Planos En El Espacio

Planos en el espacio PLANOS EN EL ESPACIO

Planos en el espacio ¿Cuál es la condición geométrica que debe satisfacer un punto P para estar en el plano π que pasa por P0 y es ortogonal a η?

Planos en el espacio si y sólo

P(x,y,z) ∈ π

P-Po ⊥ η

si Es decir: η·(P-Po)=0

La cuación del plano π que pasa por P0(xo,yo,zo) y es ortogonal a η=(a,b,c)

(a,b,c)·(x-xo, y-yo, z-zo)=0.

Planos en el espacio a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)=0 ⇒ ax+by+cz = axo+byo+czo Si

d = axo+byo+czo

Ecuación cartesiana del plano π

ax+by+cz=d

Planos en el espacio ¿Cuál es la condición geométrica que debe satisfacer un punto P para estar en el plano π que pasa por los puntos no alineados P,Q, R?

Planos en el espacio η P

Q

π

R u=(Q-P) y v=(R-P) η=(Q-P)x(R-P)

η·(P-Po)=0

Planos en el espacio Ecuación del plano π que pasa por los tres puntos no alineados P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3), R=(r1,r2,r3)

ax+by+cz=d normal

i

Ecuación

j

k

(a,b,c) q1 − p1 q2 − p2 q3 − p3 r1 − p1 r2 − p2 r3 − p3 =

Planos en el espacio Ejercicio Nº1 Encuentre el plano que pasa por los puntos P(2,0,1), Q(1,2,0), R(3,2,1)

Planos en el espacio Solución Nº1:

PQ=(-1,2,-1) y PR=(-5,2,0)

i

j

k

=(2,5,8 η= −1 2 −1 −5 2 0 ) 2x+5y+8z= 2·2+5·0+8·1 2x+5y+8z=12

P(2,0,1),

Planos en el espacio Por lo tanto, el determinante de la matriz del sistema debe ser nulo x

y z −1

2

0 1 −1

1

2 0 −1

−3 2 1 −1

0 1 −1

2

= x 2 0 − 1− y 1 2 1 −1

x

y z −1

2 0 1 −1 =0 1 2 0 −1 −3 2 1 −1 1 −1

2

0 − 1+ z 1

−3 1 −1

2x+5y+8z12=0

0 −1

2

0 1

2 − 1− (− 1) 1

2 0

−3 2 −1

−3 2 1