∞={38,613,12,…} -35<38<3n5n+3<35 3n5n+3<35 batasnya 35 Konvergen ke 35

TEOREMA 3.4.8 Misalkan xnn=1∞ adalah barisan bilangan real. Jika xnn=1∞ barisan tak turun dan tak terbatas diatas, maka xnn=1∞ divergen ke +∞ 1. Misalkan 3n+1n=1∞ adalah barisan bilangan real,jika 3n+1n=1∞ tak naik dan tak terbatas di atas,maka 3n+1n=1∞ divergen ke +∞ Bukti : 3n+1n=1∞={4,7.10,…..} barisan tak turun dan tak terbatas di atas,maka 3n+1n=1∞ divergen +∞ 2. Misalkan 2n+2n=1∞ adalah barisan bilangan real,jika 2n+2n=1∞ tak naik dan tak terbatas di atas,maka 2n+2n=1∞ divergen ke +∞ Bukti : 2n+2n=1∞={4,6,8,…..} barisan tak turun dan tak terbatas di atas,maka 2n+2n=1∞ divergen +∞ 3. Misalkan n+5n=1∞ adalah barisan bilangan real,jika n+5n=1∞ tak naik dan tak terbatas di atas,maka n+5n=1∞ divergen ke +∞ Bukti : n+5n=1∞={6,7,8,…..} barisan tak turun dan tak terbatas di atas,maka n+5n=1∞ divergen +∞ 4. Misalkan 5n+1n=1∞ adalah barisan bilangan real,jika 5n+1n=1∞ tak naik dan tak terbatas di atas,maka 5n+1n=1∞ divergen ke +∞ Bukti : 5n+1n=1∞={6,11,16,…..} barisan tak turun dan tak terbatas di atas,maka 5n+1n=1∞ divergen +∞ 5. Misalkan n2+2n=1∞ adalah barisan bilangan real,jika n2+1n=1∞ tak naik dan tak terbatas di atas,maka n2+1n=1∞ divergen ke +∞

Bukti : n2+1n=1∞={3,6,11,…..} atas,maka n2+1n=1∞ divergen +∞

barisan tak turun dan tak terbatas di

TEOREMA 3.4.9 Misalkan xnn=1∞ adalah barisan bilangan real. Jika xnn=1∞ barisan tak naik dan terbatas dibawah,maka xnn=1∞ konvergen. 1. n3n-2n=1∞=1,12,37,….. Barisan bilangan real tak naik -13
TEOREMA 3.4.10 Misalkan xnn=1∞ adalah barisan bilangan real. Jika xnn=1∞ barisab tak naik dan terbatas dibawah, maka xnn=1∞ divergen ke -∞ 1. n1-2nn=1∞=-1,-23,-35,-47,….. Barisan bilangan real tak naik dan tak terbatas di bawah, Akan dibuktikan bahwa n1-2n→-∞ jika n→∞ apabila ∀M>0, ∃n0 ϵ N n1-2n ≤-12 , ∀n≥n0 -1≤n1-2n≤-12 divergen ke -∞ 2. 2n5-3nn=1∞=1,-2,-32,….. Barisan bilangan real tak naik dan tak terbatas di bawah, Akan dibuktikan bahwa 2n5-3n→-∞ jika n→∞ apabila ∀M>0, ∃n0 ϵ N 2n5-3n ≤-23 , ∀n≥n0 1≤2n5-3n≤-23 divergen ke -∞ 3. 3n1-4nn=1∞=-1,-67,-911,….. Barisan bilangan real tak naik dan tak terbatas di bawah, Akan dibuktikan bahwa 3n1-4n→-∞ jika n→∞ apabila ∀M>0, ∃n0 ϵ N 3n1-4n ≤-34 , ∀n≥n0 -1≤3n1-4n≤-34 divergen ke -∞ 4. n4-3nn=1∞=1,-1,-35,….. Barisan bilangan real tak naik dan tak terbatas di bawah, Akan dibuktikan bahwa n4-3n→-∞ jika n→∞ apabila ∀M>0, ∃n0 ϵ N n4-3n ≤-13 , ∀n≥n0 1≤n4-3n≤-13 divergen ke -∞

5. 4n6-5nn=1∞=4,-2,-43,….. Barisan bilangan real tak naik dan tak terbatas di bawah, Akan dibuktikan bahwa 4n6-5n→-∞ jika n→∞ apabila ∀M>0, ∃n0 ϵ N 4n6-5n ≤-45 , ∀n≥n0 4≤4n6-5n≤-45 divergen ke -∞

TEOREMA 3.4.11 Misalkan xnn=1∞ adalah barisan bilangan real. Maka xnn=1∞ mempunyai barisan bagian yang monoton. 1. n3n-2n=1∞ T1= { 1,12,34,….} T2= { 12,34,25….} T3= { 34,25,513….} ni3ni-2i=1∞ adalah barisan bagian yang tak naik dari n3n-2n=1∞ 2. 32n-2n=1∞ T1= { 1,35,37,….} T2= { 35,37,39….} T3= { 37,39,311….} 32ni+1i=1∞ adalah barisan bagian yang tak naik dari 32n+1n=1∞ 3. 13n+1n=1∞ T1= { 14,17,110,….} T2= { 17,110,113….} T3= { 110,113,116….} 13ni+1i=1∞ adalah barisan bagian yang tak naik dari 13n+1n=1∞ 4. nn+3n=1∞ T1= { 14,25,12,….} T2= { 25,12,47….} T3= { 12,47,58….} nini+3i=1∞ adalah barisan bagian yang tak naik dari nn+3n=1∞ 5. 3n4n+3n=1∞ T1= { 37,611,13,….}

T2= { 611,13,129….} T3= { 13,129,1523….} 3ni34i+3i=1∞ adalah barisan bagian yang tak naik dari 3n4n+3n=1∞