Vectores Parte I

29

CAPÍTULO 2: VECTORES

Para describir los fenómenos que ocurren en la naturaleza se requieren de dos clases de magnitudes: un grupo de magnitudes que se determinan al dar su valor numérico acompañado con su correspondiente unidad, denominadas magnitudes escalares, y otro grupo más pequeño de magnitudes identificadas como magnitudes vectoriales, que requieren para estar completamente definidas, además de dar su valor numérico con su correspondiente unidad, hay que indicar su dirección y sentido. Para representar y operar con las magnitudes vectoriales disponemos del álgebra vectorial En este capítulo revisaremos algunos conceptos y operaciones básicas de vectores, representación gráfica de vectores, componentes de un vector en coordenadas rectangulares, componentes de un vector en coordenadas polares, transformación de vectores y producto de vectores.

2.1 Definición Cola

Un vector es una cantidad que tiene módulo, dirección y sentido; gráficamente se

representa como un segmento de recta

orientado en el espacio « una flecha ». A un extremo se le identifica como la punta y al otro extremo como la cola del vector, tal como se muestra en la figura a la derecha.

Punta

Un vector está definido completamente por su: Módulo que es el valor numérico del vector. Gráficamente, la longitud del segmento se corresponde con la medida o módulo del vector. Es

módulo

decir, la distancia entre la cola y la punta de la flecha, es proporcional al módulo del vector. El módulo de un vector es un número real positivo o cero (el vector nulo). Dirección o línea de acción, se corresponde gráficamente con la orientación en el espacio del segmento de recta que representa al vector.

dirección

30 Sentido señala hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector; viene determinado por la punta de la flecha. La línea de acción posee dos sentidos,

sentido

generalmente estos se indican mediante signos "+" para un lado y "−" para el otro. Origen o Punto de aplicación del vector, es el punto exacto en el cual actúa el vector y está señalado por la ubicación de la cola del vector. Existen situaciones en el que el origen del vector no es relevante, en estos casos se considera al vector como un vector libre, caracterizado sólo por su módulo, dirección y sentido; el vector libre es independiente del lugar del espacio en que se encuentra.

2.2 Representación de un vector Un vector puede venir representado mediante una letra mayúscula en negrita o r bien, situando por encima de la letra una flecha: A, A . El módulo del vector se representa en letra cursiva en mayúscula o bien, colocando r entre barras a la letra con la flecha en la parte superior: A = A

2.3 Definiciones fundamentales de Vectores 2.3.1 Igualdad de vectores Dos vectores magnitud,

y

son iguales,

igual

dirección

=

,

y

si tienen la misma

el

mismo

Entonces, se cumple que sus módulos son iguales A = B

A

sentido.

B

y que sus

direcciones y sentidos son iguales. Observe que cuando los vectores

y

son iguales no se

exige que ambos vectores posean el mismo origen.

2.3.2

B

Vectores Opuestos

Dos vectores

y

son opuestos,

= −

,

si tienen el mismo

modulo, igual dirección y sentidos opuestos.

A

31 Entonces, los vectores opuestos

y

,

poseen módulos iguales A = B, direcciones

iguales y sentidos opuestos. Observe que cuando los vectores

y

son opuestos no se exige que la punta de un

vector coincida con la ubicación de la cola del otro vector.

2.3.3 Vectores Paralelos Dos vectores

y

⎢⎢

son paralelos,

, si ambos tienen la

B

misma dirección. Observe que si los vectores

y

son paralelos no se les

A

exige que tengan igual módulo y/o sentido.

2.3.4 Vectores Perpendiculares Dos vectores

y

A

⊥ , si las líneas de

son perpendiculares,

acción de ambos vectores se cortan formando un ángulo de 90º. Observe que si los vectores

y

son perpendiculares no se les

exige que tengan igual módulo.

B

2.3.5 Vector Unitario Un vector unitario es aquel de módulo igual a la unidad. Se acostumbra representar a un vector unitario con un sombrerito colocado encima de una letra minúscula en cursiva, y se lee vector unitario uˆ . El vector unitario se acostumbra emplearlo para indicar la dirección y sentido de un vector

el cual es proporcional al vector uˆ ; es decir

El vector unitario en la dirección y sentido de un vector entre su módulo ⎢ r A r uˆ A = r A

⎢; es decir:

=⎢

uˆ Ar

⎢ uˆ .

, se determina al dividir el vector

32

2.3.6

r Vector Nulo 0

r El vector nulo 0 es aquél de módulo igual a cero. Gráficamente se corresponde con un punto.

2.4

Operaciones Básicas con Vectores

Las operaciones básicas de adición, substracción y multiplicación del álgebra vectorial son una extensión del álgebra ordinaria, con algunas definiciones fundamentales y reglas adicionales. A continuación vamos a revisar las operaciones básicas entre vectores.

2.4.1 Producto de un vector por un escalar.

r r Se define al producto de un número real n por el vector A , n A , como

r −2 A

r r otro vector C paralelo al vector A , de módulo igual producto del valor

r r r absoluto de n por el módulo del vector A : C = n A , y de igual sentido al

r A

r

r sentido del vector A

3A

si n es un número real positivo ó de sentido r contrario al del vector A si n es un número real negativo.

2.4.2 Suma de vectores.

La suma de dos vectores

y

r es otro vector S =

+

. La suma de vectores

podemos realizarla de dos maneras diferentes, analítica y gráficamente.

r Para determinar el vector suma S

disponemos de los métodos gráficos del triangulo, del

paralelogramo y del polígono.

2.4.2.1 Método del Triángulo.

Este método se apoya en la construcción de un triángulo con los vectores r El procedimiento a seguir para determinar la suma S = + es:

,

y

.

33 Dados los vectores

y

, se deja un vector en su posición inicial y se traslada el otro vector.

Traslademos el vector

, conservando todas sus características, hasta que su cola coincida .

con la punta del vector

Vectores en sus posiciones originales

Vector trasladado

A continuación se traza el segmento de recta que une la cola del con la punta del vector . Este segmento representa al r vector suma S = + , cuya cola coincide con la cola del vector vector

y cuya punta se encuentra con la punta del vector

r S

, tal como se Vector Suma

muestra en la figura a la derecha:

r S =

+

r

Gráficamente, las características del vector suma S se determinan: r

El módulo del vector S lo puedes medir en triángulos rectángulos por medio del teorema de Pitágoras o con cualquiera de las

γ

funciones trigonométricas y, en otras clases de triángulos puedes

r S

emplear el teorema del coseno ó el teorema del seno. Para el ejemplo de la figura a la derecha, aplicando el teorema del coseno: r2 r2 r r r2 S = A + B − 2. A . B .cos γ A

r

La dirección del vector S se obtiene midiendo el ángulo θ r

que forma el vector S con la recta horizontal que pasa por r

la cola del vector suma S , medido en sentido antihorario como se muestra en la figura a la derecha.

θ B S

34

Observa que si mides el ángulo β puedes determinar θ con la ecuación θ = 360º − β

β r S

2.4.2.2 Método del paralelogramo

Este método se basa en la construcción de un paralelogramo con los vectores y . El r + está definido por una de las diagonales del paralelogramo. El vector suma S = procedimiento a seguir es: 1. Se trasladan los dos vectores

y

hasta que sus colas coincidan, conservando las

características de ambos vectores.

Vectores en sus posiciones originales Vectores y trasladados

2. Se construye el paralelogramo con los vectores por la punta del vector punta del vector

y

. Se traza

una recta paralela al vector

, y por la

se traza una recta paralela al vector

rectas se cortan en un punto común.

. Las

35 3. Luego, se traza un segmento de recta orientado que parte de las colas de los vectores

y

, hasta el punto

de corte, tal como se ilustra en la figura a la derecha. r + , cuya cola Este segmento es el vector S = coincide con las colas de los vectores

y

r S Vector Suma

, y cuya

r S =

punta se ajusta con el punto corte.

+

2.4.2.3 Método del Polígono

Para sumar tres o más vectores se usa el método del polígono, que esencialmente es el mismo método del triangulo. Se selecciona y se deja en su posición un primer vector y se traslada uno de los vectores componentes, conservando sus características, hasta unir su cola con la punta del primer vector. Luego, se traslada otro vector hasta unir su cola con la punta descubierta del segundo vector y, así sucesivamente, se irán trasladando los vectores, uniendo la cola del vector trasladado con la punta descubierta del último vector sumado. Este proceso de unir la cola con la punta se realizará hasta considerar a todos los vectores que intervienen en la operación. Finalmente se formará un polígono al trazar el segmento de recta, que une la cola descubierta del primer vector con la punta descubierta del último vector sumado. Este último segmento orientado representa al vector suma total, cuya cola coincide con la cola del primer vector y su punta se ajusta a la punta del último vector sumado.

Por ejemplo, se desea determinar la suma de los r r r r vectores A , B , C y D , mostrados en la figura a la derecha.

r D

Los pasos a seguir, para determinar la suma r r r r r S = A + B + C + D , pueden ser los siguientes: r Selecciona al vector A

r C

Vectores sumando

como primer un vector ( se elige preferiblemente, como primer

vector, aquel que este orientado horizontalmente o verticalmente)

36

r Trasladas al vector B hasta que su cola coincida con r la punta del vector A .

r C

r Luego, trasladas al vector C hasta que su cola r coincida con la punta del vector B . r D

A continuación, haces coincidir la cola del vector r r D con la punta del vector C .

Finalmente, trazas un segmento de recta orientado r desde la cola del vector A hasta la punta del vector r D . Este último segmento que cierra la poligonal formándose así la figura de un polígono, es el vector r r r r r suma total S = A + B + C + D .

r C

r S

r D

r C

r r r La cola del vector suma total S coincide con la cola del vector A y la punta del vector S r coincide con la punta del vector D .

2.4.3

Resta de vectores

La diferencia del vector

r es otro vector D = − , el cual se r con el vector opuesto de : D = + (− ) .

menos el vector

interpreta como la suma del vector

Es decir, la substracción de vectores debe entenderse como una adición de vectores. Para restar los vectores la siguiente manera:

−

. gráficamente debes proceder de

37 Debes determinar el vector opuesto del vector substraendo

; es decir: −

−

Luego, sumas el vector

-

con el vector opuesto (− )

aplicando cualquiera de los métodos vistos para la suma de dos vectores. r El módulo del vector diferencia D =

−

,

r r r D = A− B

lo puedes determinar en triángulos

rectángulos por medio del teorema de Pitágoras o aplicando cualquiera de las funciones trigonométricas y, para otras clases de triángulos puedes emplear el teorema del coseno ó el teorema del seno.

Algunas propiedades de la suma de vectores Sean

y

I)

=

+

II) III)

+(

dos vectores, n y m dos números reales. Entonces: +

Ley conmutativa

r + C)=(

+

r +0 =

Ley asociativa Elemento neutro de la suma

IV)

r + (- ) = 0

V) n(

+

)=n

VI) (n + m)

r )+ C

La suma de un vector con su opuesto +n

=n

+m

VII) n( m ) = (nm) VIII) 1.

=

IX) 0.

r =0

38

Ejemplo N° 1: r r Se tienen tres fuerzas F1 , F2

r y F3 aplicadas a un cuerpo.

F1

Considere que la relación entre sus módulos es F1 = 2F2 = 2F3 y, que se encuentran orientadas tal como se representa en la figura a la

F2

derecha:

Relativo al conjunto de vectores mostrados anteriormente, se dan los siguientes enunciados:

F3 60°

60°

r r r I. El vector F2 + F3 + F1 es el vector nulo. r r r II. El módulo del vector ( F2 − F3 ) es igual al módulo de la fuerza F2 . r r r III. El módulo del vector ( F2 + F3 ) es mayor que el módulo de la fuerza F1 . r r r IV. El módulo del vector ( F1 + F3 ) es mayor que el módulo de la fuerza F1 . r r r V. El módulo del vector ( F2 − F1 ) es mayor que el módulo de la fuerza F1 . r r r VI. El vector ( F2 + F3 − F1 ) es perpendicular al eje x . De los enunciados anteriores son falsos: A) I, II, V B) III, IV,VI C) III ,IV, V Solución: La respuesta correcta es la I Es verdadero, por:

D

D) Sólo IV E) Ninguna de las anteriores

, tal como se comprueba a continuación gráficamente:

II. Es por:

verdadera, III. Es verdadera, IV. Es falsa, por: por:

F1 V. Es verdadera, por:

F3

VI. Es verdadera, por:

-F1

- F1 F2

F2

F3

39 2.5 Sistema de Coordenadas

Los sistemas de coordenadas sirven para identificar a cada uno de los puntos del espacio por medio de las coordenadas de cada punto y, además, permiten representar y manipular a los vectores en forma algebraica. Un Sistema de Coordenadas permite distinguir a cada punto del espacio por las coordenadas de dicho punto. Todo sistema de coordenadas consta de: Un conjunto de ejes orientados, previamente identificados y cada uno con su correspondiente escala. Un punto origen. Un procedimiento que permite obtener las coordenadas del punto. Los sistemas de coordenadas más empleados en las ciencias experimentales son: Sistema de Coordenadas Cartesianas, Sistema de Coordenadas Polares, Sistema de Coordenadas Esféricas, Sistemas de Coordenadas Cilíndricas y Sistema de Navegación Norte-Sur.

2.5.1 Sistema de Coordenadas Cartesianas:

Consta de tres ejes perpendiculares entre sí ( eje X, eje Y y eje Z) que se cortan en el punto origen 0. En este sistema, cada punto del espacio queda identificado por las proyecciones ortogonales de ese punto sobre cada uno de los ejes coordenados.

2.5.1.1 Sistema de Coordenadas Cartesianas para identificar un punto en el plano

Para determinar las coordenadas de un punto en el plano es necesario sólo dos ejes coordenados perpendiculares entre sí;

Y y

P(x ; y)

frecuentemente se emplean el eje X o eje de las abscisas y el eje Y o eje de las ordenadas que se cortan en el punto origen 0.

En el sistema de coordenadas cartesianas un punto en el plano viene determinado por una pareja ordenada de números reales P(x ; y) identificados como las coordenadas cartesianas del punto.

Procedimiento para determinar las coordenadas cartesianas del punto P(x ; y):

X 0

x

40

La coordenada x o abscisa del punto: se traza la proyección ortogonal del punto P al eje X, y la longitud del segmento dirigido desde el origen hasta la proyección sobre el eje X es la abscisa del punto P. La coordenada x del punto es positiva si la proyección se encuentra a la

derecha del origen de coordenadas. La coordenada x del punto será negativa si la proyección se encuentra hacia la izquierda del origen de coordenadas.

La coordenada y u ordenada del punto: se traza la proyección ortogonal del punto P al eje Y, y la longitud del segmento dirigido desde el origen de coordenadas hasta la proyección sobre el eje Y es la ordenada y del punto P. La coordenada y del punto es positiva si la

proyección se encuentra por encima del origen de coordenadas. La coordenada y del punto será negativa si la proyección se encuentra por debajo del origen de coordenadas. Y Las coordenadas de los puntos representados en la figura a la izquierda son P1 (3; 2), P2 (− 4; − 2) y P3 (1; −3)

4 P1 (x1 y1 )

2

X -4

2

-2

Por ejemplo, se emplea un

4

sistema P2 (x2 y2 )

-2

de

coordenadas

cartesianas, cuando se dice: una P3 (x3 y3 )

-4

partícula se encuentra en el punto de coordenadas (30 m; 40 m)

2.5.1.2 Sistema de Coordenadas Cartesianas para identificar

Y

un punto en el espacio Para determinar las coordenadas cartesianas de un punto en el

P(x, y, z)

espacio, es necesario emplear tres ejes perpendiculares entre sí el eje X , el eje Y y el eje Z que se cortan en el origen 0.

z

viene determinado por una terna ordenada de números reales P(x; y; z) identificados como las coordenadas cartesianas del

punto P.

x

0

En el sistema de coordenadas cartesianas un punto en el espacio

Z

P´

X

41 Para determinar las coordenadas de un punto P(x; y; z) en el espacio se procede de la siguiente manera: 1. Se proyecta perpendicularmente el punto P(x; y; z)

Y

en el plano XZ y obtienes el punto P´.

y

P*

P(x, y, z)

2. Luego, proyectas perpendicularmente el punto P´ sobre el eje x y obtienes la coordenada x del punto

x

0

P(x; y; z).

z

X

P´

Z Y

3. Seguidamente, proyectas perpendicularmente el punto P´ en el eje z y obtienes la coordenada z del punto P(x; y; z) .

y

P*

P (x, y, z)

0

4. Después, proyectas el punto P(x; y; z)

en el plano

x

z

YZ y obtienes el punto P*. A continuación proyectas Z perpendicularmente el punto P* en el eje Y con lo cual obtienes la coordenada y del punto P(x; y; z) .

Para identificar un punto en una dimensión sólo basta un número. Para determinar un punto en el plano (dos dimensiones) son necesarios dos números. Un punto en el espacio es representado por una terna de números reales.

X

42 2.5.1.3 Distancia entre dos puntos empleando el sistema de coordenadas cartesiano

Sean P1 (x1 ; y1) y P2 ( x2 ; y2) dos puntos Y

ubicados en el plano, tal como se muestra en la figura a

P2 (x y ) 2 2

y2

la derecha.

;

La distancia entre P1 (x1 ; y1) y P2 ( x2 ; y2) se define operacionalmente como la raíz cuadrada de la suma del

P1

y1

cuadrado de la diferencia de las abscisas x2 y x1 de los

(x1 y1) ;

X

puntos P2 y P1 respectivamente, más el cuadrado de la

x1

diferencia de las ordenadas y2 y y1 de los puntos P2

x2

y P1 respectivamente. Es decir, la distancia entre P1 (x1 ; y1) y P2 ( x2 ; y2) se determina con la ecuación: P1 P2 =

(x2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2

Ejemplo N° 2: Determine la distancia entre los puntos P1, P2, P3, P4 y P5 representados en la figura siguiente. Las coordenadas que definen cada punto son respectivamente: P1 (4;2) m

P2 (0;2) m

P3 P4 (-5;1) m (-2;-3) m

P1P2 = x1 − x 2 = ( 4 − 0 ) m P1 P3 =

(x1 − x3 )2 + ( y1 − y3 )2

P1P3 =

[4 − (− 5)]2 + (2 − 1)2 m

P5 (4;-3) m

P1 P2 = 4 m

P3 P4 =

(x4 − x3 )2 + ( y 4 − y3 )2

P3 P4 =

[− 2 − (− 5)]2 + (− 3 − 1)2

2

P3 -6

-4

-2

0 -2

-4 P1 P5 = 5 m

P3 P4 =

(3)2 + (− 4)2

P1

P2

X( m)

P4

P1P3 = 82 m P1 P5 = y1 − y 5 = [2 − (−3) ] m

Y (m)

P3 P4 = 5 m

2

4

6 P5

43 Y y2

Sean P1 (x1 ; y1 ; z1) P2 ( x2 ; y2 ; z2 ) dos puntos ubicados en el espacio, tal como se

P2

muestra en la figura a la derecha. La distancia y1

entre dos puntos P1 y P2 en el espacio es una extensión de la distancia entre dos puntos del plano, y se determina con la expresión:

P1

(x2 , y2 , z2 )

(x1 ,y1 , z1 )

x1

0

x2 X

z1

P1P2 =

( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2

z2 Z

La distancia entre los puntos P1P2 =

P1 = (−1 ; 1; 0) m y

[1 − (− 1)]2 + (2 − 1)2 + (2 − 0)2

P1P2 =

P2 = (1 ; 2 ; 2) m es:

(2)2 + (1)2 + (2)2 m

P1P2 = 9 m = 3 m

2.5.2 Sistema de Coordenadas Polares P (r; φ ) Un punto en el plano P (r;φ) esta representado en un Sistema de Coordenadas Polares por el par ordenado de números reales (r ; φ) identificados como las

φ

0

Eje polar

coordenadas polares del punto. El sistema de coordenadas polares consta de un eje polar (preferiblemente el semieje positivo de

las X) y el punto origen 0 ubicado en el extremo izquierdo del eje polar. Las coordenadas polares de un punto P (r ; φ) en el plano se definen, como: Coordenada r: longitud del segmento de recta trazado desde el origen 0 hasta el punto P. Coordenada φ: ángulo comprendido entre el eje polar y el segmento radial r, medido en sentido antihorario. En el sistema SI el ángulo φ en el plano se expresa en radianes ( 1 rad =

180º ). π

44 En la figura que se muestra a continuación se encuentra dibujado un sistema de coordenadas polares combinado con círculos de radios 1u, 2 u, 3 u, 4 u ....... El ángulo entre los rayos es de 10º. Observa cuales son las coordenadas polares de los puntos indicados por circulitos rojos.

P1 P2

P3

P4

P1 = ( 4 u; 50º ) = ( 4 u; 50º x

5 π rad ) = ( 4 u; π rad) 18 180º

P2 = ( 3 u; 135º ) = ( 5 u; 135º x

3 π rad ) = ( 3 u; π rad) 4 180º

P3 = ( 2 u; 200º ) = ( 2 u; 200º x

π 10 rad ) = ( 2 u; π rad) 180º 9

P4 = ( 5 u; 300º ) = ( 5 u; 300º x

π 5 rad ) = ( 5 u; π rad) 3 180º

P4 = ( 5 u; -60º ) = ( 5 u; −60º x

π 1 rad ) = ( 5 u; − π rad) 3 180º

45 Por ejemplo, se emplea un sistema de coordenadas polares, cuando ubicamos la posición de los aviones I, II, III y IV :

N

60° 30°

O

E 20°

45°

V

S 100 km

El avión I se encuentra 400km en dirección 60° al noreste. En este caso, el eje polar es el

semieje que apunta hacia el norte. El avión II se encuentra 400km en dirección 30° al norte del oeste. En este caso, el eje

polar es el semieje que apunta hacia el oeste.

El avión III

se encuentra 300km en dirección suroreste. En este caso, el eje polar es el

semieje que apunta hacia el sur. El avión IV se encuentra 200km en dirección 20° al sur del este. En este caso, el eje polar

es el semieje que apunta hacia el este.