Tugas Kelompok Analisis Riil 2

Tugas Kelompok Analisis Riil 2 Oleh : Fellani Cahya Utami Isneni Fitri Lely Lailatus Syarifah Teorema 3.3.3 Jika barisan bilangan real {xn}n=1∞ konvergen ke L, maka limit L nilainya tunggal. 1. Barisan {2n+33n}n=1∞ konvergen ke 23 2. Barisan {1n2}n=1∞ konvergen ke 0 3. Barisan {2n+33n}n=1∞ konvergen ke 23 4. Barisan {2n+33n}n=1∞ konvergen ke 23 5. Barisan {2n+33n}n=1∞ konvergen ke 23

Teorema 3.3.4 Jika barisan bilangan real {xn}n=1∞ konvergen ke L, maka setiap barisan bagian dari {xn}n=1∞ juga konvergen ke L. 1. A = nn+1=12, 23, ……….. ,1 dengan himpunan bagian B = n2n2+1=12, 45, ……….. ,1

(A dan B Konvergen).

2. A = 1n=11, 12, ……….. ,0 dengan himpunan bagian B = 12n=12, 12, ……….. ,0

(A dan B Konvergen).

3. A = 1n=1, 12, ……….. ,0 dengan himpunan bagian B = 1n3=1, 18, ……….. ,0

(A dan B Konvergen). 4. A = -1n=-1,-,12,- 13, ……….. ,0 dengan himpunan bagian B=-1n2=-1,1-4, 1-9, ……….. ,0, (A dan B konvergen)

5. A = 12n=12,14, 16, ……….. ,0 dengan himpunan bagian B=12n2=12, 18, ……….. ,0, (A dan B konvergen)

Teorema 3.4.4 Jika barisan bilangan real {xn}n=1∞ konvergen ke L, maka {xn}n=1∞ terbatas. 1. Barisan {2n 3n+1}n=1∞ konvergen ke 23 sebagai batas atas dan batas bawahnya 24 2. Barisan {3n2 3n2+1}n=1∞ konvergen ke 1 sebagai batas atas dan batas bawahnya 34 3. Barisan n2n+3n=1∞ konvergen ke 12sebagai batas atas dan batas bawah 1 5 4. Barisan 2n3n+1n=1 ∞konvergen ke 23 sebagai batas atas dan batas bawah 12 5. Barisan nn+1n=1∞konvergen ke 1 sebagai batas atas dan batas bawah 12

Teorema 3.4.7 Misalkan {xn}n=1∞ adalah barisan bilangan real. Jika {xn}n=1∞ barisan tak turun dan terbatas diatas, maka {xn}n=1∞ konvergen. 1.

Barisan {3-1n}n=1∞ →2, 52, ……3 adalah barisan tak turun dan terbatas diatas oleh 3

2. Barisan 6-2n2→{4, 112, ……….. ,6} adalah barisan tak turun dan terbatas

diatas oleh 6 3. Barisan 2n5n+1n=1∞ →{26,411,……,25} adalah barisan tak turun dan terbatas di atas oleh 25 4. Barisan {n4n+1}n=1∞ → {15,29,……,14} adalah barisan tak turun dan terbatas di atas oleh 14

5. Barisan nn+1={12, 23, ……….. ,1} adalah barisan tak turun dan terbatas di atas oleh 1

Teorema 3.4.8 Misalkan {xn}n=1∞ adalah barisan bilangan real. Jika {xn}n=1∞ barisan tak turun dan tak terbatas diatas, maka {xn}n=1∞ divergen ke ∞. 1. Barisan R={2n}n=1∞=2, 4. 6 , ……..+∞, adalah barisan tak turun dan tak

terbatas diatas sehingga R divergen menuju ⁺∞. 2. Barisan R={n+3}n=1∞=4, 5, 6 , ……..+∞, adalah barisan tak turun dan tak

terbatas diatas sehingga R divergen menuju ⁺∞. 3. Barisan R=(5n+7)=12,17,22…+∞ adalah barisan tak turun dan tak terbatas diatas sehingga R divergen menuju ⁺∞. 4. Barisan R={3n}n=1∞=3,6, ………..+∞ , adalah barisan tak turun dan tak

terbatas diatas sehingga R divergen menuju +∞. 5. Barisan R={n+2}n=1∞=3,4,……….. ,+∞, adalah barisan tak turun dan tak

terbatas diatas sehingga R divergen menuju +∞ Teorema 3.4.9 Misalkan {xn}n=1∞ adalah barisan bilangan real. Jika {xn}n=1∞ barisan tak naik dan terbatas dibawah, maka {xn}n=1∞ konvergen. 1

Barisan {3n+1n}n=1∞ →4, 72, ……3 adalah barisan tak naik dan terbatas di bawah oleh 3

2.

Barisan {4n22n2-1}n=1∞→4, 167, ……2 adalah barisan tak naik dan

terbatas di bawah oleh 2 3.

Barisan3n5n-1=34, 69, ………. ,35 adalah barisan tak naik dan terbatas

di bawah oleh 35 4.Barisan n2n-1=1, 23, ……….. ,12 adalah barisan tak naik dan terbatas di bawah oleh 12

5. Barisan n3n-2={1,12, , ………,13} adalah barisan tak naik dan terbatas di

bawah oleh 13 Teorema 3.4.10 Misalkan {xn}n=1∞ adalah barisan bilangan real. Jika {xn}n=1∞ barisan tak naik dan tak terbatas dibawah, maka {xn}n=1∞ divergen ke (− ∞). 1. Barisan {1-n3}n=1∞ →0, -13, ……-∞ adalah barisan tak naik dan tak

terbatas di bawah 2. Barisan {-(n2)+52}n=1∞ →4, 112, …… -∞ adalah barisan tak naik dan

tak terbatas di bawah 3. Barisan -7n-3n=1∞={-10,-17,-24, ………-∞} adalah barisan tak naik dan

tak terbatas di bawah 4. Barisan -5n-72={6,-172, ……….-∞}. adalah barisan tak naik dan tak

terbatas di bawah 5. Barisan -3n={-3,-6,-18 , ………..-∞ } ,adalah barisan tak naik dan tak

terbatas di bawah

Teorema 3.4.11 Misalkan {xn}n=1∞ adalah barisan bilangan real. Maka {xn}n=1∞ mempunyai barisan yang monoton. 1. Barisan {2-2n}n=1∞ →0, 1, 43……2 adalah monoton naik. 2. Barisan {13n}n=1∞ →13, 16……0 adalah monoton turun. 3. Barisan nn+1n=1∞={12, 23, ……….. ,1 }adalah monoton naik. 4. Barisan 12nn=1∞=12, 14, ……….. ,0 adalah monoton turun. 5. Barisan 1n2n=1∞=1, 14, ……….. ,0 adalah monoton turun.