2. Resultante De Los Sistemas De Fuerzas Que Actuan Sobre La Particula.pdf

II. RESULTANTES DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE LA PARTÍCULA En este capítulo y el siguiente estudiaremos exclusivamente sistemas de fuerzas en el plano, es decir, en dos dimensiones. Una vez comprendido cabalmente será muy fácil entender los sistemas de fuerzas en tres dimensiones, llamadas también fuerzas en el espacio. Seguiremos la división que señalamos en el capítulo anterior: fuerzas colineales y fuerzas concurrentes en este capítulo, y fuerzas paralelas y fuerzas no concu-rrentes ni paralelas, en el siguiente

Resultantes de los sistemas de fuerzas colineales Consideremos dos fuerzas concurrentes en el punto A. Por la ley del paralelogramo sabemos que su resultante se encuentra en la diagonal del paralelogramo formado por ellas. Si el ángulo que forman dichas acciones es muy pequeño, la magnitud F2 R de la diagonal se aproxima a la suma F1 de los lados. Podemos deducir que si dos fuerzas son colineales, la resultante es otra fuerza colineal cuya mag-

Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula R nitud es igual a la suma de las magnitudes de las dos fuerzas. F1 F2 En el caso en que las dos fuerzas colineales tengan sentidos contrarios, el razonamiento anterior nos lleva a R F2 concluir que entonces la resultante tiene el sentido de la fuerza más F1 grande y su magnitud es la diferencia entre las magnitudes de las dos fuerzas. Si un sistema, en vez de ser de dos fuerzas, está formado por mil, el procedimiento se podría repetir mil veces para obtener la magnitud y el sentido de la resultante. O sea, que podemos generalizar y afirmar que la obtención de la resultante de un sistema de fuerzas colineales se logra mediante la siguiente ecuación:

𝑅 = ∑𝐹 es decir, que la magnitud es la resultante es igual a la suma algebraica de las fuerzas del sistema, su sentido queda determinado por el signo de esa suma, y su línea de acción es la misma que la de las fuerzas del sistema. Ejemplo. Determine la magnitud y la dirección de la resultante de las cuatro fuerzas que actúan sobre la argolla de la figura. Elegimos un sistema de referencia así

x 15°

20

10 kg 24 kg

15° 28 kg

16 kg

Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula

R = ∑ 𝐹𝑥 R = 10 + 24 − 28 − 16 = −10 El signo negativo significa que la fuerza resultante tiene sentido contrario del eje de las equis R = 10 kg 15°

Resultantes de los sistemas de fuerzas concurrentes Dividiremos nuestro estudio en dos casos: resultante de sólo dos fuerzas concurrentes, y resultantes de más de dos fuerzas concurrentes.

A) Dos fuerzas concurrentes La ley del paralelogramo establece claramente como hallar gráficamente la magnitud y la dirección de la resultante de dos fuerzas que concurren en un punto. 40 kg

Ejemplo. Determine gráficamente la resultante de las dos tensiones que jalan la argolla de la figura.

30° 45° 50 kg

Dibujamos un paralelogramo cuyos lados sean proporcionales a las magnitudes de las fuerzas. Por cada 10 kg daremos a los lados una longitud de 1 cm y con el transportador medimos los ángulos que los lados forman con la horizontal. Una vez dibujado el cuadrilátero, trazamos la diagonal que pasa por el punto de concurrencia de las fuerzas y medimos tanto su 21

40 75° 50

θ R

Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula

longitud como el ángulo que forma con la horizontal. Como a cada cm correspondieron 10 kg, la resultante de estas dos fuerzas es R = 71 kg

12°

Puesto que el método gráfico es poco preciso e impráctico, intentaremos deducir un método analítico o trigonométrico. Observemos que el paralelogramo del ejemplo está contiene dos triángulos, dos de cuyos lados son las fuerzas y el tercero, la resultante. Por tanto, en vez de construir un paralelogramo, dibujaremos una fuerza a continuación de la otra; y la resultante unirá el origen de la primera con la punta de la segunda. Del triángulo conocemos, por tanto, dos lados y el ángulo que forman entre sí. Y mediante cualquier ley del triángulo podemos hallar la magnitud de R y su dirección.

40 kg

Ejemplo. Halle analíticamente, mediante la ley del triángulo, la magnitud y la dirección de la resultante de las dos fuerzas que actúan sobre la argolla de la figura.

30° 45° 50 kg

Dibujamos esquemáticamente una fuerza a continuación de la otra y unimos el origen de la primera con la punta de la segunda: este lado corresponde a la resultante. Tenemos, pues, un triángulo del que conocemos dos lados y el ángulo que forman entre sí. Conforme la ley de cosenos, 𝑅 2 = 𝐹1 2 + 𝐹1 2 − 2𝐹1 𝐹2 cos 𝛳

θ

R

𝑅 2 = 402 + 502 − 2(40)50 cos 105° = 71.7

50

105°

22

40

Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula

y, por la ley de senos, sen 𝛳 sen 105° = 40 71.7 por tanto  = 32.6°. Y el ángulo que R forma con la horizontal es 45 – 32.6 = 12.4. Por fin R = 71.7 kg

12.4°

Resolución de fuerzas Una vez que sabemos cómo hallar la resultante de dos fuerzas concurrentes, trataremos de realizar el proceso contrario, es decir, resolver o descomponer una fuerza dada en dos componentes que constituyan un sistema equivalente. Ilustraremos el procedimiento de los tres casos principales mediante cuatro ejemplos. El primer caso consiste en resolver una fuerza en dos componentes que tengan ciertas direcciones; el segundo, descomponer la fuerza en dos componentes de cierta magnitud; y el último, en resolver la fuerza en una componente en cierta dirección y otra de cierta magnitud. A

Ejemplo. Resuelva la tensión horizontal de 120 kg en dos componentes: C1 en la dirección de las barra AB, y C2, en la dirección de la barra BC.

75°

B

60° 120 kg

Comenzamos dibujando la fuerza que ha de descomponerse, y en cada uno de sus extremos líneas paralelas a las direcciones de las componentes 23

Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula

Ley de senos: 60°

120 𝐶1 𝐶2 = = sen 135° sen 30° sen 15° 120 (sen 30°) 𝐶1 = sen 135°

75°

120 C2

135°

C1

𝐶2 =

15°

30°

120 (sen 15°) sen 135°

120

𝐶1 = 84.9 kg 𝐶2 = 43.9 kg

θ1

Ejemplo. Diga cuáles deben ser las direcciones 1 y 2 de modo que la resultante de las dos tensiones ejercidas sobre la argolla sea una fuerza vertical de 750 lb.

A 600#

θ2

B

500#

Dibujamos la fuerza que deseamos descomponer y, con centro en sus extremos, trazamos dos arcos de circunferencia correspondientes a las fuerzas de 600 y 500 lb. Ley de cosenos

500 β

5002 = 7502 + 6002 − 2(750)600 cos 𝛼

750 α

600

7502 + 6002 − 5002 cos 𝛼 = 2(750)600 𝛼 = 41.6 24

Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula

Ley de senos

θ1 β

sen 𝛽 sen 41.6° = 600 500 sen 𝛽 =

α θ2

600 sen 41.6° 500

𝛽 = 52.9 Puesto que α y β son los ángulos complementarios de θ2 y θ 1, respectivamente, 𝛳1 = 37.1° 𝛳2 = 48.4°

Ejemplo. Descomponga el peso de 2000 N en dos componentes: C1 que forme un ángulo de 30° con la vertical, y C2 cuya magnitud sea de 1100 N.

C2=1100 N θ

C1

30°

2000 N

Dibujamos la fuerza vertical que vamos a descomponer. En un extremo, una línea a 30°, y con centro en el otro, trazamos un arco de circunferencia que corresponde a la fuerza de 110 N

2000

C1’

30°

30°

30° C1

2000

2000

α’ θ’

θ

α 1100

25

1100

Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula

Como se pueden formar dos triángulos, hay dos soluciones. Primera solución Ley de senos sen 𝛼 sen 30° = 2000 1100 sen 𝛼 =

2000 sen 30° 10 = 1100 11

𝛼 = 65.4 𝛳 = 180° − 30° − 65.4 = 84.6°

𝐶1 ′ 1100 = sen 35.4° sen 30°

𝐶1 1100 = sen 84.6° sen 30°

𝐶1 ′ =

𝐶1 =

1100 sen 84.6° = 2190 sen 30°

1100 sen 35.4° sen 30°

Y las segundas respuestas son 𝐶1 ′ = 1274 N

Las primeras respuestas son

𝛳′ = 35.4°

𝐶1 = 2190 N 𝛳 = 84.6°

A

Ejemplo. Descomponga el peso de 240 lb en dos componentes: C1 en dirección de la barra BC, y C2, cuya magnitud sea la menor posible.

C 58° B 240 #

26

Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula

Dibujamos la fuerza vertical de 240 lb, y una línea a 58°. El lado menor con que se puede formar un triángulo es uno perpendicular a la línea de 58°

32° 240

C2

𝐶1 = 240 cos 58° 𝐶2 = 240 cos 32°

240

58°

𝐶1 = 127.2 lb

58° C1

𝐶2 = 204 lb

Componentes cartesianas Un caso importante y frecuente de resolución de fuerzas es el que se efectúa en dos direcciones perpendiculares entre sí para obtener componentes ortogonales. Más frecuente aún es la descomposición en las direcciones de los ejes cartesianos: se trata de obtener las componentes ortogonales y en el sentido de los ejes equis y ye. Consideremos una fuerza 𝐹 y el sistema cary F tesiano que se muestra en la figura. Siguiendo el procedimiento ilustrado con el primer ejemplo, trazamos paralelas a las direcciones deseadas en θ x cada uno de los extremos de la fuerza. Como el cos 𝛳 es igual a la razón de 𝐹𝑥 a 𝐹, y sen 𝛳, la F razón de 𝐹𝑦 a 𝐹, entonces, 𝐹𝑥 = 𝐹 cos 𝛳 y 𝐹𝑦 = Fy 𝐹 sen 𝛳; con tales expresiones quedan deθ Fx terminadas las magnitudes y los sentídos de las componentes cartesianas (1). (1) Aquí podría comenzarse a definir los vectores y emplear un lenguaje vectorial, haciendo 𝑭 = 𝐹𝑥 𝒊 + 𝐹𝑦 𝒋; sin embargo, nos parece que no resulta útil, sino hasta abordar el estudio de las fuerzas en el espacio, es decir, en tres dimensiones. 27

Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula

Ejemplo. Obtenga las componentes cartesianas de cada una de las siguientes fuerzas.

y

𝐹𝑥 = 56 sen 42° 𝐹𝑥 = 37.5 kg

56 kg

42°

𝐹𝑦 = 56 cos 42° 𝐹𝑦 = 41.6 kg

x

y

𝐹𝑥 = 80 (√3⁄2) 𝐹𝑥 = 69.3 lb

80# x

𝐹𝑦 = −80 (1⁄2) 𝐹𝑦 = −40 lb

x

𝐹𝑥 = −2400 (√2⁄2) 𝐹𝑥 = −1697 N

30°

y 20° 45°

𝐹𝑦 = −240(√2⁄2) 𝐹𝑦 = −1697 N

2400 N

𝐹𝑥 = 150 sen 68° 𝐹𝑥 = 139.1 kg

y x

2m

𝐹𝑦 = −150 cos 68° 𝐹𝑥 = −56.2 kg

68° 150 kg

28

Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula

A Es frecuente que la información acerca de las fuerzas esté relacionada con las dimensiones de los cuerpos y no con sus ángulos. Pensemos 12 por ejemplo, en el cable que sostiene un poste de la figura. Si se sabe que la tensión del cable es de 260 kg, podríamos establecer la siguiente 5 comparación de dos triángulos semejantes. Por el teorema de Pitágoras se puede calcular la longitud de la hipotenusa del primer triángulo y 13 entonces establecer las siguientes proporcio- 12 nes: 2

260 𝐹𝑥 𝐹𝑦 = = 13 5 12

260

B

Fy

5

5

260

Fx

12

por tanto 𝐹𝑥 = 260 (13), y 𝐹𝑦 = −260 (13), es decir, 𝐹𝑥 = 100 kg y 𝐹𝑦 = −240 kg

Ejemplo. Diga cuáles son las componentes cartesianas de las fuerzas que se muestran a continuación.

y

𝐹𝑥 = 75 (4⁄5) 𝐹𝑥 = 60 kg

75 kg 5 3

𝐹𝑦 = 75 (3⁄5) 𝐹𝑦 = −45 lb

4

4

85 #

3

x

𝐹𝑥 = 85 (15⁄17) 𝐹𝑥 = 75 lb

y

8

8

17

15

𝐹𝑦 = −85 (8⁄17) 𝐹𝑦 = −40 lb

15 x

29

Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula

B) Más de dos fuerzas concurrentes Consideremos un cuerpo sujeto a la acción de mil fuerzas concurrentes. Elijamos un sistema de referencia cartesiano, con un eje de las equis horizontal con sentido hacia la derecha, y un eje de las yes vertical cuyo sentido sea hacia arriba. Cada una de las fuerzas puede descomponerse en sus componentes cartesianas en esas direcciones, sin que se alteren los efectos externos; o sea, que tenemos ahora un sistema equivalente de dos mil fuerzas, mil horizontales y mil verticales. Cada uno de esos conjunto s de mil fuerzas constituye un sistema de fuerzas colineales, cuyas resultantes son, respectivamente, una fuerza horizontal y una fuerza vertical, que podemos representar como 𝑅𝑥 y 𝑅𝑦 y cuyos sentidos y magnitudes pueden determinarse mediante las ecuaciones 𝑅𝑥 = ∑ 𝐹𝑥 y 𝑅𝑦 = ∑ 𝐹𝑦 Con este procedimiento hemos obtenido un nuevo sistema de fuerzas equivalente al original formado por dos fuerzas concurrentes. Estas dos se pueden componer en una sola mediante la ley del paralelogramo. Esta última es la resultante del sistema y su línea de acción contiene el punto de concurrencia de las fuerzas del sistema (2).

(2) Si empleáramos un lenguaje vectorial, diríamos que la resultante es 𝑹 = 𝑅𝑥 𝒊 + 𝑅𝑦 𝒋 (pues 𝑅𝑥 y 𝑅𝑦 son las componentes cartesianas de la resultante); y que la resultante es la suma vectorial de las fuerzas del sistema, es decir, 𝑹 = ∑ 𝑭. Pero, insistimos, no tiene ninguna ventaja en este momento, pues lo que interesa es conocer la magnitud y la dirección de la fuerza buscada 30

Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula 40 kg

Ejemplo. La argolla de la figura está sujeta a las tres fuerzas que se muestran. Determine la resultante de esas fuerzas.

30°

60 kg

45° 120 kg

Elegimos un sistema de referencia cartesiano y

𝑅𝑥 = ∑ 𝐹𝑥

40 30° 45°

60

x

𝑅𝑥 = 40 cos 30° + 60 + 120 cos 45° 𝑅𝑥 = 40√3⁄2 + 60 + 120√2⁄2 𝑅𝑥 = 20√3 + 60 + 60√2 = 179.5

120

𝑅𝑦 = ∑ 𝐹𝑦 𝑅𝑦 = 40 sen 30° − 120 sen 45° 𝑅𝑦 = 40(1⁄2) − 120(√2⁄2) 𝑅𝑦 = 20 − 60√2 = −64.9

y

179.5 64.9

𝑅 = √1792 + 642 64.9 tan 𝛳 = 179.5

x

θ R

𝑅 = 190.8 kg

Ejemplo. La figura representa un poste soportado por tres cables coplanares. Las tensiones en los cables AB, AC y CD son, respectivamente, 150, 260 y 170 lb. Sustituya las tres tensiones que actúan en el extremo A por una sola que produzca los mismos efectos externos sobre el poste. 31

19.9°

A 24´

B

C 18´

10´

D 35´

Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula

Además de escoger un sistema de referencia, trabajamos con las pendientes de las fuerzas. y

15

3

𝑅𝑥 = ∑ 𝐹𝑥

8

4

170 0

12

150

5

𝑅𝑥 = −150(3⁄5) + 260(5⁄13) + 170(15⁄17) 𝑅𝑥 = −90 + 100 + 150 = 160 x

260

5

4

15

13

12

17

3

5 y

𝑅𝑦 = ∑ 𝐹𝑦 𝑅𝑦 = −150(4⁄5) − 260(12⁄13) + 170(8⁄17) 8 𝑅𝑦 = −120 − 240 − 80 = 440

160

𝑅 = √1602 + 4402 440 tan 𝛳 = 160

θ 440

R

x

𝑅 = 468 lb

Ejemplo. Tres remolcadores empujan una embarcación durante sus manio- 15° bras en un puerto. Cada remolcador ejerce una fuerza de 2 kN. Diga cuál debe ser 15° el valor del ángulo , de modo que la resultante de los tres empujes tenga la θ dirección del eje longitudinal del buque. Diga también cuál es la magnitud de la resultante. Dibujemos las fuerzas en su sistema de referencia 32

70°

Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula

y 2

2 15° 15° θ

Como 𝑅 es horizontal, 𝑅𝑦 = 0 ∑ 𝐹𝑦 = 0 2 sen 𝛳 − 2 sen 15° − 2 sen 30° = 0 sen 𝛳 = sen 15° − sen 30° x 𝛳 = 49.4° 𝑅𝑥 = ∑ 𝐹𝑥

2

𝑅𝑥 = 2(cos 49.4° + cos 15° + cos 30°) 𝑅 = 4.97 kN

33

Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula

Serie de ejercicios de Estática RESULTANTES DE LOS SISTEMAS DE FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE LA PARTÍCULA 1 y 2. Halle gráficamente la magnitud y la dirección de las resultantes de los dos sistemas de fuerzas de las figuras. Utilice una escala tal, que permita resolver los problemas ocupando una hoja tamaño carta.

3 y 4. Resuelva analíticamente los dos problemas anteriores. (Sol. 533 kg 10.8º; 5.69 N 6.6º)

5. El cable AB ejerce una tensión de 120 kips y el AC otra de 80. Determine la magnitud y la dirección de la fuerza única que es capaz de producir los mismos efectos externos sobre la argolla. (Sol. 188.4 kip 9.2º)

6. Se desea sostener el cuerpo de 140 lb que se muestra en la figura. Diga qué tensión T deberá aplicarse para lograrlo y cuál debe ser el ángulo. (Sol. T = 81.2 lb; θ = 29.5º)

34

Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula

7. Descomponga la fuerza horizontal de 500 kg en dos componentes, en las direcciones que se indican. Diga cuáles son las magnitudes de las componentes C1 y C2. (Sol. C1 = 543 kg, C2 = 442 kg)

8. Los tractores A y B remolcan una embarcación a lo largo de un canal. La cuerda jalada por el tractor A forma un ángulo ϴ = 25º respecto al eje del canal; la cuerda que jala B tiene una tensión de 3 kips y forma un ángulo ϕ= 40º respecto al eje del canal. ¿Cuál es la tensión en la cuerda de A? ¿Qué magnitud tiene la resultante de las dos tensiones? (Sol. TA = 4.56 kip; R = 6.43 kip)

9. Si la embarcación del problema anterior produce una resistencia de 200 kN, y la cuerda gobernada por el tractor A debe soportar la mínima tensión posible, ¿qué ángulo ϴ deberá formar con eje del canal, si ϕ= 40º? ¿Cuál es la tensión de cada cuerda? (Sol. θ= 50º; TA = 128.6 kN; TB = 153.2 kN)

10. Determine la magnitud de F y del ángulo ϴ para lograr que la resultante de las compresiones ejercidas por los perfiles de la figura sea horizontal y de 2.4 ton. La fuerza Q es de 1.8 ton y el ángulo ϕ= 45º. ( Sol.F=2.30 ton, θ=64.5º; F’=1.097 ton, θ’=25.5º) 35

Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula

11. Si la fuerza F del elemento estructural del problema anterior es de 60 kips, Q de 75 y su resultante debe ser horizontal y de 90 kips, ¿qué valores deben tener los ángulos ϴ y ϕ? (Sol. θ =41.4º; ϕ=55.8º)

12. El cuerpo que sostiene la grúa de la figura es de 800 kg. ¿Cuáles son las componentes de ese peso en las direcciones de las barras AB y BC? (Sol. CAB = 1200 kg; CBC = 1600 kg)

13. El cable en el que se aplica la tensión de 750 kg tiene una pendiente de 4/3. Determine sus componentes cartesianas, conforme al sistema mostrado en la figura. (Sol. Fx = 628 kg; Fy = 410 kg)

14. Diga cuáles son la magnitud y la dirección de la resultante de las tres tensiones que las cuerdas ejercen sobre la argolla de la figura. (Sol. 47.9 lb 38.8º)

15. Determine la magnitud y la dirección de la resultante de las cuatro fuerzas que se representan en la figura. (Sol. 325 N 24.6º)

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Resultantes de los sistemas de fuerzas que actúan sobre la partícula

16. ¿Por qué fuerza única habría que cambiar las tres ejercidas por los perfiles so-bre el elemento estructural mostrado, de modo que se produjeran los mismos efectos externos sobre éste? (Sol. 2260 lb 16.7º)

17. En el centro de un hexágono regular están aplicadas fuerzas de 1, 3, 5, 7, 9 y 11 N, colocadas en ese mismo orden y dirigidas hacia los vértices. Determine la magnitud de su resultante y diga en la dirección de cuál de las fuerzas actúa. (Sol. 12 N en dirección de la fuerza de 9 N)

18. Además de las dos fuerzas mostradas, sobre el poste de la figura actúa la tensión del cable. Diga cuáles son las magnitudes de di-cha tensión y de la resultante de las tres fuer-zas, sabiendo que es vertical. (Sol. T = 676 kg; R = 804 kg)

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