Vectores Parte Ii

46 A diferencia de las coordenadas cartesianas (o rectangulares), las coordenadas polares de un punto no son únicas. Las coordenadas polares ( r;

φ ) y ( r ; φ + 2n ) con n entero,

corresponden al mismo punto.

2.6

Definición de vectores en términos de sus componentes Los vectores pueden situarse en el plano (en dos dimensiones) o en el espacio (en tres

dimensiones). Al igual que un punto P, los vectores

se pueden expresar algebraicamente como un par

ordenado de números reales en el plano ó como una terna ordenada de números en el espacio, empleando cualquiera de los sistemas de coordenadas mencionados anteriormente. Además, todo vector puede expresarse como la suma de dos o más vectores los cuales reciben el nombre de componentes del vector. Las componentes más empleadas para definir a cualquier vector, son las componentes rectangulares del vector asociadas al sistema de coordenadas cartesiano

2.6.1 Expresión de un vector como un par ordenado en el plano o una terna ordenada de números reales

r Algebraicamente un vector A

en el plano, en cualquier sistema de coordenadas se puede r definir como un par ordenado de números reales. Un vector A en el espacio, en cualquier sistema de coordenadas se puede definir como una terna ordenada de números reales.

2.6.1.1 Definición de un vector en el plano en un sistema de coordenadas cartesiano como un par ordenado de números reales. r Un vector A en el plano definido en un sistema de coordenadas cartesiano, como un par r ordenado de números reales, está representado por A : (a ; b). El par ordenado (a ; b) se r corresponde con las proyecciones ortogonales del vector A sobre los respectivos ejes coordenados: El número real a , denominado componente del vector paralela al eje x, se corresponde con r la proyección ortogonal del vector A sobre el eje X

47 El número real b, denominado componente del vector paralela al eje y, se corresponde con r la proyección ortogonal del vector A sobre el eje Y. r Cuando la cola del vector A coincide con

: (a ; b)

el origen del sistema de coordenadas cartesiano; el par ordenado

(a ; b) está

determinado por las coordenadas cartesianas r de la punta del vector A .

r r r r Observa y define los vectores A , B , C y D representados gráficamente en el siguiente

sistema de coordenadas cartesiano:

Y

r B

r r r Los vectores A , B , C y

r A

4

representados como par ordenado en el sistema de coordenadas

2

X -4

-2

0

2

-4

cartesiano son: r A : (3; 4)

r B:

(−3; 3)

4

r C : (−4; −3)

-2

r C

r D

r D : (4; −4)

r D

r Cuando la cola del vector A no coincida con el origen del sistema de coordenadas cartesianas r las componentes cartesianas del vector A : (a ; b) se determinan de la siguiente manera:

48 r 1 ) Los dos extremos del vector A , la punta Ppunta (xpunta; y punta) y la cola Pcola (xcola; ycola), se

proyectan perpendicularmente al eje X . La diferencia entre la abscisa de la punta (xpunta ) r menos la abscisa de la cola (xcola) es la componente cartesiana del vector A paralela al eje X ; es decir: a = xpunta − xcola.

r 2) Los dos extremos del vector A , la punta Ppunta (xpunta; y punta) y la cola Pcola (xcola; ycola), se proyectan perpendicularmente al eje Y. La diferencia entre la ordenada (ypunta

de la punta r ) menos la ordenada de la cola (ycola) es la componente cartesiana del vector A

paralela al eje Y ; es decir: b = ypunta − ycola

r 3) El vector A definido como par ordenado en el sistema de coordenadas cartesiano se r A = ( xpunta − xcola ; ypunta − ycola ) determina con la ecuación:

r r Observa y define los vectores A , B , iˆ y ˆj como un par ordenado en el sistema de

coordenadas cartesiano que se muestra en la página siguiente. r r r Los vectores A , B , C , iˆ y ˆj representados como par ordenado en el sistema de coordenadas

cartesiano:

49

Y

ˆj iˆ

r A = [–5 – (–2) ; –3 – (–1)] r A = (– 3 ; – 2 )

r B

4

2 X

-4

-2

0

2

r B = ( 4 – 1 ; 4 – 2)

r B = (3;2)

r C = [2 –3 ; – 2 – (–3)]

r C = (–1 ; 1)

iˆ = [–3 – (–4); 2– 2]

iˆ = (1 ; 0)

ˆj = [–2 – (–2) ; 4 – 3 ]

ˆj = (0 ; 1)

4 r C

-2 r A

Observa que los vectores iˆ y ˆj son vectores unitarios, mientras que el v vector C no es vector unitario

2.6.1.2 Definición de un vector en el espacio en un sistema de coordenadas cartesiano como una terna ordenada de números reales.

r A en el espacio en un sistema de coordenadas cartesiano puede ser r representado por una terna ordenada de números reales A : (a ; b ; c); en donde la terna r ordenada de números reales (a ; b ; c) son las componentes cartesianas del vector A en el Un vector

espacio : El número real a es la componente del vector paralela al eje x. El número real b es la componente del vector paralela al eje y. El número real c es la componente del vector paralela al eje z.

50

r Cuando la cola del vector A coincide con el origen del sistema de coordenadas rectangulares, las componentes cartesianas r del vector A se determinan trazando las proyecciones

ortogonales

sobre

los

respectivos ejes coordenados.

La terna ordenada (a ; b ; c) están definidas por las coordenadas cartesianas de la punta del r vector A .

r Cuando la cola del vector A no coincida con el

Y

coordenadas

yp

rectangulares, la terna ordenada (a ; b ; c) se

yc

origen

del

determinan

sistema trazando

de las

(xp,yp ,zp)

A

proyecciones

ortogonales de la punta y de la cola del vector r A sobre los respectivos ejes coordenados,

(x c,yc ,zc)

siguiendo el procedimiento establecido para determinar las componentes de un vector en el plano .

zp

0

xc

xp

zc Z

r El vector A definido por una terna ordenada de números reales, en el sistema de coordenadas cartesiano se determina con la ecuación: r A = ( xpunta − xcola ; ypunta − ycola ; zpunta − zcola )

2.6.1.3 Definición de un vector como par ordenado en un sistema de coordenadas polares r A

como par ordenado de números reales en un sistema de coordenadas r polares está representado por A : (r ; φ) en donde el par ordenado (r ; φ) son las componentes r polares del vector A en el plano : Un vector

X

51

El número real r es la distancia radial desde el origen del sistema de coordenadas polares r hasta la punta del vector A . r El número real φ es el ángulo que forma el vector A con el semieje positivo de las x ( eje

polar). Se considera ángulos positivos cuando se miden en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje polar hasta el vector. Se considera que los ángulos son negativos cuando se miden en sentido de las agujas del reloj desde el eje polar hasta el vector. El ángulo plano en el SI se mide en radianes. El factor de conversión de grados a radianes es: Factor-Conversión xº a rad =

π rad . 180º

r r r Observa y define los vectores A , B , C y

r D representados gráficamente en el siguiente

sistema de coordenadas polares:

Eje Polar

r r r r Los vectores A , B , C y D representados en el sistema de coordenadas polares anterior:

52 r π rad ) A = ( 3 u; 50º ) = ( 3 u; 50º x 180º

r 5 π rad) A : ( 3 u; 18

r π rad ) B = ( 4 u; 135º ) = ( 4 u; 135º x 180º

r 3 B : ( 4 u ; π rad) 4

r π C = ( 5 u ; 200º ) = ( 5 u; 200º x rad ) 180º

r 10 C: (5u; π rad) 9

r π rad ) D = ( 4 u ; 330º ) = ( 4 u; 330º x 180º r π rad ) D = ( 4 u ; − 30º) = ( 4 u ; − 30º x 180º

r 11 D : ( 4 u; π rad) 6 r 1 D = ( 4 u ; − π rad) 6

2.6.2 Definición de un vector en sus componentes rectangulares en un sistema de coordenadas cartesiano. r Un vector en el plano A en un sistema de coordenadas cartesiano está representado en r r r r sus componentes rectangulares por A = Ax + Ay , en donde Ax es un vector paralelo al eje x r r que sumado vectorialmente con el vector Ay paralelo al eje y se obtiene el vector A :

r Ax : componente del vector r Ay : componente del vector

r A paralela al eje x. r A paralela al eje y.

Gráficamente las componentes rectangulares de un vector r A se determinan trazando por la cola del vector una recta r paralela al eje x, y dibujando por la punta del vector A una

r A

recta paralela al eje y . Como se observa en la figura a la derecha, se forma un triángulo rectángulo, de tal forma que las componentes del vector quedan definidas:

r r La dirección de la componente Ax , del vector A , paralela al eje x, se corresponde con la orientación del cateto paralelo al eje x .

53

r r La dirección de la componente Ay , del vector A , paralela al eje y, se corresponde con la orientación del cateto paralelo al eje y .

r r El sentido de las componentes Ax y Ay deben ser tales que la suma de ellas sea r r r exactamente igual al vector A = Ax + Ay . r En la figura a la derecha el vector A apunta horizontalmente hacia la izquierda y verticalmente hacia r abajo, con lo cual la componente Ax apuntará r horizontalmente hacia la izquierda y la componente Ay

r Ay

r Ax r A

apuntará verticalmente hacia abajo. El módulo de cada una de las componentes, se puede determinar aplicando el Teorema de Pitágoras o cualquiera de las funciones trigonométricas aplicables a triángulos rectángulos.

r Si conoces el módulo del vector A y el menor ángulo que forma dicho vector con el eje X, como se muestra en la figura a la derecha, los módulos de las componentes están definidas por: r r r r A x = A . cos φ A y = A .senφ

r r r Para indicar la dirección de las componentes rectangulares Ax y Ay del vector A en el plano, se acostumbra emplear a los vectores unitarios “ iˆ , ˆj ”; estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, cada uno se orienta paralelamente a uno de los ejes del sistema cartesiano, es decir: , algunas veces denotado por

: vector unitario paralelo al semieje

positivo de las x ; el vector unitario

está definido por el par ordenado:

iˆ = (1; 0).

, algunas veces denotado por

positivo de las y; el vector unitario ˆj = (0 ; 1).

: vector unitario paralelo al semieje está definido por el par ordenado:

54

r Un vector A en el plano, puede definirse igual a la suma de dos vectores, orientados cada uno r r r según los ejes coordenados, como: A = Ax + Ay . Si consideramos ahora los vectores unitarios, podemos sustituir cada uno de los sumandos de la expresión anterior por el producto de un escalar con el correspondiente vector unitario; es decir: r r sustituir Ax , la componente del vector paralela al eje x , por Ax ; es decir: Ax = Ax r r sustituir Ay , la componente del vector paralela al eje y , por Ay es decir: A y = Ay

r De este modo, empleando los vectores unitarios, el vector A se representará como: r A = Ax

+ Ay ,

Donde: Ax y Ay son cantidades escalares que determinan el módulo y el sentido de la componente del vector paralela al eje X y paralela al eje Y, respectivamente.

r El módulo del vector A expresado en sus componentes rectangulares es

Ax

φ

X

0

Ay A r La dirección y sentido del vector A está determinado por el ángulo Ay φ = tag −1 Ax

r r r Observa los vectores A , B , C

r D

representados

gráficamente

en

siguiente sistema de coordenadas exprésalos

en

sus

y

r B

3

el

r A

y

componentes -3

rectangulares: Los vectores

r A,

r r B ,C

y

componentes cartesianas, son:

r A = 4 r C= 2

+ 2

−2

Y

r B = −2 r D = −3

0

3

X

r D en sus r C

r D

-3

55

r r A = Ax

r Un vector A en el espacio se define en sus componentes rectangulares como: r r r + Ay + Az . Las proyecciones ortogonales del vector A sobre cada uno de los ejes

coordenados representan las componentes del vector en sus componentes rectangulares; es decir: r Ax es la componente del vector r Ay es la componente del vector r Az es la componente del vector

r A paralela al eje x . r A paralela al eje y . r A paralela al eje z .

r Se acostumbra utilizar los vectores unitarios para definir un vector A en el espacio en sus r r r componentes rectangulares, ya que indican la dirección de los vectores Ax , Ay y Az . Los vectores unitarios ˆi , ˆj y kˆ se orientan respectivamente en la dirección y sentido de los semiejes

positivos 0X, 0Y y 0Z. El vector unitario ˆi paralelo al semieje positivo de las X, algunas veces denotado por

. El vector ˆi está definido por la terna

ordenada de números reales ˆi : (1; 0; 0). El vector unitario ˆj paralelo al semieje positivo de las Y, algunas veces denotado por

. El vector ˆj está definido por la terna

ordenada de números reales ˆj : (0 ; 1; 0).

El vector unitario kˆ paralelo al eje semipositivo de las Z, algunas veces denotado por

zˆ . El vector

kˆ está definido por la terna ordenada de números

reales kˆ : (0 ; 0; 1). r r r r Un vector en el espacio A = Ax + Ay + Az , se representará empleando los vectores r unitarios como A =Ax ˆi + Ay ˆj +Az kˆ donde se han sustituidos: r la componente Ax del vector r la componente Ay del vector

r A paralela al eje X por Ax ˆi , r A paralela al eje Y por Ay ˆj

56 r r la componente Az del vector A

Z por Az kˆ ; es decir: r r Ax =Ax ˆi Ay = Ay ˆj

El módulo de un vector

paralela al eje

Y Ay

r Az = Az kˆ

r A

en el espacio

A

ˆj

expresado en términos de sus componentes r cartesianas es A = A 2x + Ay2 + Az2

iˆ

0

Ax

X

kˆ

Az Z

r

La dirección y sentido del vector A viene definido por dos de los tres ángulos que forma el vector con los respectivos semiejes positivos 0X, 0Y y 0Z . A los cosenos de los ángulos que

r

forma el vector A con cada uno de los semiejes se les denomina cosenos directores:

Donde: A cosφ = rx A

Ay cos β = r A

Az cos γ = r A

El procedimiento para determinar las componentes rectangulares de un vector en el espacio, representado en un sistema de coordenadas cartesiano r A = Ax ˆi + Ay ˆj +Az kˆ es exactamente el mismo que el descrito para definir el vector como una terna ordenada de números reales.