Rectas Y Planos En El Espacio Si Vale

Nombre: Silvia Hidalgo

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO En el plano R2 podemos encontrar la ecuación la ecuación de una recta dados dos puntos de la recta o un punto y la pendiente de la recta. En R3, nuestra intuición nos dice que las reglaS básicas son las mismas. Empezamos con dos puntos P= (x1,y1,z1) y Q=(x2,y2,z2) en una recta L. Un vector paralelo a L es un vector con representación

. Por tanto,

( 1) Es un vector paralelo a L. Ahora, sea R= (X, Y, Z) otro punto en la recta. Entonces

es paralelo a

, que a su vez es paralelo a v así :

(2 ) Para algún número real t. De la figura 3.33 tenemos ( en cada uno de los tres casos posibles) ( 3 )

Y, combinando (2) y (3) obtenemos =

+tv

( 4 )

Ecuacion vectorial en una recta Si desarrollamos en componentes la Ecuación (4) obtenemos Xi + yj + zk = x1i + y1j +z1k + t( x2 – x1 )i + t( y2 – y1 )j + t( z2 – z1 )k

O bien

x = x1 + t(x2 – x1) y = y1+ t( y2 – y1 )

z = z1 +t( z2 – z1 ) (5)

Ecuaciones parámetricas de una recta Despejando t en (5) y definiendo x2 –x1 = a, y2 – y1 = b y z2 – z1 = c , encontramos que:

Ecuaciones simétricas de una recta Las ecuaciones (6) se conocen como las ecuaciones simétricas de la recta. Aquí a , b y c son los números directores del vector v. Desde luego, las Ecuaciones (6) son válidas sólo si a ,b y c sin distintas de cero.

Plano Sea P un punto en el espacio y sea n un vector dado distinto de cero. Entoncs el conjunto de todos los puntos Q para los cuales

. n = 0

forman un plano en . Una forma más fácil de escribir la función es: ax + by + cz = d en donde: d = ax0 + by0 + cz0 =

.n

Planos Paralelos Dos planos son paralelos * si sus vectores normales son paralelos ; esto es, si el producto cruz de sus vectores normales es cero. Dos planos paralelos se dibujan a continuación: