Bilangan Riil

KALKULU S JOKO CAHYONO

KALKULU S

2

SISTEM BILANGAN REAL

KLASIFIKASI BILANGAN REAL Himpunan bilangan yang paling sederhana adalah himpunan bilangan asli (N), Yaitu : 1, 2, 3, 4, 5, … Himpunan bilangan asli merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat (Z), yaitu :

… , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

Himpunan bilangan bulat merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan rasional (Q). p bilangan rasional dibentuk oleh pembagian bilangan bulat ≠ 0. Contoh :

q

1 2 −5 6 7 , , , , 2 3 6 1 5

dengan q

Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak bisa dinyatakan sebagai pembagian bilangan bulat

p . Contoh : q

3,

5,

7, 1+ 2, π 4 JOKO CAHYONO

Gabungan himpunan bilangan rasional dan irrasional adalah himpunan bilangan real (R). Didefinisikan bilangan imajiner i = − 1

sehingga i2 = -1.

Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk a + bi Contoh : 2 + 3i, 3 – 5i, 6 + 0i, -1 + 2i dengan a dan b bilangan real.

GARIS KOORDINAT -3

-2

-1

0

1

2

3

b > a dibaca b lebih besar dari a. a < b dibaca a lebih kecil dari b.

a

a ≤ b artinya a < b atau a = b. a < b < c artinya a < b dan b < c.

a

b

b

c

5 JOKO CAHYONO

TEOREM : Sifat-sifat urutan A Diberikan bilangan real p, q, r dan s. 1. Jika p < q dan q < r, maka p < r Contoh : -2 < 3 dan 3 < 6, maka -2 < 6 2. Jika p < q, maka p + r < q + r dan p – r < q – r Contoh : -4 < 5, maka (-4 + 3) < (5 + 3) dan (-4 – 3) < (5 – 3) 3. Jika p < q dan r < s, maka p + r < q + s Contoh : -9 < -2 dan 3 < 6, maka (-9 + 3) < (-2 + 6) 4. Jika p < q, maka p.r < q.r untuk r positif, dan p.r > q.r untuk r negatif Contoh : -3 < 2, maka (-3.4) < (2.4) dan (-3.(-4)) > (2. (-4)) Jika p dan q keduanya positif atau keduanya negatif, dan p < q maka 1/p > 1/q Contoh : 3 < 4 maka 1/3 > 1/4

6 JOKO CAHYONO

SELANG / INTERVAL Secara geometri selang merupakan sepotong garis pada garis koordinat. Jika a dan b bilangan real dengan a < b, maka selang tertutup dari a ke b, ditulis [a, b], Didefinisikan: [a, b] = { x : a ≤ x ≤ b } Kurung siku menunjukkan titik ujungnya termasuk dalam selang. Contoh: [-2, 4] = { x : -2 ≤ x ≤ 4 } Artinya nilai x berada diantara -2 dan 4, termasuk bilangan -2 dan 4 itu sendiri. Jika a dan b bilangan real dengan a < b, maka selang terbuka dari a ke b, ditulis (a, b), Didefinisikan: (a, b) = { x : a < x < b } 7

Kurung biasa menunjukkan titik ujungnya tidak termasuk dalam JOKO CAHYONO selang.

JENIS SELANG NO NOTASI SELANG

NOTASI HIMPUNAN

1

[a, b]

{x: a≤x≤b}

2

(a, b)

3

GAMBAR GEOMETRI a

b

{x: a<x
a

b

[a, b)

{x: a≤x
a

b

4

(a, b]

{x: a<x≤b}

a

b

5

(-∞, b]

{x: x≤b}

6

[a, +∞)

{x: x≥a}

7

(-∞, b)

{x: x
8

(a, +∞)

{x: x>a}

9

(-∞, +∞)

{ x : x bilangan real }

b

KLASIFIKASI Berhingga, tertutup Berhingga, terbuka Berhingga, setengah terbuka/ setengah tertutup

Tak hingga, tertutup

a

b

Tak hingga, terbuka

a

Tak hingga, terbuka sekaligus tertutup 8 JOKO CAHYONO

PERTIDAKSAMAA N 1.

selesaikan 2x – 5 < 7

2.

Selesaikan 6 + 7x ≥ 2x - 9 6 + 7x ≥ 2x – 9

2x – 5 < 7

7x – 2x ≥ -9 – 6

2x < 7 + 5 2x < 12

5x ≥ -15

x<6

x ≥ -3

HP : { x : x < 6 }

HP : { x : x ≥ -3 }

Notasi Selang : (-∞, 6)

Notasi Selang : [-3, +∞)

Garis Bilangan :

Garis Bilangan :

6

-3 9 JOKO CAHYONO

PERTIDAKSAMAA N 3.

Selesaikan 7 ≤ 2 – 5x < 9 7 ≤ 2 – 5x < 9 7 – 2 ≤ -5x < 9 – 2 5 ≤ -5x < 7 -1 ≥

x

> -7/5

-7/5 < x ≤ -1

Cara lain: 7 ≤ 2 – 5x < 9 merupakan kombinasi dari 7 ≤ 2 – 5x dan 2 – 5x < 9 2 – 5x < 9

7 ≤ 2 – 5x 5 ≤ -5x

-5x < 7 x > -7/5

-1 ≥ x x ≤ -1

HP : { x : x ≤ -1 dan x > -7/5}

HP : { x : -7/5 < x ≤ -1 } Notasi Selang :(-7/5, -1] Garis Bilangan : -7/5

-1

-7/5

-1

-7/5

-1

HP : { x : -7/5 < x ≤ -1 } 10 JOKO CAHYONO

PERTIDAKSAMAA N 4.

Selesaikan x2 – 3x > 10 x2 – 3x > 10 x2 – 3x – 10 > 0 (x + 2) (x – 5) > 0 x+2=0

atau

x=5

x = -2 -2

x–5=0

5

selang

Titik uji

(x+2)(x-5)

(-∞, -2)

-3

(-)(-) = +

(-2, 5)

0

(+)(-) = -

(5, +∞)

6

(+)(+) = +

+++0 - - - - - --

0 +++

-2

5

-2

5

HP : { x : x < -2 atau x > 5} Notasi Selang : (-∞, -2) υ (5, +∞) 11 JOKO CAHYONO

PERTIDAKSAMAA N 5.

Selesaikan

2x − 5 <1 x−2

x–3=0

x–2=0

x=3

x=2

2x − 5 <1 x−2 2x − 5 −1 < 0 x−2 2x − 5 x − 2 − <0 x−2 x−2

2

3

selang

Titik uji

(x-3)/(x-2)

(-∞, 2)

0

(-)/(-) = +

(2x − 5) − ( x − 2) <0 x−2

(2, 3)

2,5

(-)/(+) = -

(3, +∞)

4

(+)/(+) = +

2x − 5 − x + 2 <0 x−2

+++ - - - - - - - 0 +++

x −3 <0 x−2

2

3

2

3

HP : { x : 2 < x < 3 } Notasi Selang: (2, 3)

12 JOKO CAHYONO

LATIHAN Selesaikan pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut! 2 3 ≤ x x−4

1. 3x – 2 < 8

7.

2. 4 + 5x < 3x - 7

8. x – x – x – 2 > 0

3. 3 ≤ 4 – 2x < 7 4.

5.

x ≥ −2 8− x 3x + 1 <1 x−2

6. x2 – 9x + 20 ≤ 0

3

2

1 x + 6 ≥ 14 9. 5 10.

x −3 >1 4+x

13. x2 – 2x – 8 > 0 14. x2 + x - 12 ≤ 0 15. 2x – 1 > 11x + 9 16. x3 – 3x + 2 ≤ 0

1 2

11. -2 ≥ 3 – 8x ≥ -11

17.

3 ≤2 x −5

18.

1 3 ≤ x + 1 x −1

12. 2 – 3x + x2 ≥ 0 13 JOKO CAHYONO

NILAI MUTLAK Nilai mutlak suatu bilangan real a, dinotasikan dengan |a|, didefinisikan dengan Contoh:

|2| = 2

 a , jika a ≥ 0 a = − a , jika a < 0 |-3| = 3

PERSAMAAN NILAI MUTLAK 1. Selesaikan |x – 3| = 4 x–3=4

x – 3 = -4

x=4+3

x = -4 + 3

x=7

x = -1 14 JOKO CAHYONO

NILAI MUTLAK 2. Selesaikan |3x – 2| = |5x + 4| 3x – 2 = 5x + 4

3x – 2 = - (5x + 4) 3x – 2 = -5x – 4

3x – 5x = 4 + 2 -2x = 6

3x + 5x = -4 + 2 8x = -2

x = -3

x = - 1/4 Sifat-sifat Nilai Mutlak : 1. |p| ≥ 0

3. |p.q| = |p|.|q|

2. |-p| = |p|

4. |p/q| = |p|/|q| 15 JOKO CAHYONO

PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

1. Pertidaksamaan |x – p| < k diubah menjadi bentuk: -k < x – p < k

Pertidaksamaan |x – p| > k diubah menjadi bentuk: x – p < -k atau x – p > k Contoh: 1. Selesaikan |x + 4| ≥ 2 |x + 4| ≥ 2 ditulis menjadi x + 4 ≤ -2 atau x + 4 ≥ 2 x + 4 ≤ -2

x+4≥2

x ≤ -6

x ≥ -2

HP : { x : x ≤ -6 atau x ≥ -2 } 16 JOKO CAHYONO

PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Contoh:2. Selesaikan |x – 3| < 4 |x – 3| < 4 ditulis menjadi -4 < x – 3 < 4 -4 < x – 3 < 4 -4 + 3 < x < 4 + 3 -1 < x < 7 HP : { x : -1 < x < 7}

17 JOKO CAHYONO

PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

1 ≥5 2x − 3

3. Selesaikan

2x – 3 ≠ 0

Perhatikan bahwa

2x ≠ 3

x≠ 1 ≥5 2x − 3

2x − 3 ≤

3 2

Nilai 3/2 bukan penyelesaian

Karena 3/2 ada didalam selang 5 ≤ 7

x≤

8 5

,

maka nilai 3/2 harus diambil dari selang

1 5

tersebut. Sehingga himpunan penyelesaiannya

− 15 ≤ 2x − 3 ≤

1 5

− 15 + 3 ≤ 2x ≤ 15 + 3 14 5

≤ 2 x ≤ 165 7 5

≤x≤

8 5

menjadi 7 5

≤ x < 32 atau

Notasi selang:

3 2

< x ≤ 85

[ 75 , 32 ) ∪ ( 32 , 85 ]

Gambar geometri:

7 5

3 2

8 5

18 JOKO CAHYONO

LATIHAN 1. |6x – 2| = 7 2. |6x – 7| = |3 + 2x| 3. 2x – 7 = |x + 1|

7.

1 <2 | x −1|

8. |4x + 5| = |8x – 3| 9. |9x| - 11 = x

4

x −3 =5 x+4

10.

5.

|x – 6| < 3

11.

6.

|5 – 2x| ≥ 4

x +5 =6 2−x 1 ≥5 | 3x + 1 |

12. |3 + 2x| = 11

13.

1 2

x −1 ≥ 2

14.

|7 – x| ≤ 5

15.

3 ≥4 | 2x − 3 |

16.

2 <1 | x +3|

17.

3 ≤ |x – 2| ≤ 7

18.

|x – 3|2 – 4|x – 3| = 12

19 JOKO CAHYONO

SISTEM KOORDINAT CARTESIAN K (2, 3)

3 Kuadran II 2 1

L (-2, 1) -3

-2

-1

0 -1

Kuadran III

Kuadran I

1

2

3

Kuadran IV

-2 -3

N (3, -2)

M (-3, -3) 5

GRAFIK Grafik y = x2 – 4 Perpotongan dengan Sumbu x di : (-2, 0) dan (2, 0) Perpotongan dengan Sumbu y di : (0, -4)

x

y=x –4

(x, y)

-3

9–4=5

(-3, 5)

-2

4–4=0

(-2, 0)

-1

1 – 4 = -3

(-1, -3)

0

0 – 4 = -4

(0, -4)

1

1 – 4 = -3

(1, -3)

2

4–4=0

(2, 0)

2

4 3 2 1 -3

-2

-1

0

1

2

3

-1 -2 -3 -4

3

9–4=5

(3, 5)

20 JOKO CAHYONO

BEBERAPA GRAFIK DASAR y = x2

y=

1 x

y= x

y = x3

y=

1 x2

21 JOKO CAHYONO

GARIS & GRADIEN

g

P2 (x2, y2)

Jika garis g melalui titik P1 (x1, y1) dan

P1 (x1, y1)

y −y x 2 − x1

1 Pm2 (x gradien garis g = 2, 2y2) maka

adalah Contoh:

Garis k melalui titik (2, 9) dan titik (4, 3), maka gradien garis k:

y 2 − y1 m = x 2 − x1

= 3−9 = −6 = 4−2

2

-3

22 JOKO CAHYONO

GARIS & GRADIEN

orema: L1 dan L2 adalah dua garis yang mempunyai kemiringan m1 dan m2, maka: garis-garis tersebut sejajar jika dan hanya jika m1 = m2 garis-garis tersebut tegak lurus jika dan hanya jika m1.m2 = -1 Contoh 1: Diketahui titik A(1, 3), B(3, -1), C(-2, 5) dan D(-4, 9). tunjukkan bahwa garis AB sejajar dengan garis CD gradien garis AB : m AB =

yB − yA −1 − 3 −4 = = = -2 xB − xA 3 −1 2

gradien garis CD : m CD =

yD − yC 9−5 4 = = = -2 xD − xC − 4 − (−2) −2

jadi garis AB dan CD sejajar

23 JOKO CAHYONO

GARIS & GRADIEN

Contoh 2:

Diketahui titik A(1, 3), B(3, 7) dan C(7, 5). tunjukkan bahwa garis AB tegak lurus dengan garis BC gradien garis AB : m AB =

yB − yA xB − xA

gradien garis BC : m BC = =

5−7 7−3

4 = 2

=

−2 4

=2

= -1/2

=

7−3 3 −1

yC − yB xC − xB

mAB .mBC = 2 . (-1/2) = - 1 jadi garis AB dan BC tegak lurus 24 JOKO CAHYONO

PERSAMAAN GARIS Jika g garis melalui titik P(x1, y1) dan mempunyai gradien m, maka garis g mempunyai y – y = persamaan m(x–x 1

1

)

Contoh 1: garis g melalui titik (3, -4) dengan gradien 5 Maka persamaan garis g:

y – y1 = m ( x – x1 ) y – (-4) = 5 (x – 3) y + 4 = 5 x – 15 y = 5 x – 19 25 JOKO CAHYONO

PERSAMAAN GARIS Contoh 2: Tentukan persamaan garis k yang melalui titik (3, -4) dan (5, -8) Gradien garis k: m =

y 2 − y1 − 8 − (−4) = = x 2 − x1 5−3

−4 = -2 2

Pilih titik (3, -4) sebagai P(x1, y1) Maka persamaan garis k: y – y1 = m ( x – x1 ) y – (-4) = -2 (x – 3) y + 4 = -2 x + 6 y = -2 x + 2 26 JOKO CAHYONO

Contoh 3: Garis g melalui titik (5, -1) dan tegak lurus dengan garis y = 3x + 4. Tentukan persamaan garis g! garis y = 3x + 4 mempunyai gradien m1 = 3 Garis g mempunyai gradien (m2) :

m1 . m2 = -1 3. m2 = -1 m2 = -1/3

Maka persamaan garis g: y – y1 = m ( x – x1 ) y – (-1) = -1/3 (x – 5)

3y = - x + 2 -x + 3y + 2 = 0

y + 1 = -1/3 x + 5/3 y = -1/3 x + 2/3 27 JOKO CAHYONO

Contoh 4: Tentukan persamaan garis g yang melalui titik (-1, 4) dan sejajar dengan garis 3x – 4y + 12 = 0 ! garis 3x – 4y + 12 = 0 mempunyai gradien (m1) : 3x – 4y + 12 = 0 – 4y = -3x – 12 y = 3/4 x + 3

m1 = ¾

Garis g mempunyai gradien (m2) = m1 = ¾ Maka persamaan garis g: y – y1 = m ( x – x1 ) y – 4 = ¾ (x – (-1)) y – 4 = ¾ (x + 1)

y–4=¾x+¾ 4y – 16 = 3x + 3 -3x + 4y – 19 = 0 28 JOKO CAHYONO

GAMBAR GRAFIK Contoh: Gambarlah grafik persamaan 3x – 4y + 12 = 0 Persamaan: 3x – 4y + 12 = 0 Perpotongan dengan sumbu x: y=0

Perpotongan dengan sumbu y:

3x – 4y + 12 = 0

x=0

3x – 4y + 12 = 0

3x – 4.0 + 12 = 0

3.0 – 4y + 12 = 0

3x + 12 = 0

-4y + 12 = 0

3x = -12

-4y = -12

x = -4

y=3

Titik potong : (-4, 0)

Titik potong : (0, 3)

4 3

(0, 3)

2 1

(-4, 0) -4

-3

-2

-1 0 -1

1

2

29 JOKO CAHYONO

LATIHAN 1. Gambarkan grafik persamaan a. 2x + 5y = 15

b.

x y − =1 3 4

c. y = x2 – 2x – 2

d. y = -x2 + 2x – 5

. Tentukan persamaan garis yang sejajar dengan 3x + 2y = 5 dan melalui (-1, 2)

. Tentukan persamaan garis yang tegak lurus dengan x – 4y = 7 dan melalui (3, -4)

4. Tentukan persamaan garis yang melalui (-3, 6) dan (-2, 1)

Tentukan persamaan garis yang sejajar dengan y = 4x – 2 dan memotong sumbu y di 7

entukan persamaan garis yang tegak lurus dengan y = 5x + 9 dan memotong

mbu y di 6 7. Untuk nilai k berapakah sehingga 3x + ky = 4 a. Mempunyai gradien 2

d. Sejajar dengan garis 2x – 5y = 1

b. Melalui titik (-2, 4)

e. Tegak lurus dengan garis 4x + 3y = 2

c. Memotong sumbu y di 5

30 JOKO CAHYONO