MATEMATIKA KELAS VIII SEMESTER SATU/GANJIL MATERI DAN LATIHAN
BAB II RELASI DAN FUNGSI 3/24/2019
1
SELAMAT BELAJAR
SEMOGA BERHASIL DAN SUKSES 3/24/2019
2
Oleh : Muhamad Sidiq A410080079 3/24/2019
3
A. RELASI 1. Pengertian Relasi Relasi ( hubungan ) dari himpunan A ke B adalah pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B. Relasi dalam matematika misalnya : lebih dari , kurang dari , setengah dari , faktor dari , dan sebagainya . Contoh : Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1, 2, 3 } . Jika himpunan A ke himpunan B dinyatakan relasi “ kurang dari “ , maka lebih jelasnya dapat ditunjukkan pada gambar di bawah : 3/24/2019
4
Kurang dari
A
B
1. 2. 3. 4.
.1 .2 .3
Diagram disamping dinamakan diagram panah . Arah relasi ditunjukkan dengan anak panah dan nama relasinya adalah “ kurang dari “
3/24/2019
5
2. Menyatakan Relasi Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara , yaitu : Diagram Panah , Diagram Cartesius , dan Himpunan pasangan berurutan . a. Diagram Panah Contoh : 1. Jika Anto suka sepakbola , Andi suka voli dan bulutangkis serta Budi dan Badri suka basket dan sepakbola . Buatlah Diagram Panah keadaan tersebut apabila A adalah himpunan anak dan B adalah himpunan olahraga . 3/24/2019
6
A
3/24/2019
Suka akan
B
Anto .
. Voli
Andi .
. Basket
Budi .
. Bulutangkis
Badri .
. Sepakbola
7
2. Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan Q = { 2, 4, 6, 8 } . Gambarlah diagram panah yang menyatakan relasi dari P dan Q dengan hubungan : a. Setengah dari b. Faktor dari Jawab : a. P
3/24/2019
Setengah dari
Q
1.
.2
2 .
.4
3 .
.6
4 .
.8
1
8
b.
P Faktor dari Q
1
3/24/2019
.
.2
2 .
.4
3 .
.6
4 .
.8
9
b. Diagram Cartesius Contoh : Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan B = { 1, 2, 3, …, 10 }. Gambarlah diagram cartesius yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan : a. Satu lebihnya dari b. Akar kuadrat dari 3/24/2019
10
Himpunan B
Jawab : a . Satu lebihnya dari 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 3/24/2019
1
2
3 4 5 6 7 Himpunan A
8
9 10 11
Jawab :
Himpunan B
b. Akar kuadrat dari 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 3/24/2019
1
2
3 4 5 6 7 Himpunan A
8
9 10 12
C. Himpunan pasangan berurutan Contoh : Himpunan A = { 1, 2, 3, … , 25} dan B = { 1, 2, 3, … , 10 } .
Tentukan himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan : a. kuadrat dari b. dua kali dari 3/24/2019
c. Satu kurangnya dari
13
Jawab : a. { (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), (25,5) } b. { (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), (10,5), (12,6), (14,7),(16,8), (18,9),(20,10) } c. { (1,2) , (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8), (8,9), (9,10) }
3/24/2019
14
B. FUNGSI 1. Pengertian Fungsi
Sebuah fungsi f : x y adalah suatu aturan yang memasangkan tiap anggota x pada suatu himpunan (daerah asal / domain), dengan tepat sebuah nilai y dari himpunan kedua (daerah kawan / kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil / range fungsi tersebut . Untuk lebih memahami pengertian diatas perhatikan contoh berikut : 3/24/2019
15
Contoh : Perhatikan diagram panah dibawah ini : A
B . 1
0.
2. 4. 6. Daerah asal/ Domain 3/24/2019
. 2 . 3
Daerah hasil/ Range
. 4 . 5 Daerah kawan/ kodomain 16
Dari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa : 1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. 2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 } disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan { 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).
3/24/2019
17
2. Notasi Fungsi Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan dengan huruf kecil f , g , h , dan sebagainya. Misal : f : x y dibaca f memetakkan x ke y , maka y = f(x) dibaca sama dengan f dari x digunakan untuk menunjukkan bahwa y adalah fungsi dari x . 3/24/2019
18
Suatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu dengan diagram panah , diagram cartesius , dan himpunan pasangan berurutan . Contoh : Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4 } a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan pemetaan f yang ditentukan oleh : a 1 , i 2 , u 1 , e 4 , o 2 . b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius c . Nyatakan pula f sebagai himpunan pasangan berurutan . 3/24/2019
19
Jawab : a . Diagram panah A
B
a. .1
i . .2 u. .3 e. .4 o.
3/24/2019
20
b. Diagram cartesius 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 3/24/2019
a i
u e
o 21
c. Himpunan pasangan berurutan
{ (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) }
3/24/2019
22
3. Banyaknya pemetaan dari dua himpunan
Jika n(A) = a , dan n(B) = b , maka banyak pemetaan yang mungkin terjadi dari himpunan A ke B adalah ba dan himpunan B ke A adalah ab Contoh : Berapa banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi untuk pemetaan berikut : a. Dari himpunan A = {a} dan B = {1} b. Dari himpunan C = {1} dan D = { a , b }
3/24/2019
23
c. Dari himpunan E = {a,b} dan F = {1} d. Dari himpunan G = {1} dan H = { a,b,c } e. Dari himpunan I = {1,2} dan J = { a,b} f. Dari himpunan K = {a,i,u,e,o} dan L = {1,2,3} g. Dari himpunan M = {a,b,c,d} dan N = {1,2,3,4,5}
Jawab : a. n(A) = 1 , n(B) = 1 Banyak pemetaan 11 = 1 b. n(C) = 1 , n(D) = 2 Banyak pemetaan 21 = 2 3/24/2019
24
c. n(E) = 2 , n(F) = 1 Banyak pemetaan 12 = 1 d. n(G) = 1 , n(H) = 3 Banyak pemetaan 31 = 3 e. n(I) = 2 , n(J) = 2 Banyak pemetaan 22 = 4 f. n(K) = 5 , n(L) = 3 Banyak pemetaan 35 = 243 g. n(M) = 4 , n(N) = 5 Banyak pemetaan 54 = 625 3/24/2019
25
4. Merumuskan suatu fungsi f : x y dibaca f memetakkan x ke y dan dapat dinyatakan dengan f(x) . Maka rumus fungsi dapat ditulis f(x) = y . Contoh : Diketahui suatu fungsi f : x x + 2 dengan daerah asal fungsi { x/ 1 < x < 6, x A} a. Tentukan rumus fungsi ! b. Tentukan daerah asal fungsi ! c . Tentukan daerah hasil fungsi ! d. Jika f(x) = 15 , maka tentukan nilai x ! 3/24/2019
26
Jawab : a. Rumus fungsi f(x) = x +2 b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 } c. Daerah hasil : f(x) = x + 2 untuk x = 2 f(x) = 2 + 2 = 4 x = 3 f(x) = 3 + 2 = 5 x = 4 f(x) = 4 + 2 = 6 x = 5 f(x) = 5 + 2 = 7 Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 } d. f(x) = 15 x + 2 = 15 x = 15 – 2 x = 13 Jadi nilai x = 13 3/24/2019
27
Uji Kompetensi 4 1. Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2, 3, } Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ , maka : a. Himpunan pasangan berurutan : { ( 2,0), (3,…), (…,2), (…,…) } b. Diagram Panah A
3/24/2019
B
28
Pembahasan 1. Diketahui A = { 2, 3, 4, 5 } dan B = { 0, 1, 2, 3, } Relasi A ke B adalah “ dua lebihnya dari “ , maka : a. Himpunan pasangan berurutan : { ( 2,0), (3,1), (4,2), (5,3) } b. Diagram Panah Dua lebihnya dari
3/24/2019
A
B
2. 3. 4. 5.
.0 .1 .2 .3
29
2. Gambarlah relasi-relasi berikut dengan diagram panah. Kemudian tentukan termasuk fungsi atau bukan fungsi ! a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) } b. { (1,1), (2,2), (3,3) } c. { (3,4), (5,6), (7,8) } d. { (2,3), (3,4), (4,5) }
3/24/2019
30
Pembahasan a. { (1,2), (1,3), (2,4), (3,5) } bukan fungsi karena ada anggota x yang berpasangan lebih dari satu dengan anggota y . x y 1. 2. 3. 3/24/2019
.2 .3 .4 .5
Bukan fungsi
31
b. { (1,1), (2,2), (3,3) } A 1.
3/24/2019
B .1
2.
.2
3.
.3
Fungsi
32
c. { (3,4), (5,6), (7,8) }
3/24/2019
P
Q
3.
.4
5.
.6
7.
.8
Fungsi
33
d. { (2,3), (3,4), (4,5) }
3/24/2019
K
L
2.
.3
3.
.4
4.
.5
Fungsi
34
3 . Fungsi f : x x + 3 mempunyai domain
{ -2, -1, 0, 1, 2 } . a. Tunjukkan fungsi f dalam diagram panah . b. Nyatakan dalam himpunan pasangan berurutan . c. Tulis range dari f .
3/24/2019
35
Pembahasan a. Fungsi f : x x + 3 , jadi f(x) = x + 3 Untuk x = -2 maka f(-2) = -2 + 3 = 1 x = -1 maka f(-1) = -1 + 3 = 2 x = 0 maka f(0) = 0 + 3 = 3 x = 1 maka f(1) = 1 + 3 = 4 x = 2 maka f(2) = 2 + 3 = 5
3/24/2019
x
x+3
-2 . -1 . 0. 1 . 2.
.1 .2 .3 .4 .5
36
b. Himpunan pasangan berurutan { (-2,1), (-1,2), (0,3), (1,4), (2,5) } c. Range (daerah hasil ) = ( 1, 2, 3, 4, 5 )
3/24/2019
37
4. Suatu persamaan fungsi f(x) = ½ x + 1 dengan daerah asal { 2, 4, 6, 8, 10 } . Tentukan : a. Daerah hasil / bayangan . b. Himpunan pasangan berurutan .
3/24/2019
38
Pembahasan : a. f(x) = ½ x + 1 f(2) = ½ . 2 + 1 = 1 + 1 = 2 f(4) = ½ . 4 + 1 = 2 + 1 = 3 f(6) = ½ . 6 + 1 = 3 + 1 = 4 f(8) = ½ . 8 + 1 = 4 + 1 = 5 f(10) = ½ . 10 + 1 = 5 + 1 = 6 Jadi Range / daerah hasil / daerah bayangan = { 2, 3, 4, 5, 6 } b. Himpunan pasangan berurutan { (2,2), (4,3), (6,4), (8,5), (10,6) } 3/24/2019
39
5. Dengan tanpa membuat diagram panahnya terlebih dahulu , tentukan banyaknya pemetaan yang mungkin dari : a. A = {a, b, c} B = {1, 2} b. A = {1, 2} B = {a, b, c} c. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3} d. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4} e. A = {1, 2} B = {a, b, c, d}
3/24/2019
40
Pembahasan a. b. c. d. e.
A = {a, b, c} A = {1, 2} A = {a, b, c} A = {a, b, c} A = {1, 2}
3/24/2019
B = {1, 2} ------ 23 = 8 B = {a, b, c} ----- 32 = 9 B = {1, 2, 3} ------- 33 = 27 B = {1, 2, 3, 4} ----- 43 = 64 B = {a, b, c, d} ----- 42 = 16
41
3/24/2019
42
C. Menghitung Nilai Fungsi Untuk menghitung nilai fungsi dapat digunakan rumus : f (x) = ax + b Contoh : 1. Suatu fungsi ditentukan dengan f : x 5x -3 Tentukan : a. Rumus funsi . b. Nilai fungsi untuk x = 4 dan x = -1 . 3/24/2019
43
Jawab : a. Rumus fungsinya f(x) = 5x – 3 b. Nilai fungsi f(x) = 5x – 3 untuk x = 4 maka f(4) = 5 . 4 – 3 = 17 x = -1 maka f(-1) = 5 .(-1) – 3 = -8 Jadi nilai fungsi untuk x = 4 adalah 17 dan x = -1 adalah -8
3/24/2019
44
2.
3/24/2019
Suatu fungsi dirumuskan g (x) = -4x + 3 Tentukan : a. g ( -2 ) b. Nilai a jika g (a) = -5
45
Jawab : a. g (x) = -4x + 3 g (- 2 ) = -4 . (- 2 ) + 3 =8+3 = 11 b. g (a) = - 4a + 3 - 4a + 3 = - 5 - 4a = - 5 – 3 - 4a = - 8 a = 2 3/24/2019
46
D. MENENTUKAN BENTUK FUNGSI
3/24/2019
Suatu fungsi dapat ditentukan bentuknya jika data fungsi diketahui . Bentuk fungsi linier dapat dirumuskan sebagai f (x) = ax + b . Contoh : Suatu fungsi ditentukan dengan rumus f (x) = ax + b , jika f (2) = 10 dan f (-4) = -8 . Tentukan : a. Nilai a dan b b. Bentuk fungsinya c. Bayangan dari – 3
47
Jawab : a. f (x) = ax + b f (2) = 2a + b = 10 2a + b = 10 f (-4) = -4a + b = -8 -4a + b = -8 6a = 18 a = 3 untuk a = 3 2a + b = 10 2 . 3 + b = 10 6 + b = 10 b =4 Jadi , nilai a = 3 dan b = 4 3/24/2019
-
48
b. f (x) = ax + b f (x) = 3x + 4 Jadi , bentuk fungsinya f (x) = 3x + 4 c. Bayangan dari – 3 f (x) = 3x + 4 f (- 3) = 3 ( - 3 ) + 4 =-9+4 =-5
3/24/2019
49
Uji Kompetensi 5 1 . Sebuah fungsi dirumuskan f (x) = x + 1 a. Tentukan f (2) , f (-3) , f ( ½ ) ! b. Tulislah daerah hasilnya ! c . Jika f (a) = 3 maka tentukan nilai a !
3/24/2019
50
Pembahasan a . f (x) = x + 1 f (2) = 2 + 1 = 3 f (-3) = -3 + 1 = -2 f(½)=½+1=1½ b. Daerah hasil = { (2,3),(-3,½),(½, 1 ½) } c. f (a) = a + 1 3 =a+1 a =2 3/24/2019
51
2 . Sebuah fungsi h dirumuskan h (x) = x2 – 4 a. Hitunglah h (-3) , h (5) , dan h (½) ! b. Tentukan p bila h (p) = 0 !
3/24/2019
52
Pembahasan a. h (x) = x2 – 4 h (-3) = (-3)2 – 4 = 9 – 4 = 5 h (5) = (5)2 – 4 = 25 – 4 = 21 h (½) = (½)2 – 4 = ¼ - 4 = - 3 3/4 b. h (p) = p2 – 4 h (p) = 0 0 = p2 - 4 p2 = 4 p =2
3/24/2019
53
3 . Diketahui f (x) = ax + b , jika f (1) = -3 dan f (0) = -1 . Tentukan : a. Nilai a dan b b. Bentuk fungsinya
3/24/2019
54
Pembahasan a. f (x) = ax + b f (1) = a + b = 3 a + b = 3 f (0) = b = -1 b = -1 a = 4 Jadi a = 4 dan b = -1 b. bentuk fungsinya adalah : f (x) = 4x - 1
3/24/2019
55
3/24/2019
56
E. Menggambar Grafik Fungsi Untuk menggambar grafik fungsi ada cara yang mudah yang dapat dilakukan terlebih dahulu yaitu membuat tabel dengan mendaftar semua daerah asalnya . 1. Grafik Fungsi Linier Contoh : 1. Gambarlah grafik fungsi f (x) = x +1 dengan domain {x/0 x 5 , x C} 3/24/2019
57
Jawab : f (x) = x +1 daerah asal = { 0,1,2,3,4,5 } 3 4 5 0 1 2 x 5 6 1 2 3 4 x+1 {x,f(x)} (0,1) (1,2) (2,3) (3,4) (4,5) (5,6)
3/24/2019
58
Grafiknya :
f (x) = x + 1 , x c (0,1,2,3,4,5)
x+1
{(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)} 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 3/24/2019
0
1
2
3 x
4 5
59
2. a. Buatlah tabel fungsi g : x -2x + 1 dengan daerah asal { -4,-3,-2,-1,0,1,2,3 } ! b. Berdasarkan tabel tersebut tentukan : (i) bayangan dari -2 , 0 , dan 2 ! (ii) himpunan pasangan berurutan ! (iii) gambarlah grafik fungsi tersebut pada bidang cartesius , kemudian hubungkan titik-titik tersebut sehingga menjadi suatu garis lurus. 3/24/2019
60
Jawab : a. g (x) = - 2x + 1 x
-2x
-2 4
-1 2
0 0
1 -2
2
-4
3 -6
1
1
1
1
1
1
1
1
g (x) 9
7
5
3
1
-1
-3
-5
1
3/24/2019
-4 -3 8 6
61
b. (i) Bayangan dari : -2 adalah 5 0 adalah 1 2 adalah -3 (ii) Himpunan pasangan berurutan : { (-4,9),(-3,7),(-2,5),(-1,3),(0,1),(1,-1), (2,-3),(3,-5) } 3/24/2019
62
g (x) = -2x + 1
(iii) Grafiknya :
9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5
3/24/2019
1 2
3
63
3/24/2019
64
Uji Kompetensi 6 1. Tentukanlah f (x) = 2x untuk daerah asal { x/ -4 x < 4 , x B }. a. Buatlah tabel fungsinya ! b. Tulislah rangenya ! c. Gambarlah grafik fungsinya !
3/24/2019
65
Pembahasan a. Tabel fungsi : f(x) = 2x x
-4 -3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
-8 -6
-4 -2
0
2
4
6
x, f(x) (-4,-8) (-3,-6) (-2,-4) (-1,-2)
(0,0) (1,2) (2,4)
(3,6)
b. Range : { -8,-6,-4,-2,0,2,4,6 } 3/24/2019
66
Grafiknya :
9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6
3/24/2019
1 2
3
67