Vectores Parte Iii

  • June 2020
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  • Pages: 7
57 La descomposición de un vector en sus componentes rectangulares o en sus componentes polares no es única debido a que depende de la orientación de los ejes coordenados en el sistema de coordenadas cartesianas y de la selección del eje polar en el sistema de coordenadas polares. En la r siguiente figura, observa el vector A en sus componentes rectangulares, en sistemas cartesianos diferentes:

ˆj ˆ i

r A

Ay ˆj

ˆj ˆi

Ax ˆi

2.7 Suma algebraica de vectores

ˆj

r A Ay ˆj

ˆi

Ax ˆi

r A Ay ˆj

Ax ˆi

Anteriormente se describió el procedimiento gráfico para sumar y restar vectores. La suma r r r r vectorial S = A + B + C , es un vector de componentes determinadas por separado, por la suma de las componentes rectangulares de los vectores sumandos. A continuación estudiaremos el procedimiento analítico para sumar y restar vectores. Para sumar y restar vectores algebraicamente necesariamente todos los vectores que intervienen en la operación tienen que estar definidos en el sistema de coordenadas cartesiano.

r r r r r r r Se tienen tres vectores A , B , C y, se desea determinar la suma vectorial S = A + B + C , el procedimiento a seguir es el siguiente: 1. Verificar que todos los vectores componentes estén definidos en el sistema de coordenadas cartesiano; sino lo están, debemos proceder

a realizar la transformación al sistema de

coordenadas cartesiano. Todos los vectores deben estar expresados como: r r r y A = (Ax ; Ay ; Az ), B = (Bx ; By ; Bz ) C = (Cx ; Cy ;C z ) o r r r A = Ax iˆ + Ay ˆj +Az kˆ , B = Bx iˆ + By ˆj +Bz kˆ y C = Cx iˆ + Cy ˆj +C z kˆ

r r r r 2. El vector definido por S = A + B + C , es: r S = (Ax ; Ay ; Az ) + (Bx ; By ; Bz ) + (Cx ; Cy ;C z ),

58 3. Sumando por separado las componentes de los vectores, paralelas a cada uno de los ejes coordenados, se obtiene: r S = (Ax + Bx + Cx )

+ (Ay + By + Cy )

+ (Az + Bz + Cz) kˆ

r

4. Entonces, las componentes del vector suma S : (Sx;; Sy; Sz ), están definidas por: Sx = Ax + Bx + Cx , Sy = Ay + By + Cy y Sz = Az + Bz + Cz r S = Sx

+ Sy

+ Sz kˆ

Ejemplo N° 3:

r r r Del conjunto de vectores siguientes: A = 4 + 2 , B = − 2 , C = 2 r r r r r r determine el vector S definido por S = A + B − C + D ,.

−2

r

y D= −4 ,

r r r r r r Como S está definida por S = A + B − C + D , entonces: r S = (Ax + Ay ) + (Bx + By ) − (Cx + Cy ) + (Dx + Dy ) r S = (Ax + Bx − Cx + Dx) r S = Sx

+ (Ay + By − Cy + Dy )

+ Sy

Sx = Ax + Bx − Cx + Dx

Sx = 4 + (−2) − (2) + (0)

Sx = 0

Sy = Ay + By − Cy + Dy

Sy = 2 + (0) − (−2) + (-4)

Sy = 0

r r r r r Por lo tanto, S = A + B − C + D es igual a: r S = 0 +0

r r S = 0 , es decir es el vector nulo

59

2.8 Transformación de vectores Cuando se van a realizar operaciones con vectores o comparaciones entre ellos, se requiere que todos los vectores involucrados estén definidos de igual forma; sino lo están, es necesario realizar la transformación de todos los vectores a una estructura particular.

2.8.1 Transformación de vectores en el plano del Sistema Polar al Sistema Rectangular Para transformar un vector definido en coordenadas polares como

: ( ⎢ ⎢; φ ) a coordenadas

cartesianas, se procede de la siguiente manera: 1. Se representará gráficamente el vector

Y

en coordenadas

polares, por una flecha de longitud igual al módulo del vector

φ

X

⎢ ⎢ y cuya cola coincida con el origen del sistema. El ángulo medido

en sentido antihorario

positivo X al vector

desde el semieje

es φ , tal como se muestra en la figura

a la derecha.

Y 2. Se proyecta ortogonalmente el vector

sobre el eje X, esta

proyección representa la componente Ax paralela al eje X del vector ecuación:

sobre el eje Y,

esta proyección es la componente Ay paralela al eje Y del . Su valor se determina por medio de la ecuación:

r Ay = A sen φ.

4. El vector

X

. Su valor se determina por medio de la r Ax = A cos φ.

3. Se proyecta ortogonalmente el vector vector

φ

Ax

definido en coordenadas rectangulares es:

como par ordenado : (Ax ; Ay) en sus componentes rectangulares

= Ax iˆ + Ay ˆj

Y φ

X

60 Otro procedimiento para obtener las componentes rectangulares del vector sus coordenadas polares

: ( ⎢ ⎢; φ ) es el siguiente:

; es decir, si:

Ubicas en que cuadrante se encuentra el vector a. 0 rad < φ <

a partir de

π rad, entonces el vector 2

se encuentra en el primer

Y

cuadrante. Proyectas ortogonalmente la punta del vector

sobre

cada uno de los ejes coordenados. Las componentes rectangulares del vector

Ay X

φ

se determinan, aplicando al triángulo rectángulo

Ax

representado en la figura a la derecha las ecuaciones: r r A x = A cos φ A y = A senφ

El vector

b.

π 2

definido en coordenadas rectangulares es:

rad < φ < π rad, entonces el vector

r r = A cos φ iˆ + A senφ ˆj

se encuentra en el

segundo cuadrante. Proyectas ortogonalmente la punta del vector sobre cada uno de los ejes coordenados. Las componentes rectangulares del vector

Y Ay φ

β

se determinan, aplicando al triángulo

rectángulo representado en la figura a la derecha las ecuaciones: r r A x = − A cos β A y = A senβ

Ax

X

En este caso, β es el ángulo que forma el vector vector

con el semieje negativo de las x y el r r definido en coordenadas rectangulares es: = − A cos β iˆ + A senβ ˆj

c. π rad < φ < 3

π 2

rad, entonces el vector

Y

se encuentra en el Ax

tercer cuadrante. Proyectas ortogonalmente la punta del vector

β

sobre cada uno de los ejes coordenados. Las componentes rectangulares del vector

se determinan, aplicando al triángulo

rectángulo representado en la figura a la derecha las ecuaciones: r r A x = − A cos β A y = − A senβ

Ay

φ

X

61 En este caso, β es el ángulo que forma el vector

con el semieje negativo de las x y el r r definido en coordenadas rectangulares será: = − A cos β iˆ − A senβ ˆj

vector

d. 3

π 2

rad < φ < 2π rad, entonces el vector

se encuentra en el

cuarto cuadrante. Proyectas ortogonalmente el vector

sobre

cada uno de los ejes coordenados. Las componentes rectangulares se determinan, aplicando al triángulo rectángulo

del vector

Y φ Ax

X

β

representado en la figura a la derecha las ecuaciones: r r A x = A cos β A y = − A senβ En este caso, β es el ángulo que forma el vector

Ay

con el semieje positivo de las x y el r r definido en coordenadas rectangulares será: = A cos β iˆ − A senβ ˆj

vector

Exprese los siguientes vectores

= (5m;

r 7π 5π rad ) y B = ( 10 N ; rad ) 6 3

en sus componentes rectangulares :

= [ 5m. cos (

180º ˆ 180º ˆ 7π 7π )] i + [ 5m. sen ( )] j rad . rad . π rad π rad 6 6

= [ 5m. cos (210º)] iˆ + [ 5m. sen (210º)] ˆj = ( −2,5 3 iˆ − 2,5 ˆj ) m

= [ 10 N. cos (

180º ˆ 180º ˆ 5π 5π )] j )] i + [ 10 N. sen ( rad . rad . π rad π rad 3 3

= [ 10 N. cos (300º)] iˆ + [ 10 N. sen (300º)] ˆj = (5 iˆ − 5

3 ˆj ) N

62 2.8.2 Transformación de vectores en el plano del Sistema de Coordenadas Cartesiano al Sistema Polar

Para transformar un vector en el plano definido en coordenadas rectangulares como r : ( ⎢ ⎢; φ ), se procede de la siguiente manera: A = Ax iˆ + Ay ˆj a coordenadas polares 1. Se representará gráficamente el vector

Y

= Ax iˆ + Ay ˆj ,

en el sistema de coordenadas rectangulares , tal como se

Ax

φ

X

muestra en la figura a la derecha. 2. Se determina el módulo del vector r teorema de Pitágoras A = A 2x + A 2y .

empleando el

r 3. Se determina el ángulo φ que forma el vector A ecuación φ = arc tg

Ay

con el eje positivo x, empleando la

Ay Ax

Exprese los siguientes vectores

= ( − 2,828 iˆ + 2,828 ˆj ) m y

= (1,04 iˆ + 3,86 ˆj ) N

en sus componentes polares : - El módulo del vector

:

⏐ ⏐=

- La dirección y sentido del vector -

: ( 4 m;

:

⏐ ⏐=

- La dirección y sentido del vector : : ( 4 m;

φ = arc tg

2,828 − 2,828

⏐ ⏐=4m φ = 135º

φ =

3π rad 4

3π rad ) 4

- El módulo del vector :

-

(2,828)2 + (2,828)2

5π rad ) 12

(1,04)2 + (3,86)2 φ = arc tg

3,86 1,04

⏐ ⏐ =4N φ = 74,9º

φ =

5π rad 12

63

r r = A x + A y con

Otro procedimiento para determinar el ángulo φ que forma el vector

el semieje positivo de las X, es el siguiente:

; es decir, si:

Ubicas en que cuadrante se encuentra el vector a. A x > 0 y A y >0 , entonces el vector primer cuadrante y el ángulo φ que forma

con el semieje

positivo de las x , es simplemente: φ = arc tg

b. A x < 0 y A y > 0 , entonces el vector

Y

se encuentra en el

φ

Ay

Ax

Ax

Y

se encuentra en el

segundo cuadrante y el ángulo φ que forma

Ay

con el

semieje positivo de las x , es:

β = arc tg

Ax

Ax

con el

φ = π + β;

donde

X

Y

se encuentra en

el tercer cuadrante y el ángulo φ que forma

φ

β

semieje positivo de las x , es: φ = π − β; donde

c. A x < 0 y A y < 0, entonces el vector

Ay X

φ

X

β Ay

Ay Ax

Y d. A x > 0 y A y < 0, entonces el vector tercer cuadrante y el ángulo φ que forma positivo de las x , es:

se encuentra en el con el semieje

φ = 2π − β; donde β = arc tg

Ay Ax

φ Ax

X

β Ay

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