Vectores Parte V

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r r El módulo del producto vectorial A × B se puede expresar como el producto r r del módulo del vector A por la componente del vector B perpendicular a la r r r línea de acción del al vector A ; es decir: A × B = A.B⊥ , donde B⊥ = B.senβ;

tal como se observa en la siguiente figura:

B

B

A

I I

r r Observa de nuevo la ecuación del producto vectorial A × B , otra interpretación r interesante se origina al descomponer al vector A en dos componentes r perpendiculares: una componente A paralela al vector B y otra componente r A ⊥ perpendicular al vector B ; entonces, el módulo del producto vectorial r r r A × B se puede expresar como el producto de la componente del vector A r r perpendicular al vector B por el módulo del vector B , es decir: r r r r r A × B = A ⊥ . B , donde A ⊥ = A . senβ

69 r

r

r

r

Dirección: perpendicular al plano formado por los vectores A y B ; por lo tanto, el vector A x B r

r

es perpendicular tanto al vector A como al vector B . r r Gráficamente, la dirección del producto vectorial A x B es un vector r r Normal al plano formado por A y B

Sentido:

aplicando la regla de la mano derecha, orientamos los cuatro de la mano derecha en la r

dirección del primer vector A de manera que la palma de la mano, este hacia el lado r

donde se encuentre el segundo vector B , luego giramos los dedos de la mano derecha r

r

desde A hacia B (camino más corto) y el pulgar extendido, nos dará el sentido del r

r

producto A x B .

El producto vectorial entre los vectores unitarios que definen las direcciones ortogonales del espacio, por ser el ángulo entre ellos de 90°, están determinados por:

ˆi x ˆi = ˆj x ˆj = kˆ x kˆ = 0ˆ

ˆi x ˆj = − ˆj x ˆi = kˆ

ˆj x kˆ = − kˆ x ˆj = ˆi

kˆ x ˆi = − ˆi x kˆ = ˆj

70 r

r

El producto vectorial A x B rectangulares,

puede obtenerse analíticamente en sus componentes

si se conocen las componentes de uno y otro vector en el mismo sistema de

coordenadas cartesiano; es decir: r A = Ax ˆi + Ay ˆj + Az kˆ

y

r B = Bx ˆi + By ˆj + Bz kˆ ,

r r A x B = (Ax ˆi + Ay ˆj + Az kˆ ) x ( Bx ˆi + By ˆj + Bz kˆ )

Entonces, el producto vectorial

r r A x B

en sus componentes cartesianas, aplicando la

propiedad distributiva y teniendo presente el producto vectorial entre los vectores unitarios, está definido por: r r A x B = ˆi ( Ay Bz − Az By) + ˆj ( Az Bx − Ax Bz) + kˆ (Ax By − Ay Bx)

Propiedades del producto vectorial: r

r

r

r

r

r

1. El producto vectorial A x B No es conmutativo, es decir : A x B ≠ B x A r

r

r

r

2. A x B = − B x A r r r r 3. El módulo A × B es máximo, si los vectores A y B son perpendiculares entre si, igual : r r r r A×B = A . B

(

)

4. Distributiva :

r r r r r r r A x (B + C ) = A x B + A x C

5. Asociativa :

r r r r r r (A x B ) x C = A x (Bx C )

r r El producto vectorial A x B se puede definir, también, con el determinante: ˆi r r A × B = Ax

ˆj Ay

kˆ Az

Bx

By

Bz

r r A × B = ˆi ( Ay Bz − Az By) + ˆj ( Az Bx − Ax Bz) + kˆ (Ax By − Ay Bx)