57 La descomposición de un vector en sus componentes rectangulares o en sus componentes polares no es única debido a que depende de la orientación de los ejes coordenados en el sistema de coordenadas cartesianas y de la selección del eje polar en el sistema de coordenadas polares. En la r siguiente figura, observa el vector A en sus componentes rectangulares, en sistemas cartesianos diferentes:
ˆj ˆ i
r A
Ay ˆj
ˆj ˆi
Ax ˆi
2.7 Suma algebraica de vectores
ˆj
r A Ay ˆj
ˆi
Ax ˆi
r A Ay ˆj
Ax ˆi
Anteriormente se describió el procedimiento gráfico para sumar y restar vectores. La suma r r r r vectorial S = A + B + C , es un vector de componentes determinadas por separado, por la suma de las componentes rectangulares de los vectores sumandos. A continuación estudiaremos el procedimiento analítico para sumar y restar vectores. Para sumar y restar vectores algebraicamente necesariamente todos los vectores que intervienen en la operación tienen que estar definidos en el sistema de coordenadas cartesiano.
r r r r r r r Se tienen tres vectores A , B , C y, se desea determinar la suma vectorial S = A + B + C , el procedimiento a seguir es el siguiente: 1. Verificar que todos los vectores componentes estén definidos en el sistema de coordenadas cartesiano; sino lo están, debemos proceder
a realizar la transformación al sistema de
coordenadas cartesiano. Todos los vectores deben estar expresados como: r r r y A = (Ax ; Ay ; Az ), B = (Bx ; By ; Bz ) C = (Cx ; Cy ;C z ) o r r r A = Ax iˆ + Ay ˆj +Az kˆ , B = Bx iˆ + By ˆj +Bz kˆ y C = Cx iˆ + Cy ˆj +C z kˆ
r r r r 2. El vector definido por S = A + B + C , es: r S = (Ax ; Ay ; Az ) + (Bx ; By ; Bz ) + (Cx ; Cy ;C z ),
58 3. Sumando por separado las componentes de los vectores, paralelas a cada uno de los ejes coordenados, se obtiene: r S = (Ax + Bx + Cx )
+ (Ay + By + Cy )
+ (Az + Bz + Cz) kˆ
r
4. Entonces, las componentes del vector suma S : (Sx;; Sy; Sz ), están definidas por: Sx = Ax + Bx + Cx , Sy = Ay + By + Cy y Sz = Az + Bz + Cz r S = Sx
+ Sy
+ Sz kˆ
Ejemplo N° 3:
r r r Del conjunto de vectores siguientes: A = 4 + 2 , B = − 2 , C = 2 r r r r r r determine el vector S definido por S = A + B − C + D ,.
−2
r
y D= −4 ,
r r r r r r Como S está definida por S = A + B − C + D , entonces: r S = (Ax + Ay ) + (Bx + By ) − (Cx + Cy ) + (Dx + Dy ) r S = (Ax + Bx − Cx + Dx) r S = Sx
+ (Ay + By − Cy + Dy )
+ Sy
Sx = Ax + Bx − Cx + Dx
Sx = 4 + (−2) − (2) + (0)
Sx = 0
Sy = Ay + By − Cy + Dy
Sy = 2 + (0) − (−2) + (-4)
Sy = 0
r r r r r Por lo tanto, S = A + B − C + D es igual a: r S = 0 +0
r r S = 0 , es decir es el vector nulo
59
2.8 Transformación de vectores Cuando se van a realizar operaciones con vectores o comparaciones entre ellos, se requiere que todos los vectores involucrados estén definidos de igual forma; sino lo están, es necesario realizar la transformación de todos los vectores a una estructura particular.
2.8.1 Transformación de vectores en el plano del Sistema Polar al Sistema Rectangular Para transformar un vector definido en coordenadas polares como
: ( ⎢ ⎢; φ ) a coordenadas
cartesianas, se procede de la siguiente manera: 1. Se representará gráficamente el vector
Y
en coordenadas
polares, por una flecha de longitud igual al módulo del vector
φ
X
⎢ ⎢ y cuya cola coincida con el origen del sistema. El ángulo medido
en sentido antihorario
positivo X al vector
desde el semieje
es φ , tal como se muestra en la figura
a la derecha.
Y 2. Se proyecta ortogonalmente el vector
sobre el eje X, esta
proyección representa la componente Ax paralela al eje X del vector ecuación:
sobre el eje Y,
esta proyección es la componente Ay paralela al eje Y del . Su valor se determina por medio de la ecuación:
r Ay = A sen φ.
4. El vector
X
. Su valor se determina por medio de la r Ax = A cos φ.
3. Se proyecta ortogonalmente el vector vector
φ
Ax
definido en coordenadas rectangulares es:
como par ordenado : (Ax ; Ay) en sus componentes rectangulares
= Ax iˆ + Ay ˆj
Y φ
X
60 Otro procedimiento para obtener las componentes rectangulares del vector sus coordenadas polares
: ( ⎢ ⎢; φ ) es el siguiente:
; es decir, si:
Ubicas en que cuadrante se encuentra el vector a. 0 rad < φ <
a partir de
π rad, entonces el vector 2
se encuentra en el primer
Y
cuadrante. Proyectas ortogonalmente la punta del vector
sobre
cada uno de los ejes coordenados. Las componentes rectangulares del vector
Ay X
φ
se determinan, aplicando al triángulo rectángulo
Ax
representado en la figura a la derecha las ecuaciones: r r A x = A cos φ A y = A senφ
El vector
b.
π 2
definido en coordenadas rectangulares es:
rad < φ < π rad, entonces el vector
r r = A cos φ iˆ + A senφ ˆj
se encuentra en el
segundo cuadrante. Proyectas ortogonalmente la punta del vector sobre cada uno de los ejes coordenados. Las componentes rectangulares del vector
Y Ay φ
β
se determinan, aplicando al triángulo
rectángulo representado en la figura a la derecha las ecuaciones: r r A x = − A cos β A y = A senβ
Ax
X
En este caso, β es el ángulo que forma el vector vector
con el semieje negativo de las x y el r r definido en coordenadas rectangulares es: = − A cos β iˆ + A senβ ˆj
c. π rad < φ < 3
π 2
rad, entonces el vector
Y
se encuentra en el Ax
tercer cuadrante. Proyectas ortogonalmente la punta del vector
β
sobre cada uno de los ejes coordenados. Las componentes rectangulares del vector
se determinan, aplicando al triángulo
rectángulo representado en la figura a la derecha las ecuaciones: r r A x = − A cos β A y = − A senβ
Ay
φ
X
61 En este caso, β es el ángulo que forma el vector
con el semieje negativo de las x y el r r definido en coordenadas rectangulares será: = − A cos β iˆ − A senβ ˆj
vector
d. 3
π 2
rad < φ < 2π rad, entonces el vector
se encuentra en el
cuarto cuadrante. Proyectas ortogonalmente el vector
sobre
cada uno de los ejes coordenados. Las componentes rectangulares se determinan, aplicando al triángulo rectángulo
del vector
Y φ Ax
X
β
representado en la figura a la derecha las ecuaciones: r r A x = A cos β A y = − A senβ En este caso, β es el ángulo que forma el vector
Ay
con el semieje positivo de las x y el r r definido en coordenadas rectangulares será: = A cos β iˆ − A senβ ˆj
vector
Exprese los siguientes vectores
= (5m;
r 7π 5π rad ) y B = ( 10 N ; rad ) 6 3
en sus componentes rectangulares :
= [ 5m. cos (
180º ˆ 180º ˆ 7π 7π )] i + [ 5m. sen ( )] j rad . rad . π rad π rad 6 6
= [ 5m. cos (210º)] iˆ + [ 5m. sen (210º)] ˆj = ( −2,5 3 iˆ − 2,5 ˆj ) m
= [ 10 N. cos (
180º ˆ 180º ˆ 5π 5π )] j )] i + [ 10 N. sen ( rad . rad . π rad π rad 3 3
= [ 10 N. cos (300º)] iˆ + [ 10 N. sen (300º)] ˆj = (5 iˆ − 5
3 ˆj ) N
62 2.8.2 Transformación de vectores en el plano del Sistema de Coordenadas Cartesiano al Sistema Polar
Para transformar un vector en el plano definido en coordenadas rectangulares como r : ( ⎢ ⎢; φ ), se procede de la siguiente manera: A = Ax iˆ + Ay ˆj a coordenadas polares 1. Se representará gráficamente el vector
Y
= Ax iˆ + Ay ˆj ,
en el sistema de coordenadas rectangulares , tal como se
Ax
φ
X
muestra en la figura a la derecha. 2. Se determina el módulo del vector r teorema de Pitágoras A = A 2x + A 2y .
empleando el
r 3. Se determina el ángulo φ que forma el vector A ecuación φ = arc tg
Ay
con el eje positivo x, empleando la
Ay Ax
Exprese los siguientes vectores
= ( − 2,828 iˆ + 2,828 ˆj ) m y
= (1,04 iˆ + 3,86 ˆj ) N
en sus componentes polares : - El módulo del vector
:
⏐ ⏐=
- La dirección y sentido del vector -
: ( 4 m;
:
⏐ ⏐=
- La dirección y sentido del vector : : ( 4 m;
φ = arc tg
2,828 − 2,828
⏐ ⏐=4m φ = 135º
φ =
3π rad 4
3π rad ) 4
- El módulo del vector :
-
(2,828)2 + (2,828)2
5π rad ) 12
(1,04)2 + (3,86)2 φ = arc tg
3,86 1,04
⏐ ⏐ =4N φ = 74,9º
φ =
5π rad 12
63
r r = A x + A y con
Otro procedimiento para determinar el ángulo φ que forma el vector
el semieje positivo de las X, es el siguiente:
; es decir, si:
Ubicas en que cuadrante se encuentra el vector a. A x > 0 y A y >0 , entonces el vector primer cuadrante y el ángulo φ que forma
con el semieje
positivo de las x , es simplemente: φ = arc tg
b. A x < 0 y A y > 0 , entonces el vector
Y
se encuentra en el
φ
Ay
Ax
Ax
Y
se encuentra en el
segundo cuadrante y el ángulo φ que forma
Ay
con el
semieje positivo de las x , es:
β = arc tg
Ax
Ax
con el
φ = π + β;
donde
X
Y
se encuentra en
el tercer cuadrante y el ángulo φ que forma
φ
β
semieje positivo de las x , es: φ = π − β; donde
c. A x < 0 y A y < 0, entonces el vector
Ay X
φ
X
β Ay
Ay Ax
Y d. A x > 0 y A y < 0, entonces el vector tercer cuadrante y el ángulo φ que forma positivo de las x , es:
se encuentra en el con el semieje
φ = 2π − β; donde β = arc tg
Ay Ax
φ Ax
X
β Ay