Tugas Mata Kuliah Analisis Real Ii

TUGAS-2

: CONTOH-CONTOH TEOREMA

MATA KULIAH

: ANALISIS REAL

BAB III

: BARISAN BILANGAN REAL

OLEH

: RAHMAT FAUZI NENENG HADIYANI

(106017000503) (106017000500)

Teorema 3.3.4 Jika barisan

konvergen ke L, maka setiap barisan bagian dari

juga

konvergen ke L. Contoh : konvergen ke 0, karena barisan tersebut merupakan barisan bagian dari

yang konvergen ke 0. konvergen ke 0, karena barisan tersebut merupakan barisan bagian dari yang konvergen ke 0.

konvergen ke 0, karena barisan tersebut merupakan barisan bagian dari

yang konvergen ke 0.

konvergen ke 0, karena barisan tersebut merupakan barisan bagian dari

yang konvergen ke 0.

konvergen ke 0, karena barisan tersebut merupakan barisan bagian dari

yang konvergen ke 0.

Teorema 3.4.4

Jika barisan bilangan real

konvergen , maka

terbatas.

Contoh :

Karena

konvergen ke 0, maka barisan tersebut terbatas.

Karena

konvergen ke 0, maka barisan tersebut terbatas.

Karena

konvergen ke 0, maka barisan tersebut terbatas.

Karena

konvergen ke 0, maka barisan tersebut terbatas.

Karena

konvergen ke 0, maka barisan tersebut terbatas.

Teorema 3.4.7 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Jika

terbatas di atas , maka

barisan tak turun dan

konvergen.

Contoh :

adalah barisan tak turun dan terbatas di atas, maka

1.

konvergen. adalah barisan tak turun dan terbatas di atas, maka konvergen.

adalah barisan tak turun dan terbatas di atas, maka konvergen.

adalah barisan tak turun dan terbatas di atas, maka konvergen.

adalah barisan tak turun dan terbatas di atas, maka konvergen.

Teorema 3.4.8 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Jika

tak terbatas di atas , maka

divergen ke

barisan tak turun dan

.

Contoh : adalah barisan tak turun dan tak terbatas di atas, maka

1.

divergen ke

.

adalah barisan tak turun dan tak terbatas di atas, maka

2.

divergen ke

.

adalah barisan tak turun dan tak terbatas di atas, maka divergen ke

.

adalah barisan tak turun dan tak terbatas di atas, maka divergen ke

.

adalah barisan tak turun dan tak terbatas di atas, maka divergen ke

.

Teorema 3.4.9 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Jika

terbatas di bawah , maka Contoh :

konvergen.

barisan tak naik dan

adalah barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka konvergen. adalah barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka konvergen.

adalah barisan tak naik dan terbatas di bawah,

maka

konvergen.

adalah barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka konvergen.

adalah barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka konvergen.

Teorema 3.4.10 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Jika

tak terbatas di bawah , maka

divergen ke

barisan tak naik dan

.

Contoh :

adalah barisan tak naik dan tak terbatas di bawah maka ke

.

adalah barisan tak naik dan tak terbatas di bawah maka ke

.

divergen

divergen

ke

ke

ke

adalah barisan tak naik dan tak terbatas di bawah maka

divergen

adalah barisan tak naik dan tak terbatas di bawah maka

divergen

adalah barisan tak naik dan tak terbatas di bawah maka

divergen

.

.

.

Teorema 3.4.11 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Maka

mempunyai barisan

bagian yang monoton. Contoh : adalah barisan monoton tak turun, yang merupakan barisan bagian dari barisan bilangan real. adalah barisan monoton tak naik, yang merupakan barisan bagian dari barisan bilangan real.

adalah barisan monoton tak turun, yang merupakan barisan bagian dari barisan bilangan real.

adalah barisan monoton tak naik, yang merupakan barisan bagian dari barisan bilangan real.

adalah barisan monoton tak turun, yang merupakan barisan bagian dari barisan bilangan real.