Tugas Mata Kuliah Analisis Real Ii

TUGAS-2

: CONTOH-CONTOH TEOREMA

MATA KULIAH

: ANALISIS REAL

BAB III

: BARISAN BILANGAN REAL

OLEH

: RAHMAT FAUZI

(106017000503)

NENENG HADIYANI

Teorema 3.3.4 Jika barisan dari

(106017000500)

konvergen ke L, maka setiap barisan bagian

juga konvergen ke L.

Contoh : konvergen ke 0, karena barisan tersebut merupakan barisan bagian dari

yang konvergen ke 0. konvergen ke 0, karena barisan tersebut merupakan barisan bagian dari

yang konvergen ke 0.

konvergen ke 0, karena barisan tersebut merupakan barisan bagian dari

yang konvergen ke 0.

konvergen ke 0, karena barisan tersebut merupakan barisan bagian dari

yang konvergen ke 0.

konvergen ke 0, karena barisan tersebut merupakan barisan bagian dari

yang konvergen ke 0.

Teorema 3.4.4 Jika barisan bilangan real

konvergen , maka

terbatas. Contoh :

Karena Karena

konvergen ke 0, maka barisan tersebut terbatas. konvergen ke 0, maka barisan tersebut terbatas.

Karena

konvergen ke 0, maka barisan tersebut terbatas.

Karena

konvergen ke 0, maka barisan tersebut terbatas.

Karena

konvergen ke 0, maka barisan tersebut terbatas.

Teorema 3.4.7 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Jika

barisan tak turun dan terbatas di atas , maka

konvergen.

Contoh :

adalah barisan tak turun dan terbatas di atas, maka

1.

konvergen. adalah barisan tak turun dan terbatas di atas, maka konvergen.

adalah barisan tak turun dan terbatas di atas, maka

konvergen.

adalah barisan tak turun dan terbatas di atas, maka konvergen.

adalah barisan tak turun dan terbatas di atas, maka konvergen.

Teorema 3.4.8 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Jika

barisan tak turun dan tak terbatas di atas , maka

divergen ke

.

Contoh : adalah barisan tak turun dan tak terbatas di atas, maka ke

. adalah barisan tak turun dan tak terbatas di atas, maka

ke

divergen

. adalah barisan tak turun dan tak terbatas di atas, maka

divergen ke

.

adalah barisan tak turun dan tak terbatas di atas, maka divergen ke

. adalah barisan tak turun dan tak terbatas di atas, maka

divergen ke

.

divergen

Teorema 3.4.9 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Jika

barisan tak naik dan terbatas di bawah , maka

konvergen.

Contoh : adalah barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka konvergen. adalah barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka

1.

konvergen.

adalah barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka

konvergen.

adalah barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka

2.

konvergen.

adalah barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka

konvergen.

Teorema 3.4.10 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Jika

barisan tak naik dan tak terbatas di bawah , maka

divergen ke

Contoh :

adalah barisan tak naik dan tak terbatas di bawah maka divergen ke

.

.

ke

adalah barisan tak naik dan tak terbatas di bawah maka

divergen

adalah barisan tak naik dan tak terbatas di bawah maka

divergen

adalah barisan tak naik dan tak terbatas di bawah maka

divergen

.

ke

.

ke

.

adalah barisan tak naik dan tak terbatas di bawah maka divergen ke

.

Teorema 3.4.11 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Maka

mempunyai barisan bagian yang monoton. Contoh : adalah barisan monoton tak turun, yang merupakan barisan bagian

1.

dari barisan bilangan real. adalah barisan monoton tak naik, yang merupakan barisan bagian

2.

dari barisan bilangan real. adalah barisan monoton tak turun, yang merupakan barisan bagian dari barisan bilangan real.

adalah barisan monoton tak naik, yang merupakan barisan bagian dari barisan bilangan real.

adalah barisan monoton tak turun, yang merupakan barisan bagian dari barisan bilangan real.