Analisis Real Ii

Nama

: Dita Mulwanasari Stantia Sari Yunihastin Jamil

Kelas

: VA

Tugas

: Analisis Real 2

Teorema 3.3.4 ∞ ∞ Jika barisan {x n }n =1 konvergen ke-L, maka setiap barisan bagiian dari {x n }n =1

juga

konvergen ke-L. Ilustrasi : ∞

2n + 3  1. x =   , memiliki  n n =1

2n + 3 = 2 , maka lim n n→∞

∞

2n + 3  x =  konvergen.  n n =1

∞

2n + 3  y =  ,merupakan  n +1 n =1

∞

barisan

bagian

dari

2n + 3  x =  maka  n n =1

∞

2n + 3  y =  konvergen.  n +1 n =1 ∞

3n +1  , memiliki  2n n =1

 2. x = 

3n + 1 3 = , maka lim 2n 2 n →∞

∞

3n +1 x = konvergen.   2n n =1

∞

 3n +1  y =  , 2n + 3 n =1

∞

merupakan

barisan

bagian

dari

3n +1 x =  maka  2n n =1

∞

 3n +1  y =  2n + 3 n =1

konvergen.

∞ 3. x = {2n} n =1 , memiliki

lim2n = 2 , maka x = {2n} n→ ∞

∞ n =1

konvergen.

∞

∞

 2n   2n  ∞ y =  , merupakan barisan bagian dari x = {2n} n =1 maka y =   n +1n =1 n +1n =1

konvergen. ∞

2n + 3   , memiliki  3n n =1

 4. x = 

2n + 3 2 = , maka lim 3n 3 n →∞

∞

2n + 3  x =  konvergen.  3n n =1

∞

∞

2n + 3  y =  ,merupakan  3n +1 n =1

barisan

bagian

2n + 3  x =  maka  3n n =1

dari

∞

2n + 3  y =  konvergen.  3n +1 n =1 ∞

1  5. x =   , memiliki n n =1

1 = 0 , maka lim n →∞ n

∞

1  x =   konvergen. n n =1

∞

1  y =  2  , merupakan barisan bagian dari  n n =1

∞

1  x =   maka n n =1

∞

1  y = 2   n n =1

konvergen.

Teorema 3.4.4 ∞ Jika barisan bilangan real {x n }∞ n =1 konvergen, maka { x n } n =1 terbatas.

Ilustrasi : ∞

 n  1 2 3 4  1.   =  , , , ,...  , memiliki 2n +1n =1 3 5 7 9 

konvergen dan memiliki batas − ∞

 2n  1 4 1 8  ,...  , memiliki  = , , , 3n + 3 n =1 3 9 2 15 

2n 2 = , sehingga lim 3 n →∞ 3n + 3

∞

 2n    3n + 3 n =1

2 2n 2 < < . 3 3n + 3 3

∞

 n  1 1 3 2   =  , , , ,...  , n + 2 n =1 3 2 5 3 

3. 

∞

 n    2n +1n =1

1 n 1 < < . 2 2n + 1 2

2. 

konvergen dan memiliki batas −

n 1 = , sehingga lim 2 n →∞ 2n + 1

memiliki

konvergen dan memiliki batas −1 <

n = 1 , sehingga lim n →∞ n + 2

n <1. n +2

∞

 n    2n +1n =1

∞

9 12  3n  3  ,... ,  =  ,2, , 4 5 n +1n =1 2 

4. 

memiliki

konvergen dan memiliki batas − 3 <

∞

 3n    n +1n =1

3n <3. n +1

∞

2n −1   3 5 7   = 1, , , ,...  , memiliki  n n =1  2 3 4 

5. 

konvergen dan memiliki batas − 2 <

3n = 3 , sehingga lim n →∞ n + 1

2n − 1 = 2 , sehingga lim n n →∞

∞

2n −1    n n =1

2n − 1 < 2. n

Teorema 3.4.7 1.

merupakan barisan bilangan real dan barisan tak turun, serta memiliki batas atas. Maka,

adalah konvergen.

2.

merupakan barisan bilangan real dan barisan tak turun, serta memiliki batas atas. Maka,

3.

adalah Konvergen.

merupakan barisan bilangan real dan barisan tak turun, serta memiliki batas atas.

Maka,

adalah Konvergen.

4.

merupakan barisan bilangan real dan barisan tak turun, serta memiliki batas atas. Maka,

adalah Konvergen.

5.

merupakan barisan bilangan real dan barisan tak turun, serta memiliki batas atas. Maka,

Teorema 3.4.8

adalah Konvergen

Misalkan { x n } n =1 adalah barisan bilangan real. Jika { x n } n =1 barisan tak turun dan tak ∞

∞

terbatas di atas, maka { x n } n =1 divergen ke + ∞ . ∞

Ilustrasi: 1.

∞ {n} ∞ n =1 = { 1, 2, 3, 4, 5, . . . } merupakan barisan bilangan real. {n} n =1 merupakan ∞ barisan tak turun dan tak terbatas atas, maka {n} n =1 adalah divergen + ∞ .

2.

{2n + 3}∞n=1 = { 5, 7, 9, . . . } merupakan barisan bilangan real. {2n + 3}∞n=1 merupakan ∞ barisan tak turun dan tak terbatas atas, maka {2n + 3} n=1 adalah divergen + ∞ .

3.

{n }

2 ∞ n =1

= { 1, 4, 9, . . . } merupakan barisan bilangan real. {n 2 }n=1 merupakan barisan ∞

tak turun dan tak terbatas atas, maka {n 2 }n=1 adalah divergen + ∞ . ∞

4.

∞ {3n}∞ n =1 = { 3, 6, 9, . . . } merupakan barisan bilangan real. {3n}n =1 merupakan ∞ barisan tak turun dan tak terbatas atas, maka {3n}n=1 adalah divergen + ∞ .

5.

∞ {n +1}∞ n =1 = { 2, 3, 4, 5, . . . } merupakan barisan bilangan real. {n +1} n =1 merupakan ∞ barisan tak turun dan tak terbatas atas, maka {n +1}n=1 adalah divergen + ∞ .

Teorema 3.4.9 ∞ ∞ Misalkan { x n } n =1 adalah barisan bilangan real. Jika { x n } n =1 barisan tak naik dan terbatas ∞ di bawah, maka { x n } n =1 konvergen.

Ilustrasi: ∞

∞

2n + 2   6 8  2n + 2   = 2, , ,... merupakan barisan bilangan real.   merupakan  2n n =1  4 6   2n n =1

1. 

∞

2n + 2   konvergen.  2n n =1

barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka 

∞

2.

∞

n 3 + 2  n 3 + 2   10 29  ,...  merupakan barisan bilangan real.  3   3  = 3, ,  n n =1  8 27   n n =1 ∞

n 3 + 2  merupakan barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka  3  konvergen.  n n =1 ∞

∞

1   1 1 1  1  = 1, , , ,...  merupakan barisan bilangan real.   merupakan n n =1  2 3 4  n n =1

3.  

∞

1  konvergen. n n =1

barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka   ∞

4.

∞

2n +5  5 9 11  2n +5  , ,... merupakan barisan bilangan real.    = ,   5n n =1 7 10 15   5n n =1 ∞

2n + 5   konvergen.  5n n =1

merupakan barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka  ∞

5.

∞

 3   3 3 3   3    = 1, , , ,... merupakan barisan bilangan real.   merupakan n + 2 n =1  4 5 6  n + 2 n =1 ∞

 3   konvergen. n + 2 n =1

barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka 

Teorema 3.4.10 1.

=

merupakan barisan bilangan real.

merupakan barisan tak naik dan tak terbatas dibawah. adalah divergen ke 2.

=

.

merupakan barisan bilangan real.

merupakan barisan tak naik dan tak terbatas dibawah.

Maka,

adalah divergen ke =

3.

.

merupakan barisan bilangan real.

merupakan barisan tak naik dan tak terbatas dibawah.

Maka,

adalah divergen ke =

4.

.

merupakan barisan bilangan real.

merupakan barisan tak naik dan tak terbatas dibawah.

Maka,

adalah divergen ke =

5.

.

merupakan barisan bilangan real.

merupakan barisan tak naik dan tak terbatas dibawah.

Maka,

adalah divergen ke

.

Teorema 3.4.11

1. X =

Y= 2. X=

=

, X monoton.

merupakan bagian dari X, maka Y juga monotonturun. =

, X monoton.

Y=

=

merupakan bagian dari X, maka Y juga

monoton turun. 3. X =

=

, X monoton.

Y= 4. X=

merupakan bagian dari X, maka Y juga monoton turun. =

, X monoton.

Y=

=

merupakan bagian dari X, maka Y juga

monoton turun. 5. X=

Y=

=

=

monoton turun.

, X monoton.

merupakan bagian dari X, maka Y juga