Vectores Parte Iv

64 2.9 Producto de Vectores. El producto es otra operación básica entre vectores. Existen reglas específicas que definen el producto de vectores, ya que no siguen el mismo procedimiento que el producto entre números reales. Básicamente, existen dos tipos de productos entre vectores:

El producto escalar denominado así, porque el resultado de todo producto escalar entre dos vectores es una cantidad escalar. El producto vectorial denominado así, porque el resultado de todo producto vectorial entre dos vectores es un vector.

1.9.1

Producto Escalar

Muchas relaciones físicas se definen como el producto escalar entre dos vectores; por r r r r ejemplo la rapidez v con la cual se desplaza un móvil es v = v • v , el trabajo mecánico W r r r r realizado por una fuerza constante F que provoca un desplazamiento d al cuerpo es W = F • d , la r r potencia instantánea es P = F • v , etc. r r r r El producto escalar entre dos vectores A y B se representa como A • B y se define como r

r

el producto del módulo del vector A por el módulo del vector B por el cosϕ, siendo ϕ el ángulo r

r

que forman entre sí los vectores A y B cuando ambos vectores tienen un origen común, es decir:

r r r r A • B = A B cos ϕ

El producto escalar es un número, que puede ser positivo, negativo o cero. Si ϕ < 90°

el producto escalar es positivo.

Si ϕ > 90°

el producto escalar es negativo

Si ϕ = 90°

el producto escalar es cero.

65

r r Observa que, el producto escalar A • B se puede considerar como: r el producto del módulo del vector A por la r proyección del vector B según la dirección r r r r r del vector A ; es decir: A . B = A B cos φ , r donde la sombra del vector B sobre el vector r r A es: B cos ϕ.

)

r el producto del módulo del vector B por la r proyección del vector A según la dirección r r r r r del vector B ; es decir: A . B = B A cos φ , r r donde la sombra del vector A sobre B es: r A cos ϕ.

(

)

A co s

(

Propiedades del Producto Escalar r r r r A• B = B • A r r r r r r r 2. Distributiva : A • ( B +C ) = A • B + A • C r r r r r r r r r 3. Asociativa :( A • B ) • C = A • ( B • C ) = B • ( A • C )

1. Conmutativa :

r

r

r

4. A • A = A 2 r

r

r

r

5. Si A • B = 0, entonces los vectores A y B son perpendiculares (cos 90º = 0).

El producto escalar permite determinar el ángulo entre los r r vectores A y B , empleandor la recuación: A•B cos φ = r r A⋅B

66 El producto escalar entre los vectores unitarios que definen las direcciones ortogonales del espacio, por ser el ángulo entre ellos de 90°, están definidos por:

iˆ • · iˆ = ˆj • ˆj = kˆ • kˆ = 1

iˆ • ˆj = iˆ • kˆ = ˆj • · kˆ = 0

r r El producto escalar de dos vectores A • B , también puede obtenerse analíticamente como la suma de los productos formados por las componentes de uno y otro vector. r Si ambos vectores están definidos en el mismo sistema cartesiano: A = Ax ˆi + Ay ˆj + Az kˆ r r r y B = Bx ˆi + By ˆj + Bz kˆ , entonces el producto escalar A • B queda expresado por:

(

)(

r r A • B = Axiˆ + Ayˆj + Azkˆ • Bxiˆ + Byˆj + Bzkˆ

)

Aplicando la propiedad distributiva a la ecuación anterior y teniendo presente el producto r r escalar entre los vectores unitarios, el producto escalar de los vectores A • B está definido por: r r A • B = Ax . Bx + Ay · By + Az · Bz

Ejemplo N° 3: Del conjunto de vectores siguientes:

r A = 4 ˆi −2 ˆj + 4 kˆ r E = −1 ˆi − 1 ˆj

r B = −4 ˆj + 3 kˆ r F = 1 ˆi + 2 ˆj −1 kˆ

r C = −1 ˆi +1 ˆj +1 kˆ r M = 2 ˆi + 2 ˆj −1 kˆ

r D = 4 ˆi −4 ˆj + 2 kˆ r N = 12 ˆi −3 ˆj − 4 kˆ

Selecciona el enunciado falso:

r A) El vector A r B) El vector B r C) El vector C r D) El vector D

r sólo es perpendicular al vector M . r sólo es perpendicular al vector N . r es perpendicular al vector F . r es perpendicular al vector E .

E) Del conjunto de vectores, sólo son perpendiculares las parejas de vectores dados en los enunciados anteriores.

67 Solución: La respuesta correcta es la

r r , porque el vector C es perpendicular al vector E .

E

2.9.2 Producto Vectorial

Al igual que el producto escalar, muchas relaciones físicas están expresadas por un producto vectorial entre dos r r vectores ; por ejemplo el torque τ ejercido por una fuerza F r r r r localizada por el vector posición r es τ = r × F , la velocidad r r v de una partícula localizada por el vector posición r y que r v r gira con rapidez angular ω está definida por v = ω × r . r

r

r

r

El producto vectorial de los vectores A y B , se representa como A x B

y es un vector

definido por: r r

r

Módulo: el módulo del producto vectorial AxB es igual al producto del módulo del vector A por el r

módulo del vector B por el senϕ, siendo ϕ el menor ángulo que forman entre sí los r r vectores A y B cuando ambos vectores tienen un origen común, es decir: r r r r AxB = A B sen ϕ r r Gráficamente el módulo del producto vectorial A x B representa el área del paralelogramo formado por los r r vectores A y B