Tugas Analisis Real 2

TUGAS ANALISIS REAL 2 NAMA: 1. FATHIA KHARISMA

107017000012

2. JULIA ARLYIN DOTULONG

107017001302

3. RIZMA AMALIA

107017000737

Teorema 3. 3. 4 Jika barisan Xnn=1∞ konvergen ke L, maka setiap barisan bgian dari Xnn=1∞, juga konvergen ke L 1. K =1+1nn=1∞ = 2, 32, 43,…, adalah barisan yang konvergen ke 1

L = 1+12nn=1∞= 32, 54,72, …, merupakan barisan bagian dari K, maka L juga merupakan barisan yang konvergen ke-1 2. G = 2nn=1∞ = 2,1,23,24,… adalah barisan yang konvergen ke 0

H = 2n+1n=1∞ = 1,23,24,… merupka barisan bagian dari G,maka H juga merupkan ynang konvergen ke-0. 3. K = 2n1+nn=1∞= 25,32, …, adalah barisan yang konvergen ke-2

L = n12n+2n=1∞ =25,23,67, 1, …, merupakan barisan bagian dari K, maka L juga ,merupakan barisan konvergen ke -2. 4. S = n2n2+4n=1∞ = 15,23,913, …, adalah barisan yang konvergen ke -1

R = nn+3n=1∞= 14,25,12, …, merupakan barisan bagian dari S, maka R juga merupakan barisan yang konvergen ke -1 5. A = 2nn2+4n=1∞ = 25,12,613, …, adalah barisan yang konvergen ke -0

B = nn2+4 = 15,14,313, …, merupakan

barisan bagian dari A, maka B juga

merupakan barisan yang konvergen.

Teorema 3. 4.4 Jika barisan bilangan Real Xnn=1∞ konvergen, maka Xnn=1∞ terbatas. 1. n2n+1n=1∞, adalah barisan yang konvergen ke- 12, maka n2n+1n=1∞ terbatas.

Bukti: n2n+1n=1∞= 13,25,,3749,511,613, …, terbatas di atas oleh 1 dan terbatas di bawah oleh 13. 2. 2nn+5n=1∞,adalah barisan yang konvergen ke- 2, maka 2nn+5n=1∞ terbatas

Bukti: 2nn+5n=1∞ = 26,47,,68,89, …, terbatas di atas oleh 1 dan terbatas di bawah oleh 13. 3. 14n2n=1∞ adlah barisan konvergen ke- 0, maka 14n2n=1∞ terbatas.

Bukti: 14n2n=1∞ = 14,116,136, …, terbatas di atas oleh 0 dan terbatas di bawah oleh 14 4. 2-12nn=1∞, adalah barisan konvergen ke- 2, maka 2-12nn=1∞, terbatas.

Bukti: 2-12nn=1∞= 32,53,74, … terbatas di atas oleh 2,terbatas di bawah oleh 32 5. 1n2+4n=1∞ adalah barisan yang konvergen ke- 0, maka 1n2+4n=1∞ terbatas.

Bukti : 12n2+1n=1∞ = 32, 98,1918, … terbatas di atas oleh 1 dan terbatas di bawah oleh 32.

Teorema 3. 4.7 1. n23+n2n=1 ∞=,14,47,912, … terbatas diatas oleh 1,karena n23+n2n=1 ∞barisan

tak turun dan terbatas diatas, maka n23+n2n=1 ∞Konvergen. 2. 2n4n+3n=1 ∞= ,27,411,25, … terbatas diatas oleh 1,karena 2n4n+3n=1 ∞barisan

tak turun dan terbatas diatas, maka 2n4n+3n=1 ∞Konvergen. 3. 2n2+12n2+7n=1

∞=

,13,35,1925,

…

terbatas

diatas

oleh

1,karena

2n2+12n2+7n=1 ∞barisan tak turun dan terbatas diatas, maka 2n2+12n2+7n=1 ∞

Konvergen. 4. n6n+1n=1 ∞=,27,413319, … terbatas diatas pleh 1karena n6n+1n=1 ∞barisan tak

turun danterbatas di atas, maka n6n+1n=1 ∞konvergen. 5. 4n22+n2n=1 ∞= ,113,85,3611, … terbatas diatas oleh 1,karena 4n22+n2n=1 ∞barisan tak turun dan terbatas diatas, maka 4n22+n2n=1 ∞ Konvergen.

Teorema 3. 4.8

Misalkan Xnn=1∞, adalah barisan bilangan real jika Xnn=1∞, barisan tak turun dan tak terbatas diatas, maka Xnn=1∞ = dvergen ke ∞. 1. n+1n=1∞ = 2,3,4,5,…, merupakan barisan terbatas di atas karena n+1n=1∞barisan

tak turun dan tidak terbatas diatas, maka n+1n=1∞ divergen ke ∞ 2. nn=1∞ = 1, 23,2 barisan tak terbatas diatas karena nn=1∞ barisan tak turun, maka

divergen ke-∞ 3. 3n+5n=1∞ = 8,11,14,,… tidak terbatas di atas karena 3n+5n=1∞ barisan tak turun,

maka barisan divergen ke- ∞ 4. n∞ =1,2,3,4,… tak terbatas diatas karena nn=1∞ barisan tak turun, maka barisan

divergen ke- ∞ 5. 5n∞ = 5,10,15,20,… tak terbatas diatas karena 5nn=1∞

barisan tak turun, maka

barisan divergen ke- ∞

Teorema 3. 4.9 Misalkan Xnn=1∞ adalah barisan real. Jika Xnn=1∞ barisan tak turun dan tak terbatas dibawah, maka Xnn=1∞ konvergen, Contoh: 1. 1n-2n=1∞= -1,-32,-53, …, merupakan barisan terbatas dibawah dan barisan tak naik,

maka 1n-2n=1∞ , Konvergen 2. 1nn=1∞ = 1,12,13,14,…, merupakan barisan terbatas dibawah dan barisan tak naik,

maka 1nn=1∞ , Konvergen. 3. 1n+3n=1∞ = 14,15,16,17… , merupakan barisan terbatas dibawah dan barisan tak

naik, maka 1n+3n=1∞ , Konvergen. 4. 13nn=1∞ = 13,16,19…, merupakan barisan terbatas dibawah dan barisan tak naik,

maka 13nn=1∞ , Konvergen. 5. 1n-5n=1∞ -3,-4,-133… merupakan barisan terbatas dibawah dan barisan tak naik,

maka 1n-5n=1∞ , Konvergen.

Teorema 3. 4.10

Misalkan Xnn=1∞ adalah barisan bilangan real. Jika Xnn=1∞ barisan tak naik dan tak terbatas di bawah, maka Xnn=1∞ divergen ke ∞. 1. 5-n2n=1∞ = 4,1,-4,-11,… merupakan barisan tak terbatas di bawah dan barisan tak

naik, maka 5-n2n=1∞ divergen ke ∞. 2. -2nn=1∞ = -2,-4,-6,-8, … merupakan barisan tak terbatas di bawah dan barisan tak

naik, maka -2nn=1∞ divergen ke ∞. 3. 4-2nn=1∞ = 2,0,-2, … merupakan barisan tak terbatas di bawah dan barisan tak naik,

maka 4-2nn=1∞ divergen ke ∞. 4. 2-nn=1∞ = 1,0,-1,-2, … merupakan barisan tak terbatas di bawah dan barisan tak naik,

maka 2-nn=1∞ divergen ke ∞. 5. 3-n2n=1∞ = 2,-1,-6,-13,… merupakan barisan tak terbatas di bawah dan barisan tak

naik, maka 3-n2n=1∞ divergen ke ∞.

Teorema 3.4.11 Misalkan Xnn=1∞ adalah barisan bilangan real, maka Xnn=1∞ mempunyai barisan bagian yang monoton. 1. K = 1nn=1∞ = 1,12,13,14, …merupakan barisan bilangan real, maka K mempunyai

barisan bagian yaitu X = 1n2n=1∞ =1, 14,19,116, …

yang merupakan barisan

monoton turun / tak naik 2. K = nn=1∞ = 1,2 , 3 , 2, 5 , … merupakan barisan bilangan real, maka K mempunyai

barisan bagian yaitu X = n2n=1∞ = 1, 2,3, … yang merupakan barisan monoton naik / tak turun. 3. K = n+ 1n=1∞ = 2,3,4,5,… merupakan barisan bilangan real, maka K mempunyai

barisan bagian yaitu X = n+3n=1∞ = 4,5,6,7, … yang merupakan barisan monoton naik / tak turun. 4. K = 2n+3n=1∞ = 5,7,9,11, … merupakan barisan bilangan real, maka K mempunyai

barisan bagian yaitu X = 2n+5n=1∞ = 7,9,11, … yang merupakan barisan monoton naik / tak turun.

5. K = 2n+4nn=1∞ = 6,4,103,3,145 … merupakan barisan bilangan real, maka K

mempunyai barisan bagian yaitu X = n+5nn=1∞ = 6,72,83,… yang merupakan barisan monoton turun / tak naik.