Resultante De Fuerzas Concurrentes 09

Resultante de  fuerzas concurrentes  Resolución grafica  Para  calcular  gráficamente  la  resultante  de  dos  fuerzas  concurrentes  empleamos  uno  de  estos  dos  métodos que paso a explicar: 

Método del paralelogramo 

F2 = 50

0  N

En primer lugar represento las fuerzas F1 y F2 separadas por un ángulo α 

50° F = 600 N 1

 

Trazo por el extremo de F1una paralela a F2, y a continuación, por el extremo de F2 una paralela a F1, 

F2 = 5

00

 N

quedando así representado un paralelogramo. 

50° F = 600 N 1

 

Por  último  trazo  la  diagonal  del  paralelogramo  que  va  desde  el  origen  de  las  fuerzas  dadas  hasta  el  vértice  opuesto  al  mismo.  La  resultante  será  dicha  diagonal  y  tendrá  el  origen  común  a  las  otras 

 N

fuerzas. 

F2 = 5

00

R

F = 600 N 1

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1 

Mido la longitud de la resultante y la multiplico por la escala empleada obtengo el valor aproximado de  la resultante. En el ejemplo desarrollado, como la longitud de la R es 10 cm y la escala que utilice es  .

100 N/cm, el valor de la resultante es: 

 

Podemos decir entonces que:  La  RESULTANTE  de  un  sistema  de  dos  fuerzas  concurrentes  con  el  mismo  punto  de  aplicación,  está  representada  por  el  vector  que  es  diagonal  del  paralelogramo,  cuyos  lados  son  los  vectores  correspondientes a las fuerzas que forman dicho sistema.  En el caso de varias fueras concurrentes aplicadas en un mismo punto, como, por ejemplo: 

F2= 75N

F1= 100N

F3= 150N

  Se puede calcular la resultante aplicando el método del paralelogramo, por ejemplo sustituimos F1 y F2  por R1 

R1 F1= 100N

F2= 75N

F3= 150N

  Luego, se procede a componer R1 con F3 obteniéndose la resultante R: 

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2 

R1

R

F3= 150N

    ,

 

Cuando se trata de un número mayor de fuerzas, se sigue el mismo procedimiento: se componen dos  de ellas, su resultante con otra y así sucesivamente hasta agotar todas las fuerzas.  Entonces,  para  hallar  la  resultante  de  un  sistema  de  varias  fuerzas  concurrentes  se  puede  aplicar  repetidamente la regla del paralelogramo.  Para simplificar este procedimiento podemos aplicar el 

Método de la poligonal  Poligonal: Se denomina línea poligonal al conjunto ordenado de segmentos tales que, el extremo de  uno de ellos coincide con el origen del segmento que le sigue. Un polígono está conformado por una  línea poligonal cerrada  Este  método  consiste  en  construir  un  polígono  que  tenga  por  lados  a  cada  uno  de  los  vectores  que  componen el sistema de fuerzas.  A modo de ejemplo:  F1= 160 N  F2= 120 N 

F1

F3= 320 N 

F2 O

F3 F4

F4= 200 N     

Para  calcular  por  este  método  la  R  debo  representar  una  de  las  componentes  (en  este  caso  F1)  respetando  dirección,  sentido  e  intensidad.  A  continuación  coloco  el  origen  de  otra  de  las   Prof. Silvia Alejandra Córdova   

3 

componentes,  por  ejemplo  F3,  en  el  extremo  de  la  componente  anterior  y  así  sucesivamente  hasta  ocupar todas las componentes del sistema. Me queda de este modo una poligonal abierta  F3

F2

F1

F4

  Cerramos el polígono con un vector que tiene el origen en la primera fuerza trazada y cuyo extremo  coincide con el extremo de la última fuerza empleada, este vector es la resultante del sistema  F3

F2

F1

F4 R

  Midiendo  la  longitud  del  vector  R  y  teniendo  en  cuenta  la  escala  utilizada  se  halla  el  valor  de  la  resultante.    En  el  caso  de  que  el  último  punto  hallado  al  componer  un  sistema  de  varias  fuerzas  coincida  con  el  punto de aplicación, la resultante es nula (igual a cero).  Esto sucede cuando el sistema está en equilibrio. 

Condición general de equilibrio  Un cuerpo, sometido a la acción de un sistema de fuerzas, está en equilibrio cuando la resultante de las  fuerzas componentes es nula (R= 0).    En el caso de un cuerpo en equilibrio sobre el cual actúan varias fuerzas concurrentes: 

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  Si sustituimos las fuerzas   ,

 por su resultante (

), el sistema queda reducido a 

: 

  La resultante 

 actúa sobre la misma recta de acción, tiene igual intensidad y sentido contrario que 

, por lo cual el cuerpo permanece en equilibrio.  De este ejemplo se puede deducir que: En un cuerpo en equilibrio, cada fuerza es igual y de sentido  contrario a la resultante de las demás. 

Equilibrante  Se llama fuerza equilibrante a una fuerza con mismo módulo y dirección que la resultante (en caso de  que  sea  distinta  de  cero)  pero  de  sentido  contrario.  Es  la  fuerza  que  equilibra  el  sistema.  Sumando  vectorialmente a todas las fuerzas (es decir a la resultante) con la equilibrante se obtiene cero, lo que  significa que no hay fuerza neta aplicada.  Resumiendo:  PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE ESTÁTICA  Los principios fundamentales del equilibrio estático son:  1) Una fuerza única aplicada a un cuerpo no puede producir equilibrio.  2) Dos fuerzas de igual intensidad y de sentido contrario que actúan sobre la misma recta de acción se  equilibran.  3) En un cuerpo en equilibrio, cada fuerza es igual y de sentido contrario a la resultante de todas las  demás. 

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Descomposición de Fuerzas  Hasta este momento nos hemos ocupado de encontrar una fuerza que reemplace a las componentes  del sistema produciendo el mismo efecto que todas ellas (resultante), es tiempo entonces de realizar el  proceso inverso, es decir, ahora veremos que cualquier fuerza puede descomponerse en dos fuerzas  que ejercen la misma acción, denominadas componentes.  Si consideramos una fuerza cualquiera aplicada en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas  perpendiculares,  podemos  encontrar  dos  fuerzas,  una  en  la  dirección  de  cada  eje,  que  sumadas  (vectorialmente) dan por resultado la fuerza inicial.  Estas fuerzas reciben el nombre de componentes en las direcciones de los ejes    es la componente de F en la dirección del eje x   es la componente de F en la dirección del eje y  ¿Como se descompone una fuerza?  Primero  representamos  la  fuerza  dada  en  un  sistema 

de 

coordenadas 

cartesianas 

perpendiculares, por ejemplo:  º       A continuación trazamos una recta paralela al eje x que  pase  por  el  extremo  de  F  y  corte  al  eje  y  en  un  punto,  luego trazamos una paralela al eje de las y que pase por  el extremo de la fuerza dada y corte al eje x en un punto.     

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6 

De 

este 

modo 

queda 

determinado 

un 

paralelogramo  en  el  cual  la  diagonal  es  la  fuerza  a  descomponer  y  los  lados  son  las  fuerzas  componentes 

 

 

Entonces:  La  descomposición  de  una  fuerza  consiste  en  determinar  dos  fuerzas  que  sean  los  lados  de  un  paralelogramo cuya diagonal es la fuerza que se quiere descomponer.     Analíticamente las componentes de la fuerza en los ejes x e y las obtenemos a partir de las relaciones  trigonométricas:  Partimos del triangulo rectángulo de hipotenusa   y catetos 

  

     Despejando 

 resulta: 

 

 

 

      Despejando 

 resulta:   

 

 

 

   

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Composición de fuerzas concurrentes    Anteriormente  vimos  como  podíamos  calcular  R  en  forma  grafica.  A  continuación  calcularemos  esa  resultante en forma analítica, para ello consideraremos 2 casos: 

1º caso: 

 son perpendiculares  Para calcular la resultante aplicamos el teorema de Pitágoras      ,

 

 

2º caso: las fuerzas son oblicuas  Generalmente tenemos distintas fuerzas aplicadas a un cuerpo y en distintas direcciones. Para conocer  su comportamiento lo que hacemos es calcular la fuerza resultante, equivalente a la suma vectorial de  todas las fuerzas aplicadas.  Para resolver este tipo de problemas primero debemos representar el sistema 

  A continuación lo que hay que hacer es descomponer a las fuerzas proyectándolas sobre los ejes y las  calculamos 

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8 

  ,

º º

,

º

 

º

 

, ,

 

Una vez que tenemos cada componente proyectada, hacemos las sumas y restas sobre cada eje   ,

,

,

,

,

,

   

De  esta  manera  nos  queda  un  sistema  de  fuerzas  concurrentes  cuyas  componentes  son  perpendiculares 

  Como vimos anteriormente esta resultante la calculamos aplicando el teorema de pitágoras    ,

, ,

 

 

Esta es la resultante que buscamos  Por último vamos a calcular la direccion de esta resultante 

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9 

,

 

, º

,

" 

   

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