Analisis Real Teoria

ANÁLISIS REAL Respaldo Teórico

Prof. Silvia Flor

Prof. María Laura Soto

de variable real (n=1)

FUNCIONES ESCALARES

Funciones reales (m=1)

de variable vectorial (n>1)

Funciones de Rn en Rm

de variable real (n=1)

CAMPOS ESCALARES

FUNCIONES VECTORIALES

Funciones vectoriales (m>1) de variable vectorial (n>1)

CAMPOS VECTORIALES

• FUNCIONES ESCALARES Función exponencial Un caso particular de función exponencial es f ( x ) = límite al que tiende la expresión

f : ﾡ ‫=<ٹ‬ ﾡ� / f ( x)

ax; a

0 a 1

e x , definiéndose el número e matemáticamente como el

n

� 1 � cuando el valor de n crece hasta aproximarse al infinito. �1 + � � n� Aplicaciones

En la naturaleza y en la vida social existen numerosos fenómenos que se rigen por leyes de crecimiento exponencial. Tal sucede, por ejemplo, en el aumento de un capital invertido a interés continuo o en el crecimiento de las poblaciones. En sentido inverso, también las sustancias radiactivas siguen una ley exponencial en su ritmo de desintegración para producir otros tipos de átomos y generar energía y radiaciones ionizantes. Crecimiento y desintegración exponenciales dP dt donde P es la cantidad de individuos en la población y t es el tiempo. Manejando la hipótesis de que la rapidez de crecimiento de una población es proporcional a su dP = k ∗ P ;donde k es la constante de proporcionalidad tamaño se obtiene dt 1 dP . = k ;razón de crecimiento dividida entre el tamaño de la población P dt TASA RELATIVA DE CRECIMIENTO La tasa de crecimiento de la población es la derivada

En general, si

y (t )

es el valor de una cantidad y en un instante t, y si la razón de cambio de y y (t ) en cualquier instante con respecto a t es proporcional a su magnitud

dy = ky dt

y (0) = y0

dy

kdt �y = � ln y = kt + C y = e kt +C = eC e kt y = Ae kt

y (t ) = y0 e kt Ejemplos: Crecimiento de la población:

P (t ) = P0 e kt

Crecimiento demográfico: Las curvas de crecimiento vegetativo de una población, establecido como la diferencia entre nacimientos y muertes para un intervalo de tiempo dado, siguen una ley exponencial. siendo P0 la población inicial e i el índice de crecimiento anual en tanto por uno, y se considera una tasa de crecimiento continuo, la población seguirá la ley exponencial: P = P0 eit • Desintegración radiactiva:

m(t ) = m0 e kt

Las sustancias radiactivas se desintegran paulatinamente transformándose en otras clases de átomos y emitiendo energía y radiaciones ionizantes. La ley de desintegración radiactiva es de tipo exponencial decreciente, de manera que si R0 es la cantidad inicial de sustancia y k la constante de desintegración asociada al elemento químico, la cantidad remanente al cabo de un tiempo t será: R = R0 e − kt • Interés continuo:

A(t ) = A0 e rt

El capital obtenido de la nt inversión de un capital inicial C0 a un interés compuesto r en n periodos anuales sigue la r� � fórmula: C = C0 � 1 + � ,siendo t el tiempo transcurrido desde el inicio de la inversión.

� r�

Se llama interés continuo a una inversión de este tipo en la que se considera que los intervalos de tiempo son cada vez más pequeños, hasta que la acumulación de intereses es instantánea. La fórmula del interés continuo es de tipo rt exponencial: 0

C =C e

Derivada de una función El concepto de derivada de una función matemática se halla íntimamente relacionado con la noción de límite. Así, la derivada se entiende como la variación que experimenta la función de forma instantánea, es decir, entre cada dos puntos de su dominio suficientemente próximos entre sí. La idea de instantaneidad que transmite la derivada posee múltiples aplicaciones en la descripción de los fenómenos científicos, tanto naturales como sociales. f (b) − f (a ) b−a El valor de este cociente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (a, f (a)) y (b, f (b)). Cuando los dos puntos del intervalo [a,b] están lo suficientemente próximos entre sí, el cociente anterior indica la variación instantánea de la función. En tal caso, el valor de b podría expresarse como b = a + h, siendo h un valor infinitamente pequeño. Se llama variación media de una función f (x) en un intervalo [a, b] al cociente siguiente:

• Definimos la pendiente de la tangente a una curva con ecuación m = lim hﾮ 0

y = f ( x) en el punto donde de x=a, como

f ( a + h) − f ( a ) h

• También la velocidad de un objeto con función de posición

s = f (t ) en el instante t=a es

f ( a + h) − f ( a ) h Dada una función f (x), y considerado un punto a de su dominio, se llama derivada de la función en ese punto, denotada como f ’ (a), al límite, si éste existe: v( a) = lim hﾮ 0

f ´(a ) = lim hﾮ 0

f ( a + h) − f ( a ) h

Interpretación de la derivada como una razón de cambio y = f ( x) con respecto a x cuando x=a La derivada f ´(a ) es la razón instantánea de cambio de En particular si s = f (t ) es la función de posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta, entonces f ´( a) es la velocidad de la partícula en el instante t=a. La rapidez de la partícula es el valor absoluto de la velocidad, es decir f ´( a)

Aplicaciones de la razón de cambio •El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias…) •La cantidad de dinero en una cuenta de un banco •El volumen de un globo mientras se infla •La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo del mismo

Derivadas laterales Dada una función f (x) y considerado un punto a de su dominio de definición, se define su derivada por la + f ( x) − f ( a) derecha, y se denota como f ´(a ) al límite siguiente: f ´(a + ) = lim+ xﾮ a x−a Por su parte, la derivada por la izquierda de f (x) en el punto a, denotada por f ( x) − f (a ) límite: f ´(a − ) = lim− xﾮ a x−a

− f ´(a se ) define como el siguiente

Una función se dice derivable cuando tiene derivadas por la derecha y por la izquierda, y sus valores coinciden. Derivabilidad y continuidad Las nociones de derivabilidad (posibilidad de obtener la derivada) y continuidad (existencia de límite y concordancia del mismo con el valor de la función) en un punto o un intervalo guardan una estrecha relación. En términos generales, el concepto de derivabilidad es más selectivo, por cuanto toda función derivable es obligatoriamente continua, aunque no siempre pueda afirmarse lo contrario.

Existen dos clases de funciones claramente no derivables: • Cuando no existe el límite que define la derivada: por ejemplo, por la presencia de un salto o una discontinuidad. • Cuando existen las dos derivadas laterales, pero no coinciden (puntos angulosos): en este caso, es evidente que las pendientes de las rectas tangentes por la derecha y por la izquierda, serán distintas.

Rectas tangente y normal El empleo de derivadas de una función ofrece un medio sencillo para determinar la ecuación de las rectas tangente y normal a la curva representativa de una función en un punto dado. Dada una función f (x) continua y derivable en un punto x = a, la ecuación de la recta tangente a dicha función en y − f (a ) = f ´(a )( x − a ) el punto a obedece a la siguiente ecuación: Análogamente, la recta normal a la función en el punto sigue la ecuación:

y − f (a ) =

−1 ( x − a) f ´(a )

Derivadas de orden superior En el planteamiento de problemas típicos es frecuente manejar funciones matemáticas que describen los fenómenos y que conviene optimizar. Para ello se procede comúnmente al estudio de los puntos singulares de la función y al análisis de sus tendencias de crecimiento y decrecimiento dentro de un marco concreto de valores. Dada una función derivable en un intervalo (a, b), dicha función será: Creciente en el intervalo, si su derivada es positiva para todo punto del intervalo. Decreciente, cuando su derivada es negativa en todos los puntos del intervalo. Constante, si la derivada es nula en todo el intervalo. •Si f ´( x) > 0 sobre un intervalo, entonces f ( x) es creciente en ese intervalo. •Si f ´( x) < 0 sobre un intervalo, entonces f ( x) es decreciente en ese intervalo. •Si f ´´( x ) > 0 para todo x en y, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en y. •Si f ´´( x ) < 0 para todo x en y, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en y. Si f ´´ es continua en la vecindad de c: •Si f ´(c) = 0 y •Si f ´(c) = 0 y

f ´´(c) > 0, f tiene un mínimo local en c. f ´´(c) < 0 , f posee un máximo local en c.

La función velocidad es la derivada de la función de posición; la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo se llama aceleración. Así la función aceleración es la derivada de la función velocidad, por tanto, es la segunda derivada de la función de posición.

Integrales indefinidas La idea de la integral indefinida supuso un paso más en el camino de la abstracción emprendido por las matemáticas modernas. Con ella, la integral dejó de referirse únicamente a un modo de determinar las áreas que forman curvas y rectas para asumir la condición de función en sí, susceptible de formar parte de ecuaciones y descripciones de modelos en el gran marco de las teorías del análisis matemático. Teorema fundamental del cálculo • Si f es continua en [a,b] la función g definida por es continua en [a,b] y derivable en (a,b) y • Si f es continua en [a,b], entonces

b a

x

g ( x) =

a

f (t )dt

aﾣ xﾣb

g´( x ) = f ( x)

f ( x)dx = F (b) − F (a )

en donde F es cualquier antiderivada de f, esto es, una función tal que F´=f Las dos partes del Teorema fundamental del cálculo, establecen una conexión entre las antiderivadas y las integrales definidas. Debido a la relación que este Teorema establece entre ellas, la notación:

=f ( x)dx = F ( x)

Habrá que distinguir la integral definida

f f ( x)dx

F ´( x) = f ( x)

significa

f

b

a

f ( x)dx

que es un número, en tanto que la integral indefinida

que es una función o familia de funciones.

Aplicaciones Teorema del cambio total La integral de una razón de cambio es el cambio total:

b a

F´( x)dx = F (b) − F (a)

Este principio se puede aplicar a todas las razones de cambio que se presentan en las ciencias naturales y sociales. Algunos casos a modo de ejemplo: • Si V(t) es el volumen del agua en un depósito en el instante t, entonces su derivada es la razón a la que fluye hacia adentro del depósito en el instante t. t2

= V ´(t )dt = V (t ) − V (t ) 2

t1

1

es el cambio en la cantidad almacenada de agua entre el tiempo t1 y t2

• Si la masa de una varilla medida desde el extremo izquierdo hasta un punto x es m(x), entonces la densidad lineal ρ ( x ) = m´( x) es Así,

b

= ρ ( x)dx = m(b) − m(a) a

es la masa del segmento de varilla entre x=a y x=b

• Si la tasa de crecimiento de una población es t2

dn

= dt dt = n(t ) − n(t ) t1

2

1

dn , entonces dt

es el incremento de la población en el período de t1 a t2 v (t ) = s´(t )

t2 • Si un objeto se mueve en línea recta según la función de posición s(t), entonces su velocidad es =t1 v(t )dt = s(t2 ) − s(t1 ) de modo que es el cambio de posición o desplazamiento de la partícula en el período que

transcurre entre t1 a t2. (t ) ﾳ 0 es la distancia recorridaven (t ) ﾣese 0 intervalo de tiempo, tendremos que considerar los Si lo que se quiere vcalcular intervalos en que y los intervalos cuando . En ambos casos la distancia se calcula integrando v(t ) , que es la rapidez.

Derivadas direccionales Si z=f(x,y), entonces las derivadas parciales fx y fy están definidas como

( 1)

f x ( x0 , y0 ) = lim hﾮ 0

f ( x0 + h, y0 ) − f ( x0 , y0 ) h

f y ( x0 , y0 ) = lim hﾮ 0

f ( x0 , y0 + h) − f ( x0 , y0 ) h

representa la razón de cambio de z y las direcciones x e y, es decir,en las direcciones de vectores unitarios i y j. Si se desea hallar la razón de cambio de z en (x0,y0) en la dirección de un vector unitario arbitrario u = a, b = cos θ + sin θ z0 = f ( x0 , y0 ) Para hacer esto consideramos la superficie S con ecuación z=f(x,y), y hacemos u = a, b ( x0 , y0 ) en la dirección de un vector unitario Por lo tanto, la derivada direccional de f en es f ( x0 + ha, y0 + hb) − f ( x0 , y0 ) Du f ( x0 , y0 ) = lim ( 2) hﾮ 0 h si este límite existe.

Comparando

( 1)

y

( 2)

vemos que, si

u = i = 1, 0 , entonces

Di f = f x , y si

u = j = 0,1 , entonces

Dj f = f y

En otras palabras, las derivadas parciales de f con respecto a x e y son solo casos particulares de la derivada direccional. Cuando calculamos la derivada direccional de una función definida por una fórmula se emplea generalmente lo ( 3) Du f ( x, y ) = f x ( x, y )a + f y ( x, y )b siguiente: Ejemplo:

f ( x, y ) = 4 − x 2 − y 2 r � Calcular la derivada direccional de en el punto P=(1,1) 1 1 � en la dirección del vector

u =� , �2

� 2�

La razón de cambio de z en P en la dirección del vector −2 2

r u

Vector gradiente De

( 3)

tenemos que la derivada direccional se puede escribir como el producto punto de dos vectores:

Du f ( x, y ) = f x ( x, y )a + f y ( x, y )b = f x ( x, y ), f y ( x, y ) . a, b r = f x ( x, y ), f y ( x, y ) .u Esto recibe el nombre especial de gradiente de f o • f • Si f es una función de dos variables x e y, entonces el gradiente de f es la función vectorial definida por

�f ( x, y ) = f x ( x, y ), f y ( x, y ) =

f f

ﾶf ﾶf i+ j ﾶx ﾶy

Con esta notación para el vector gradiente, también podemos escribir la expresión para la derivada direccional r Función de dos variables Du f ( x, y ) =f f ( x, y ).u Función de tres variables

�f ( x, y, z ) = f x ( x, y, z ), f y ( x, y, z ), f z ( x, y, z ) = r Du f ( x, y, z ) =f f ( x, y, z ).u

ﾶf ﾶf ﾶf i+ j+ k ﾶx ﾶy ﾶz

Interpretación geométrica Siendo f f

no nulo:

El vector gradiente, señala la dirección en que la derivada direccional es máxima, es decir, la dirección señalada por el vector gradiente es la de máximo crecimiento de f(x,y) desde el punto P, y este valor máximo lo proporciona su módulo (pendiente máxima). La dirección de mínimo crecimiento de f desde P está señalada por el vector opuesto al anterior. La derivada direccional es nula en dirección perpendicular al gradiente. El gradiente es el vector normal a las híper superficies definidas implícitamente por f=cte. Importancia del vector gradiente Considerando una función f de tres variables y un punto P ( x0 , y0 , z0 )de su dominio, se sabe que el vector gradiente f fla ( x0dirección , y0 , z0 ) f ( x0 , y0 , z0 ) a la da del mayor incremento de f. Por otra parte, se sabe que esf ortogonal superficie de nivel S de f que pasa por P. Estas dos propiedades son bastante compatibles intuitivamente, porque cuando nos alejamos de P sobre la superficie de nivel S, el valor de f no cambia en absoluto. Por tanto, es razonable que si nos movemos en dirección perpendicular obtenemos el máximo aumento. Considerando nuevamente una función f de dos variables y un punto

f ( x, y ) =en k su dominio, el vector gradiente

f f ( x0 , y0 ) da la dirección de más rápido incremento de f. Así, considerando el análisis de los planos tangentes, se f f ( x0 , y0 ) P ( x0 , y0 ) puede demostrar que es perpendicular a la curva de nivel que pasa por P, esto es razonable porque los valores de f permanecen constantes cuando nos movemos a lo largo de la curva.

Movimiento en el espacio: velocidad y aceleración Las ideas de curvatura y de vectores tangentes y normal se pueden emplear en física para estudiar el movimiento de un objeto, incluyendo su velocidad y su aceleración, a lo largo de una curva. Supongamos que una partícula se mueve en el espacio de modo que su vector de posición en el tiempo t es r(t) r (t + h) − r (t ) h Está próximo de la partícula a lo largo de la curva r(t). Su magnitud mide el tamaño del vector de desplazamiento por unidad de tiempo. Este vector da el promedio de velocidad en un intervalo de tiempo de duración h y su límite es el vector velocidad v(t) en el tiempo t v (t ) = lim hﾮ 0

r (t + h) − r (t ) = r´(t ) h

Entonces, el vector velocidad es también el vector tangente y apunta en la dirección de la recta tangente. v(t ) La rapidez de la partícula en el tiempo t es la magnitud del vector velocidad, es decir, v(t ) = r´(t ) =

ds dt siendo esta la razón de cambio de la distancia con respecto al tiempo

La aceleración de la partícula se define como la derivada de la velocidad a (t ) = v´(t ) = r´´(t ) En general, las integrales vectoriales nos permiten recuperar la velocidad cuando se conoce la aceleración y obtener la posición cuando se conoce la velocidad.

v(t ) = v(t0 ) +

t t0

a(u )du

t

r (t ) = r (t0 ) + v(u )du t0

Componentes tangenciales y normales de la aceleración Cuando se estudia el movimiento de una partícula es conveniente descomponer la aceleración en dos elementos, una es la dirección de la tangente y el otro en la dirección de la normal. Siendo la rapidez v de la partícula

T (t ) =

y por tanto

r´(t ) v(t ) = r´(t ) v(t )

v = v .T

Derivando ambos miembros

siendo v´=a v´= v ´.T + v .T ´ Sabiendo que la expresión para la curvatura esta dada por la ecuación k=

por lo tanto

T´ T´ = r´ v

T´ = k. v

Teniendo el cuenta que el vector normal unitario se define como

N =

Y por lo tanto la ecuación de la aceleración se convierte en

T ´ resulta T´

T ´= T ´ .N = k . v .N

2

a = v ´.T + k . v .N Siendo la componente tangencial aT y la normal aN la ecuación anterior se convierte en

a = aT .T + aN .N

con

Componentes tangenciales y normales de la función de r(t): aT =

r´(t ).r´´(t ) r´(t )

aN =

r´(t ).r´´(t ) r´(t )

aT = v ´ y

aN = k . v

2

aceleración en

Integrales Dada

f :ﾡ n ﾮ ﾡ

•

Tￍ ﾡn n

f (r )du = lim ￥f (ri ) µTi Pﾮ 0

i =1

en

ﾡ

en

ﾡ

n

lim

p ﾮ 0

2

f ( x )∆x ￥ (1) i

i =1

i

n

lim

Pﾮ 0

￥f (r )∆x ∆y(2) i

i =1

i

i

(1)Sea f una función continua y no negativa sobre el intervalo [a,b] que se divide en n subintervalos de igual longitud ∆x. Si xi es el extremo izquierdo del i-esimo subintervalo entonces, la integral de f en [a,b] se define: n

lim

pﾮ 0

￥f ( x )∆x = • i =1

i

i

b a

f ( x) dx = F (b) − F (a )

f

b

a

f ( x)dx

Representa el área bajo la curva (2)Sea f una función continua en una región R del plano xy . Usando líneas paralelas a los ejes para aproximar R por medio de n rectángulos de área ∆A. Sea (xj,yj) un pto del i-esimo rectángulo, entonces la integral doble de f sobre R es: m

n

lim ��f ( xij , yij )∆xi ∆yi = � �f ( x, y)dA Pﾮ 0

i =1 j =1

R

( xi,yj)

Representa el volumen bajo la superficie

z= f(x,y)

� �f ( x, y)dxdy R

Región R

Valor promedio El valor promedio de una función f, de una variable definida en un intervalo [a,b] es:

f prom

1 = b−a

b a

f ( x)dx

El valor promedio d euna función f, de dos variables definida en un rectángulo R es:

f prom =

1 f ( x, y ) dA � A( R ) � R

Integrales iteradas

� f ( x, y )dx �dy � �f ( x, y)dxdy = �� � �

� f ( x, y )d y �dx ��f ( x, y)dydx = �� � �

Teorema de Fubbini sobre un rectángulo Si f es continua en el rectángulo R = { ( x, y ) / a ﾣ x ﾣ b, c ﾣ y ﾣ d } , entonces b

d

d

b

a

c

c

a

� �f ( x, y)dA = ��f ( x, y)dydx = ��f ( x, y)dxdy R

Recordamos que si f es definida entonces podemos interpretar la integral doble como el volumen V del sólido S que se encuentra arriba de R y por debajo de la superficie z=f(x,y) b

V=

a

A( x)dx

Integrales sobre regiones generales Definimos a la función F con dominio en R como:

￬ f ( x, y ) F ( x, y ) = ￭ ￮0

si (x,y) está en D si (x,y) está en R pero no en D

Si la integral doble de F existe en R, entonces la integral doble de f sobre D se define como:

f ( x, y ) dA =� F ( x, y ) dA � � � D

R

F=f*

D recinto de tipo 1 La región D está limitada por las gráficas de g(x) y h(x) en el intervalo [a, b]. Si D es descrita por

D:a ﾣ x ﾣ b

g ( x ) ﾣ y ﾣ h( x )

,

y = h(x) D

y = g(x)

a

b

h( x)

a

g ( x)

� �f ( x, y)dA = �� D

f ( x, y )dydx

b

D recinto de tipo 2 La región D está limitada por las gráficas de g(y) y h(y) en el intervalo [c, d]. Si D es descrita por

D:c ﾣ y ﾣ d

d

,

g ( y ) ﾣ x ﾣ h( y )

x = g(y) x = h(y)

c

D

d

h( y )

c

g ( y)

��f ( x, y)dA = �� D

f ( x, y )dxdy

Aplicaciones de las integrales dobles Las integrales doble tienen múltiples explicaciones en física y geometría. A continuación damos una relación de algunas de ellas: • El área de una región plana R en el plano xy viene dada por una integral doble

área ( A) = � dxdy � R

• El volumen V encerrado entre una superficie z = f(x, y), z > 0 y una región R en el plano xy es

V =� f ( x, y )dxdy � R

• Sea ρ ( x, y ) la función de densidad (masa por unidad de área) de una distribución de masa en el plano xy. Entonces la masa total de un trozo de plano R es

m =� ρ( x, y )dA � R

Los físicos también consideran otros tipos de densidad que se pueden tratar de la misma manera, por ejemplo, la distribución de una carga eléctrica sobre una región D y la densidad de carga (en unidades de carga por área unitaria) está dada por σ ( x, y ) en un punto (x,y) en D, entonces la carga total Q esta dada por

Q =� σ( x, y ) dA � D

• Las coordenadas ( x , y ) del centro de masa de una lámina que ocupa la región D y tiene función de densidad ρ( x, y ) son:

x=

My m

=

1 x ρ ( x, y )dA � m� D

y=

Mx 1 = � y ρ ( x, y )dA m m D�

• Los momentos de inercia de una partícula de masa m alrededor de un eje se define como m.r2 donde r es la ρ( x, y ) distancia de la partícula al eje, si consideramos esto dentro de una lámina con función de densidad

que ocupa una región D, entonces: •

El momento de inercia de la lámina alrededor del eje x 2 I x =� y ρ( x, y )dA � D

(2) El momento de inercia de la lámina alrededor del eje y 2 I y =� x ρ( x, y ) dA � D

(3) Momento de inercia alrededor del origen o momento polar de inercia 2 2 I0 = � ( x + y )ρ( x, y ) dA � D

con

I0 = I x + I y

Un poema matemático “ No puede haber un lenguaje más universal ni más simple que el del análisis; más exento de errores y de oscuridades, es decir, más digno de expresar las relaciones invariables de los seres naturales. Considerando bajo este punto de vista, el análisis matemático es tan extenso como la naturaleza misma: define todas las relaciones sensibles, mide el tiempo, los espacios, las fuerzas, las temperaturas;… su atributo principal es la claridad; no tiene en absoluto signos para expresar nociones confusas. Relaciona los fenómenos más diversos y descubre las analogías secretas que los une. Si la materia se nos evade, por su extrema, como la del aire y de la luz, si los cuerpos están situados lejos de nosotros, en la inmensidad del espacio, si el hombre quiere conocer el espectáculo de los cielos en épocas sucesivas que un gran número de siglos separa, si las acciones de la gravedad y del calor se ejercen en el interior del globo sólido a profundidades que nos serán siempre inaccesibles, el análisis matemático puede, con todo, dominar las leyes de estos fenómenos.”

Fragmento tomado de la introducción de la Teoría Analítica del calor, de Fourier (1822), al que Maxwell llamó un gran ”poema matemático”