Unidad Iv - Rectas Y Planos En El Espacio.docx

UNIVERSIDAD DE HUANUCO

TEMA:

Unidad IV - rectas y planos en el espacio CURSO:

Algebra vectorial

DOCENTE:

ING: Gelasio Pozo Pino

INTEGRANTES:     

CICLO:

SECCION:

CABELLO PONCE, sherly mabel CARHUACHIN RIVERA, yadim freddy CORNELIO CHAVEZ jhonatan hans FERNANDEZ FAUSTINO ,rudy JUSTINIANO PONCIANO, jhony carlos

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“A” HUÁNUCO - PERÚ 2019

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INDICE

INDICE ........................................................................................................................................ 2 PARTE TEORICO ............................................................................................................. 3

1.

RECTAS EN EL ESPACIO ........................................................................................... 3

1.1.

1.1.1

Ecuación vectorial de una recta en el espacio ........................................................... 3

1.1.2

Posiciones relativas de los vectores en el espacio ..................................................... 7

1.2. 1.2.1

PLANOS EN EL ESPACIO ....................................................................................... 9 Ecuación vectorial de un plano en el espacio ............................................................ 9

2.

EJERCICIOS PROPUESTOS ......................................................................................... 15

3.

BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................... 16

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1. PARTE TEORICO 1.1. RECTAS EN EL ESPACIO 1.1.1 Ecuación vectorial de una recta en el espacio Sea L una recta en R3 tal que contienen a un punto dado P1 (x1, y1, z1) y que es paraléla a las representaciones de un vector dado a= (a, b, c) entonces la recta L es él conjuntos de puntos P (x, y, z) tales que P1P es paralelo al vector a Esto es: P ϵ L

P1 P= ta P- P1 = ta

P= P1+ ta, t ϵ R Es una ecuación paramétrica vectorial de L. Entonces L se puede escribir como: L= (P ϵ R3 l P=P1 + t a, t ϵ R)

z l P P1 a

P P1 y

x

FIGURA 5.1

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Ejemplo 1: hallar la ecuación paramétrica vectorial de la recta L pasa por los puntos S (2,3,-1) y T (5,-3,1) solución: un vector coincidente con ST es: a= ST= T-S= (5,-3,1) – (2,3,-1) = (3,-6,2) como S esta sobre la rectal entonces según la ecuación, su ecuación paramétrica vectorial es: L: P = (2,3,-1) + t (3,-6,2)

Observación 1: Segmento de recta Tal como en el caso de los vectores de R2, si se restringe el dominio de t, en la ecuación(1), a un intervalo cerrado, entonces la gráfica de la ecuación es un segmento de recta. En particular, si 0 ≤ t ≤ 1, entonces la gráfica es el segmento ST. Se puede identificar a los puntos que están a una distancia dada de S sobre T eligiendo aproximadamente el parámetro t.

Ejemplo 2: Obtener las coordenadas de los puntos que trisecan al segmento de extremos S (-6, 1, 5) y (3,13,-1) Solución: el vector direccional que pasa por la recta que pasa por S y T es: a = T-S= (3,13,-1) - (-6, 1, 5) = (9, 12,-6)

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luego la ecuación paramétrica vectorial del segmento ST es ST: P = (-6, 1, 3) + t (9, 12,-6), t ϵ (0, 1) Para obtener los puntos de trisección B y C, hacemos: t =1/3 y t= 2/3 Para t =1/3

B= (-6, 1, 3) + 1/3 (9, 12,-6) = (-3,5,3)

Para t =2/3

C= (-6, 1, 3) + 2/3 (9, 12,-6) = (0,9,1)

Conclusión: B (-3,5,3) y C (0,9,1) son los puntos de trisección del segmento ST:

Observación 2: Ecuaciones paramétricas cartesianas de una recta Si en la ecuación (1) escribimos los vectores P, P1 y a en función de sus componentes, entonces

(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t (a, b, c) O bien (x, y, z) = (x1 + t a, y1+ t b, z1+ t c) Que equivale las tres ecuaciones cartesianas x = x1 + t a, y = y1+ t b, z = z1+ t c ……….. (2) estas tres ecuaciones reciben el nombre de tres ecuaciones paramétricas cartesianas de la recta L

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Observación 3: Ecuaciones simétricas de una recta Si despejamos t de cada una de las ecuaciones (2) obtenemos x-x1 𝑥−𝑥1 𝑎

=

𝑦−𝑦1 𝑏

=

𝑧−𝑧1 𝑐

……….(3)

Las ecuaciones (3) reciben el nombre de ecuaciones simétricas de una recta L. los términos a,b y c son los directores de L ya que son componentes de un vector de dirección de dicha recta. Si una recta es paralela a un plano, entonces uno de sus numero s directores es 0. Por lo tanto, no tienen ecuaciones simétricas de la forma (3), puesto que uno de los denominadores seria 0. Por ejemplo, si una recta L es paralela al plano XY, pero no a los ejes X e Y (figura #3) entonces tiene un vector direccional de la forma (a,b,0), donde ay b no sin igual a cero. Aunque L no tiene ecuaciones de la forma (3), si contienen al punto P1= (x1, y1, z1) se puede determinar mediante las ecuaciones 𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 = , 𝑍 = 𝑍1 𝑎 𝑏 Si una recta es paralela a uno de los ejes coordenados, entonces dos de sus números directos son 0, y en lugar de las ecuaciones simétricas se tiene simplemente las ecuaciones que expresan las dos coordenadas constantes de cada punto sobre la recta. Asi si la recta L, que es paralela al eje Z, pasa por P 1 (x1, y1, z1) queda especificada por las ecuaciones X = X1 , Y = Y1 La recta L interseca al plano XY en el punto S(x1, y1, 0) como se indica en la (figura #4)

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1.1.2 Posiciones relativas de los vectores en el espacio Paralelismo de rectas Dos rectas L1= (P = P1 + ta l t ϵ R) y L2 = (P =Q1 +rb l r ϵ R), se dice que son paralelas si los vectores de dirección a y b son paralelos. Esto es: L ll L

a ll b

Observación 1: Si dos rectas L1 y L2 en el espacio son paralelos, entonces, o son coincidentes (L1 = L2) o no se interceptan ( L1∩ L2 = Ø)

Ejemplo 1: Dadas las rectas L1= {(2, -1, 2) + t (2,1,-3)}, L2 = {(0,2,3) +s (-4,-2,6)}, L3 = {(6,1,-4) + r(6,3,-9)} establecer si son paralelas o coincidentes . Solución: los vectores de dirección de las rectas dadas son a1 = (2,1,-3), a2 = -2 (2,1,-3), a3 = 3 (2,1,-3) por simple inspección:

a1 ∥ a2 ∥ a3

L1 ∥ L2 ∥ L3

veamos si P2 (0,2,3) ϵ L2, pertenece también a L1. Para ello trazamos el vector V= P2 – P1 = (0,2,3) - (2, -1, 2) = (-2, 3, 1) ≠ (2, 1, -3) luego, v no es paralelo a a1, o sea P2 ∉ L1, por lo tanto, L1 y L2 no son coincidentes (L1∩ L2 = Ø) . veamos ahora si P3 ϵ L3 pertenece también a L1 . trazamos el vector V = P3 – P1 = (6, 1, -4) - (2, -1, 2) = 2(2, 1, 3) como V ∥ a1

Observación 2:

L1 y L2 son rectas coincidentes, es decir, L1 = L3 y L1∩ L3 = {P3}

si dos rectas L1 y L2 en el espacio no son paralelas entonces, o son

concurrentes ( L1∩ L2 ≠ Ø) o se cruzan en el espacio ( L1∩ L2 = Ø). Dadas las rectas no paralelas, L1 = {P1 + ta l t ϵ R} y L2 = {P2 + sb l s ϵ R} y trazado el vector C= P2 – P1, entonces para reconocer si estas rectas son concurrentes o se cruzan en el espacio, se sigue el siguiente criterio. 1. L1 y L2 son concurrentes

(a b c) = 0

2. L1 y L2 se cruzan en el espacio

(a b c) ≠ 0 PÁGINA 7

Ejemplo 2: Dadas las rectas L1 =

𝑥−4 1

=

𝑦 3

=

𝑧−3 −1

y L2 ={(-3, -2, 6) + t(2, 3, -4) } y L3 :

x = s + 5, y = -4s – 1, z = s – 4 ; establecer cuales son concurrentes o cuales se cruzan en el espacio. En el caso de que sean concurrentes, hallar el punto de intersección. Solución: L1= {(-4, 0, 3) + r (1, 3, -1)} y L3 = {(5, -1, -4) +s (1, -4, 1)}, para cada par de rectas tenemos: 1. Con L1 y L2 :

a1 = (1, 3, -1), a2 = (2, 3, -4) C1= P2 – P1 = (-3, -2, 6) – (-4, 0, 3) = (1, -2, 3)

1 (a1 a2 c1) = (2 1

3 −1 3 −4) = -22 ≠ 0 −2 3

Luego, L1 y L2 se cruzan en el espacio 2. Para L1 y L3 :

a1 = (1, 3, -1), a3 = (1, -4, 1) C2= P3 – P1 = (5, -1, -4) – (-4, 0, 3) = (9, -1, -7)

1 (a1 a3 c2) = (1 9

3 −1 −4 1 ) = 42 ≠ 0 −1 −7

Por tanto, L1 y L3 se cruzan en el espacio 3. Para L2 y L3 :

a2 = (2, 3, -4), a3 = (1, -4, 1) C3= P3 – P2 = (5, -1, -4) – (-3, -2, 6) = (8, 1, -10)

2 3 −4 (a2 a3 c3) = (1 −4 −1) = 0 8 1 10 Por lo que, L2 y L3 son rectas concurrentes Si P ϵ (L1∩ L2 ) Ǝ t, s ϵ R tales que (x, y, z) = (-3, -2, 6) + t (2, 3,-4) = (5, -1, -4) + s (1, -4, 1)………(1) O bien 2𝑡 − 𝑠 = 8 (2t – s, 3t + 4s, -4t – s) = (8, 1, -100) {3𝑡 + 4𝑠 = 1 4𝑡 + 𝑠 = 10 PÁGINA 8

Resolviendo las dos primeras ecuaciones obtenemos: t=3 y s= -2 Luego, en (1): (x, y, z) = (-3, -2, 6) + 3 (2, 3,-4)

P (3, 7, -6) ϵ L2∩ L3

Perpendicularidad de rectas Dos rectas L1 ={P1 + t a } y L2 ={P2 + s b } se dicen ue son perpendiculares si lo son sus vectores de dirección, esto es L1 ⊥ L2

a ⊥b

1.2. PLANOS EN EL ESPACIO 1.2.1 Ecuación vectorial de un plano en el espacio Así como en R2 , la gráfica de una ecuación de dos variables x e y es una curva, en R3 la gráfica de una ecuación en las tres variables x, y, z es una superficie. Las más simple es el plano, pues su ecuación es de primer grado en tres variables.

Es bien conocido que tres puntos no coloniales en el espacio determinan un plano. Basándonos de este hecho trataremos de obtener su ecuación vectorial de la siguiente manera. Considérese el plano P que pasa por un punto A, B y P1 y que contiene los vectores no paralelos a y b, como se muestra en la figura 6.1.

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un vector V = P1 P cualquiera del plano se puede escribir como una combinación lineal de un vector en la dirección de a y otro en la dirección de b. Esto es, si: P (x, y, z) є P

Ǝ s, t, є R, tales que

P1 P = s a + t b

P - P1 = s a + t b P = P1 + s a + t b

Queda entonces definido la ecuación vectorial del plano P, como el conjunto de puntos: P = {P l P = P1 + s a + t b, t є R……….(1)

Ejemplo 1: Hallar la ecuación paramétrica vectorial del plano que contiene a los vectores a= (-1, 2, 3), b = (4, -3, 5) y pasa por el punto P1 (1, 0 ,2) solución: según la formula (1) la ecuación vectorial del plano es P = {P l P = (1, 0, 2) + s(-1, 2, 3) + t(4, -3, 5),s ,t є R}

Observación 1: Ecuaciones paramétricas del plano Si en la ecuación (1) se sustituye P = (x, y, z), P1 = (x1, y1, z1), a= (a1, a2, a3) y b = (b1, b2, b3) , obtenemos X = x1+ sa1+ tb1 Y = y1+ sa2+ tb2 Z = z1+ sa3+ tb3 ……………….( 2) Las ecuaciones (2) son definidas como las ecuaciones paramétricas del plano , cuyo punto de paso es P1 y es paralelo a los vectores a y b.

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Ejemplo 2: Hallar las ecuaciones paramétricas del plano que pasa por los puntos R (2, 1, 3), S (-1, -2, 4) y T (4, 2, 1). ̅̅̅̅ = (-1, -2, 4) - (2, 1, 3)= (-3, -3, 1) solución: sean: a = 𝑅𝑆 ̅̅̅̅ = (-1, -2, 4) - (4, 2, 1) = (2, 1, -2) y b = 𝑅𝑇 si R = (2, 1, 3) є P

Ǝ s, t є R, tales que: P = (2, 1, 3) + s (-3, -3, 1) + t (2, 1, -2)

Entonces, por simple inspección, las ecuaciones paramétricas del plano son: X = 2- 3s + 2t, Y = 1- 3s + t, Z = 3 + s- 2t P (x, y, z) є P

̅̅̅̅̅̅ * n= 0 𝑃1𝑃 (P – P1) * n = 0

………………….(3)

La expresión (3) se conoce como la ecuación normal del plano P, cuyo punto de paso es P1.

Observación 3: Ecuación general del plano Dado que el producto escalar de dos vectores es un número real, se ´puede emplear la ecuación (3) para obtener una ecuación escalar o del plano cartesiano que pasa por P1 y con vector normal n. En efecto, supóngase que P = (x, y, z), P1 = (x1, y1, z1) y n = (A, B, C), entonces, si: (P – P1) * n = 0

P * n = P1 * n (x, y, z) * (A, B, C) = (x1, y1, z1) * (A, B, C) Ax + By +Cz = Ax1 + By1 + Cz1 si hacemos D = - (Ax1 + By1 + Cz1), obtenemos: P: Ax + By +Cz + D = 0 ………………..(4) Que es la denomida ecuación del plano.

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Ejemplo 3: Sea P un plano que pasa por P1 (5,4,3) y tiene como vector normal a n= <1 , 2 , 3> . Hallar una ecuación vectorial para P . SOLUCION . Si P ( x ,y, z ) ϵ P

(P- P1). n = 0

P . n = P1 . n

< x , y , z > . (1, 2 , 3 ) = < 5 , 4 , 3 > . <1 , 2 , 3 > de donde obtenemos la ecuación general , P : x + 2y + 3z = 22 Entonces, para x = 1 , z = 3 1 + 2y + 9 = 22

y=6

A(1,6,3) ϵ P

para x = 1 , y = 0 1 + 0 + 3z = 22

z=7

B(1,0,7) ϵ P

Teniendo tres puntos no colineales del plano , podemos hallar dos vectores que están contenidas en dicho plano . Esto es , si ̅̅̅̅̅̅ = < 1 ,6 , 3> - <5, 4 , 3> a = 𝑃1𝐴

a= < -4, 2, 0> = -2 <2,-1,0>

b = ̅̅̅̅̅̅ 𝑃1𝐵 = < 1 ,0 , 7> - <5, 4 , 3>

b= < -4, -4, 4> = -4 <1,1,-1>

Por lo que , una ecuación vectorial del plano pedido es P = < 5, 4 , 3 > + s < 2 , -1 , 0 > + 1 < 1 , 1 , -1 > ; s , t ϵ R

Observación 4: Ecuaciones de los planos coordenadas Partiendo de las ecuaciones (3) (4) y (1) podemos obtener las ecuaciones normal , general y vectorial , respectivamente , de los planos coordenados . A) PLANO XY: En la figura 6.6a : n = k = <0 , 0 , 1 > , a= i , b =j La ecuación normal es : < P- P1 > . n = 0 (x, y, z) . (0,0,1)=0 La ecuación general es : z = 0 Ecuacion vectorial , P= {P ( P = s ( 1, 0, 0) i < 0 , 1 , 0 > } B ) PLANO XZ: En la figura 6.6b n = j = <0, 0 ,0> a = i , b = k y P1 <0, 0, 0> La ecuación normal es : < P- P1 > . n = 0 (x, y, z) . (0,1,0)=0 La ecuación general es : y = 0 Ecuacion vectorial , P= {P ( P = s ( 1, 0, 0) i < 0 , 0 , 1 > } C) PLANO YZ : En la figura 6.6c n = i = <1, 0 ,0> a = j , b = k y P1 <0, 0, 0> La ecuación normal es : < P- P1 > . n = 0 (x, y, z) . (1,0,0)=0 La ecuación general es : x = 0 Ecuacion vectorial , P= {P ( P = s ( 0, 1, 0) + t < 0 , 0 , 1 > }

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DEFINICION 6.1 Paralelismo y Perpendicularidad de una recta y un plano Una recta L es paralela a un plano P si y solo si un vector de dirección de L es perpendicular a un vector normal a P . ( La recta L puedo o no estar contenido en P). Una recta L es perpendicular a un plano P , si y solo si un vector e dirección de L es paralelo a un vector normal a P , por tanto , si a es el vector de dirección de L y n es el vector normal al plano P , entonces

A) L ll p

a. n = 0

B) L ⊥ P

z

z

i P x

j O

z

P k

k

axn=O

i

y

P k

j O

y

i

x x

FIGURA 6.6

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j O

y

Ejemplo 4: Para que valores de a y b , la recta L :

𝑥−2 𝑎

=

𝑦+1 4

=

𝑧−5 −3

es perpendicular al plano P : 3x- 2y + bz +1 = 0 SOLUCION : Por inspección a = < a , 4 , -3 > y n = < 3, -2 , b > Por la definición 6.1b , si L ⊥ P 𝑖 a x n=(𝑎 3

axn=O

𝑗 𝑘 4 −3) = i( 4b – 6) – j(ab+9) + k (-2a -12 ) −2 𝑏

Luego , si : < 4b – 6 ,- ab- 9 , 2a-12 > = < 0 ,0, 0>

4𝑏 − 6 = 0 𝑏 = 3/2 { −𝑎𝑏 − 9 = 0 −2𝑎 − 12 = 0 𝑎 = −6

DEFINICION 6.2 Paralelismo y Perpendicularidad de dos planos Dos planos son paralelos o perpendiculares si y solo si sus respectivas normales son paralelas o perpendiculares, Es decir, si P1 es un plano con normal n1 y P2 es un plano con normal n2, entonces A) P1ll P2

n1x n2 = 0

B) P1 ⊥ P2

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n1 . n2 = O

2. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas L1= [(-1,4,-3) +r(5,-2,2)] y L2= [(-2,4,13+S(3,-1,-10)] y es perpendicular al plano formado por L1 y L2. 2. Dado los vértices de un triángulo A(2,-1,-3), B(5,2,-7) y C(-7,11,6), hallar la ecuación vectorial de la bisectriz del ángulo externo del vértice A.

3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(3,4,0) y corta al eje Z, sabiendo que la distancia del origen de coordenadas a dicha recta es 4 unidades. 4. Determinar el valor de m para que los planos P1 : mx-2 y + 2z-7=0 y P2 : 4x+my6z+9=0 sean perpendiculares. 5. Un plano pasa por los puntos extremos de los vectores a=(1,3,1) , b=(4,2,-1) y c=(3,0,4), si estos tienen el origen común en el punto M(1,-1,2)

6. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto P1 (3, 1, 2) y es perpendicular a las rectas L1 = {(1, 0, 2) + r (1, -2, 2)} y L2 = {(2, 6, -3) + s (3, 0, -1)}

7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto S (1, -4, 6) y es perpendicular, en el espacio, a la recta L1 = {(3, 2, -1) + r (1, -1, 2) l r є R}

8. Obtener la ecuación general del plano que pasa por los puntos R (3, 2, 1), S (1, 3, 2) y T (1, -2, 3)

9. Hallar la ecuación cartesiana del plano que contiene a las rectas L1: P = (2, 5, -1) + t (-4, -3, 2); t є R y L2: x = 4 + 4s, y= -3 +3s, z= -2s; s є R

10. Determinar para que valores que a y b las ecuaciones P1: ax – 6y -6z + 2 = 0 y P2 :2x + dy + 3z – 5 = 0, determinar planos paralelos.

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3. BIBLIOGRAFÍA  https://www.youtube.com/watch?v=sRz995QfVog  https://www.youtube.com/watch?v=Muaub7Lm2Lk  https://youtu.be/FUdihyhQfOs  https://youtu.be/-MuMSIew1Oo

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