Analisis Real

Tugas Analisis Real 2 Nama : Qosim Nur Hidayat (107017000936) Syaiful Rohman ( 107017001306 ) Teguh Membara (107017000966) Teorema 3.3.4 ∞ ∞ Jika barisan {x n }n =1 konvergen ke L maka setiap barisan bagian dari {x n }n =1 juga

konvergen ke L. Contoh:  1  1. Akan dibuktikan lim  =0 n →∞ n + 2  

Ambil sembarang ε > 0 terdapat n0 ∈ N dengan n0 >

berlaku

1

ε

− 2 sehingga untuk ∀n ≥ n0

1 1 1 1 1 −0 = = ≤ < =ε 1 n+2 n + 2 n + 2 n0 + 2 −2+2 ε

   1    1 1   adalah barisan bagian dari   , jadi   juga konvergen ke n( n + 2)   ( n + 2)  n( n + 2) 

0.  1  2. Akan dibuktikan lim  =0 n →∞ n −1  

Ambil sembarang ε > 0 terdapat n0 ∈ N dengan n0 >

berlaku

1

ε

+1 sehingga untuk ∀n ≥ n0

1 1 1 1 1 −0 = = ≤ < =ε n −1 n − 1 n −1 n0 −1 1 + 1 −1

ε

   1   1  1   adalah barisan bagian dari   , jadi   juga (n +1)( n −1)  (n −1 n( n −1) 

konvergen ke 0.

1 =0 2  n 

3. Akan dibuktikan lim  n→∞

Ambil sembarang ε > 0 terdapat n0 ∈ N dengan n0 >

berlaku

1

ε

− 2 sehingga untuk ∀n ≥ n0

1 1 1 1 1 −0 = 2 = 2 ≤ 2 < =ε 2 1 n n n n0 −2+2 ε

 1  1 1  4  adalah barisan bagian dari  2  , jadi  4  juga konvergen ke 0. n  n  (n 

 1  4. Akan dibuktikan lim  =0 n →∞ n + 1  

Ambil sembarang ε > 0 terdapat n0 ∈ N dengan n0 >

berlaku

1

ε

−1 sehingga untuk ∀n ≥ n0

1 1 1 1 1 −0 = = ≤ < =ε n +1 n + 1 n + 1 n0 + 1 1 −1 + 1

ε

 1   1   1    adalah barisan bagian dari  , jadi   juga konvergen ke 0.  ( n + 2)  (n +1)   ( n + 2) 

 1  5. Akan dibuktikan lim  =0 n →∞ 4n + 1  

Ambil sembarang ε > 0 terdapat n0 ∈ N dengan n0 >

n0 berlaku

1

ε

−

1 4

sehingga untuk ∀n ≥

1 1 1 1 −0 = = ≤ < 4n + 1 4n + 1 4n + 1 4n0 + 1 1

1 =ε 1 1 − + ε 4 4

 1   1   1    adalah barisan bagian dari   , jadi   juga konvergen ( 2 n + 1 ) ( 4 n + 1 ) ( 2 n + 1 )      

ke 0.

Teorema 3.4.4 ∞ ∞ Jika barisan bilangan real {x n }n =1 konvergen, maka {x n }n =1 terbatas.

Contoh: ∞

 2n  2 4 6  = , , ,......... ....   3n + 2 n =1 5 8 11 

1. 

2n 2 2 2n 2 2 2 2n 2 2 2n 2 < ≤ < <  − < <  − < ≤ 3n + 2 3 5 3n + 2 3 3 5 3n + 2 3 3 3n + 2 3

M=

∞ 2 2  2n  . Jadi  .  terbatas di 3 3 3n + 2 n =1

∞

2.

 4n  4 8 12  = , , ,......... ....    5n + 4 n =1 9 14 19  4n 4 4 4n 4 4 4 4n 4 4 4n 4 < ≤ < <  − < <  − < ≤ 5n + 4 5 9 5n + 4 5 5 9 5n + 4 5 5 5n + 4 5 ∞ 4 4  4n  M= . Jadi  .  terbatas di 5 n + 4 5 5  n =1

∞

3.

 2n 2  2 8 18  ,......... ....   2  = , ,  n +1n =1 2 5 10

1≤

2n 2 2n 2 2n 2 2n 2 <2 < 2 − 2 < 1 ≤ < 2 − 2 < < 2    n 2 +1 n2 +1 n2 +1 n2 +1 ∞

 2n 2  M = 2. Jadi  2  terbatas di 2. n +1n =1

∞

 2n  2 4 6  = , , ,......... ....   6n +5 n =1 11 17 23 

4. 

2 2n 2 2 2 2n 2 2 2n 2 2n 2 < ≤ < <  − < <  − < ≤ 6n + 5 6 11 6n + 5 6 6 11 6n + 5 6 6 6n + 5 6 ∞

2 2  2n  M= . Jadi  .  terbatas di 6 6 6n + 5 n =1

∞

5.

 n  1 2 3  = , , ,......... ....    7 n +1n =1 8 15 22 

1 n 1 1 1 n 1 1 n 1 n 1 < ≤ < <  − < <  − < ≤ 7 n +1 7 8 7n +1 7 7 8 7n + 1 7 7 7n + 1 7

∞

1 1  n  M = . Jadi  .  terbatas di 7 n + 1 7 7  n =1

Teorema 3.4.7 ∞ Misalkan {x n }∞ n =1 adalah barisan bilangan real. Jika { x n } n =1 barisan tak turun dan terbatas ∞ diatas, maka {x n }n =1 konvergen. ∞

1.

 2n  2 4 6  = , , ,......... ....    6 n + 5 11 17 23  n =1   ∞

 2n   barisan tak turun 6n +5 n =1

Karena hasilnya selalu naik maka 

Batas atas adalah M=

2 . 6

∞

 2n   adalah barisan tak turun dan terbatas di atas maka konvergen. 6n +5 n =1

Karena 

∞

2.

 3n  3 6 9  = , , ,......... ....    6n + 2 n =1 8 14 20  ∞

 3n  Karena hasilnya selalu naik maka   barisan tak turun 6n + 2 n =1

Batas atas adalah M=

1 . 2

∞

 3n  adalah barisan tak turun dan terbatas di atas maka konvergen.  6n + 2 n =1

Karena 

∞

3.

 4n  4 8 12  = , , ,......... ....    5n + 2 n =1 7 12 17  ∞

 4n   barisan tak turun 5n + 2 n =1

Karena hasilnya selalu naik maka 

Batas atas adalah M=

4 . 5

∞

 4n  Karena  adalah barisan tak turun dan terbatas di atas maka konvergen.  5n + 2 n =1 ∞

4.

 3n  3 6 9  = , , ,......... ....    4n + 2 n =1 6 10 14  ∞

 3n   barisan tak turun 4n + 2 n =1

Karena hasilnya selalu naik maka 

Batas atas adalah M=

3 . 4

∞

 3n  adalah barisan tak turun dan terbatas di atas maka konvergen.  4n + 2 n =1

Karena 

∞

5.

 2n  2 4 6  = , , ,......... ....    5n +3 n =1 8 13 18  ∞

 2n   barisan tak turun 5n + 3 n =1

Karena hasilnya selalu naik maka   2n  2 lim  = n →∞ 5n + 3   5

Batas atas adalah M=

2 . 5

∞

 2n  adalah barisan tak turun dan terbatas di atas maka konvergen.  5n + 3 n =1

Karena 

Teorema 3.4.8 ∞ Misalkan {x n }∞ n =1 adalah barisan bilangan real. Jika { x n } n =1 barisan tak turun dan tak ∞ terbatas diatas, maka {x n }n =1 divergen ke ∞.

={2,5,8,11 ,......... ...} 1. {3n −1}∞ n =1 ∞ Karena hasil dari n=1 sampai n∞ tak turun maka {3n −1}n =1 adalah barisan tak turun.

Sehingga tak terbatas di atas .

∞ ∞ Karena {3n −1}n =1 barisan tak turun dan tak terbatas di atas maka {3n −1}n =1 divergen ke

∞. ∞ 2. {5n − 2}n =1 ={3,8,13 ,18 ,......... ...} ∞ Karena hasil dari n=1 sampai n∞ tak turun maka {5n − 2}n =1 adalah barisan tak turun.

Sehingga tak terbatas di atas . ∞ ∞ Karena {5n − 2}n =1 barisan tak turun dan tak terbatas di atas maka {5n − 2}n =1 divergen ke

∞. 2 ∞ 3. {5n − 3}n =1 ={2,17 ,42 ,77 ,......... ...} 2 ∞ Karena hasil dari n=1 sampai n∞ tak turun maka {5n − 3}n =1 adalah barisan tak turun.

Sehingga tak terbatas di atas . 2 ∞ Karena {5n 2 − 3}∞ barisan tak turun dan tak terbatas di atas maka {5n − 3}n =1 divergen n =1

ke ∞. 2 ∞ 4. {2n −1}n =1 ={1,7,17 ,31 ,.........

...}

2 ∞ Karena hasil dari n=1 sampai n∞ tak turun maka {2n −1}n =1 adalah barisan tak turun.

Sehingga tak terbatas di atas . 2 ∞ Karena {2n 2 −1}∞ barisan tak turun dan tak terbatas di atas maka {2n −1}n =1 divergen n =1

ke ∞. ={6,15 ,30 ,51 ,......... 5. {3n 2 + 3}∞ n =1

...}

2 ∞ Karena hasil dari n=1 sampai n∞ tak turun maka {3n + 3}n =1 adalah barisan tak turun.

Sehingga tak terbatas di atas .

2 ∞ 2 ∞ Karena {3n + 3}n =1 barisan tak turun dan tak terbatas di atas maka {3n + 3}n =1 divergen

ke ∞.

Teorema 3.4.9 ∞ ∞ Misalkan {x n }n =1 adalah barisan bilangan real. Jika {x n }n =1 barisan tak naik dan terbatas

dibawah, maka {x n }∞ n =1 konvergen. ∞

1.

 2n  2 4 6  =  , , ,......... ....    3 n − 1 2 5 8  n =1  

Batas bawahnya =

2 3

. ∞

 2n  adalah barisan tak naik.  3n −1n =1

Karena hasil dari n=1 sampai n∞ tak naik maka  ∞

 2n  adalah barisan tak turun dan terbatas di atas maka konvergen.  3n −1n =1

Karena 

∞

2.

 3n  3 6 9  = , , ,......... ....    5n −1n =1 4 9 14 

 3n  3 lim  = n →∞ 5n −1   5

Batas bawahnya =

3 . 5 ∞

 3n  Karena hasil dari n=1 sampai n∞ tak naik maka   adalah barisan tak naik. 5n −1n =1 ∞

 3n  adalah barisan tak turun dan terbatas di atas maka konvergen.  5n −1n =1

Karena 

∞

3.

 n  1 2 3  ,......... ....   2  = , , 3n −1n =1 2 11 26 

 n  lim  2 =0 n →∞ 3n − 1  

Batas bawahnya =0. ∞

 2n  adalah barisan tak naik.  3n −1n =1

Karena hasil dari n=1 sampai n∞ tak naik maka  ∞

 2n  Karena  adalah barisan tak turun dan terbatas di atas maka konvergen.  3n −1n =1

∞

 2n  2 4 6  =  , , ,......... ....  4.   3 n − 1 2 5 8  n =1  

 2n  2 lim  = n →∞ 3n − 1   3

Batas bawahnya =

2 . 3 ∞

 2n  adalah barisan tak naik.  3n −1n =1

Karena hasil dari n=1 sampai n∞ tak naik maka  ∞

 2n  adalah barisan tak turun dan terbatas di atas maka konvergen.  3n −1n =1

Karena 

∞

 4n  4 8 12  = , , ,......... ....   9 n − 1 8 17 26  n =1  

5. 

 4n  4 lim  = n →∞ 9n −1   9

Batas bawahnya =

4 . 9 ∞

 4n   adalah barisan tak naik. 9n −1n =1

Karena hasil dari n=1 sampai n∞ tak naik maka  ∞

 4n  Karena  adalah barisan tak turun dan terbatas di atas maka konvergen.  9n −1n =1

Teorema 3.4.10 ∞ Misalkan {x n }∞ n =1 adalah barisan bilangan real. Jika { x n } n =1 barisan tak naik dan tak ∞ terbatas dibawah, maka {x n }n =1 divergn -∞. ∞

1.

1  1 1 1  =  , , ,........    3n n =1 3 6 9  ∞

1  1  lim   = Tidak ada jadi tidak memiliki batas dibawah    adalah barisan tak n →∞ 3n 3  n n =1   ∞

1  naik. Jadi   divergen ke - ∞. 3n n =1

∞

2.

1   1 1   2  = 1, , ,........  n n =1  4 9 

∞ 1  1  lim  2  = Tidak ada. Jadi tidak memiliki batas dibawah  adalah barisan tak   2 n →∞ n n n =1  

∞

1  naik. Jadi  2  divergen ke - ∞. n n =1

∞

 1  1 1 1  =  , , ,........   2n +1n =1 3 5 7 

3. 

∞  1  1  lim  = Tidak ada. Jadi tidak memiliki batas dibawah  adalah barisan    n →∞ 2n + 1 2n +1n =1  

∞

 1   divergen ke - ∞. 2n +1n =1

tak naik. Jadi 

∞

4.

 n  1 2 3   2  =  , , ,........  n + 2 n =1 3 6 11  ∞

 n   n  lim  2  = Tidak ada. Jadi tidak memiliki batas dibawah  2  adalah barisan n →∞ n + 2 n + 2 n =1   ∞

 n  tak naik. Jadi  2  divergen ke - ∞. n + 2 n =1

∞

 4n  4 8 12  , ,........   = , 2 7 22 47 5 n + 2  n =1  

5. 

∞  4n   4n  lim  2 =  Tidak ada. Jadi tidak memiliki batas dibawah  2  adalah n →∞ 5n + 2 5n + 2 n =1  

∞

 4n   divergen ke - ∞. 2 5n + 2 n =1

barisan tak naik. Jadi 

Teorema 3.4.11 ∞ ∞ Misalkan {x n }n =1 adalah barisan bilangan real. Jika {x n }n =1 mempunyai barisan bagian

yang monoton.

∞

1.

1   1 1 1 1  = 1, , , , ,.......    n 2 3 4 5  n =1  

2.

{n }

= {1,16 ,81 ,256 ,.... }

3.

{1 }

={1,1,1,1,1,1,1,.........

4.

 2n  2 4 6  = , , ,......... ....    3 n + 2 5 8 11  n =1  

5.

 2n  2 4 6  = , , ,......... ....    6n +5 n =1 11 17 23 

∞

4

n

n =1

∞ n =1

}

∞

∞