Tugas 2 Anreal

Kelompok : Damayanti (107017000749) Muhammad Yusuf (107017000727) PMTK 5A Teorema 3.3.4

{ } { } “ Jika barisan Xn n =1 konvergen ke L. maka barisan bagian dari Xn n =1 juga ∞

∞

konvergen ke L .” Ilustrasi ∞

1 1 X =   =0 lim 3 n    3n  n → ∞ n = 1 1. memiliki maka

∞

1    3n  n =1 konvergen

∞

 1  Y =   3n + 3  n =1 merupakan barisan bagian dari X, maka ∞

∞

 1     3n + 3  n =1 juga konvergen. ∞

 n   n   n  X =      =1 lim  n + 2  n =1 memiliki n→∞  n + 2  2. maka  n + 2  n =1 konvergen ∞

∞

 n2   n2  Y = 2   2   n + 2  n =1 merupakan barisan bagian dari X, maka  n + 2  n =1 juga konvergen. ∞

 3n   3n  X =   =3 lim n + 3 n + 3     n → ∞ n = 1 3. memiliki maka

∞

 n     n + 3  n =1 konvergen

∞

∞

 3n 2   3n 2  Y = 2   2   n + 3  n =1 merupakan barisan bagian dari X, maka  n + 3  n =1 juga konvergen. ∞

∞

1 1 1 X =     =0 lim  4n  n =1 memiliki n→∞  4n  4. maka  4n  n =1 konvergen ∞

∞

 1   1  Y = 2  2  4n  n =1 merupakan barisan bagian dari X, maka  4n  n =1 juga konvergen. ∞

 2n + 1   2n + 1  2 X =   = lim  5n  n =1 memiliki n→∞  5n  5 5. ∞

 2n + 1  Y =   5n + 1  n =1 merupakan barisan bagian dari X, maka

1

∞

 2n + 1   maka  5n  n =1 konvergen ∞

 2n + 1    5n + 1  n =1 juga konvergen.

Teorema 3.4.4

{ } { } “Jika barisan bilangan real Xn n =1 konvergen, maka Xn n =1 terbatas” Ilustrasi: ∞

∞

∞

∞

 n  1 2 3   n   n    =  , , ,....     =1 lim 1.  n + 5  n =1  6 7 8  memiliki n→∞  n + 5  sehingga  n + 5  n =1 konvergen ∞

 n    dan  n + 5  n =1 memiliki batas − 1 < Xn < 1 ∞

 n2  1 4 9   2  =  , , ,.... lim n + 2  n =1  3 6 11  2.  memiliki n→∞ ∞

 n2   2   n + 2  n =1 konvergen dan

 n2   2  =1 n + 2   sehingga

∞

 n2   2   n + 2  n =1 memiliki batas − 1 < Xn < 1

∞

 n  1 2 3   n    =  , , ,....   =1 lim 3.  n + 3  n =1  4 5 6  memiliki n→∞  n + 3  sehingga ∞

 n     n + 3  n =1 konvergendan

∞

 n     n + 3  n =1 memiliki batas − 1 < Xn < 1

∞

∞

 2  1 2 1   2   2  = 0   =  , , ,....     lim 4.  n + 3  n =1  2 5 3  memiliki n→∞  n + 3  sehingga  n + 3  n =1 konvergen ∞

 2    dan  n + 3  n =1 memiliki batas − 1 < Xn < 1 ∞

 3n  3 6 9   3n    =  , , ,....   =1 lim 3 n + 1 4 7 10 3 n + 1       n → ∞ n = 1 5. memiliki sehingga

∞

 3n     3n + 1 n =1

∞

 3n    konvergen dan  3n + 1 n =1 memiliki batas − 1 < Xn < 1 Teorema 3.4.7

{ } { } “misalkan Xn n =1 adalah barisan bilangan real. jika Xn n =1 barisan tak turun dan ∞

∞

2

{ } terbatas diatas.maka Xn n =1 konvergen” ∞

Ilustrasi ∞

 4n − 1   2 7 11    =  , , ,... 1.  2n  n =1  3 4 6  merupakan barisan tak turun dan terbatas di atas dengan ∞

 4n − 1    batas 2,maka  2n  n =1 konvergen ∞

 2n   4 6    = 1, , ,... 2.  n + 1 n =1  3 4  merupakan barisan tak turun dan terbatas di atas dengan ∞

 2n    batas 2,maka  n + 1 n =1 konvergen ∞

 3n − 2   7    = 1,2, ,... 3  merupakan barisan tak turun dan terbatas di atas dengan 3.  n  n =1  ∞

 3n − 2    batas 3,maka  n  n =1 konvergen ∞

 n  1 2 3    =  , , ,... 4.  n + 1 n =1  2 3 4  merupakan barisan tak turun dan terbatas di atas dengan ∞

 n    batas 1,maka  n + 1 n =1 konvergen ∞

 3n 2   2 12 27   2  =  , , ,... n + 1  n =1  3 5 10  5.  merupakan barisan tak turun dan terbatas di atas ∞

 3n 2   2  n + 1 n =1 dengan batas 3,maka  konvergen Teorema 3.4.8

{ } { } “misalkan Xn n =1 adalah barisan bilangan real. jika Xn n =1 barisan tak turun dan ∞

∞

{ } tak terbatas diatas.maka Xn n =1 divergen ke + ∞ ” ∞

3

Ilustrasi 1.

{ 2n} ∞n =1 = { 2,4,6,...} merupakan { 2n} ∞n =1

2.

barisan tak turun dan tak

terbatas di atas maka

divergen ke + ∞

{ 3n + 3} ∞n =1 = { 6,9,15,...} merupakan barisan tak turun dan tak { 3n + 3} ∞n=1

terbatas di atas maka

divergen ke + ∞

∞

3.

n + 2  4 5    = 1, , ,...  3  n =1  3 3  merupakan barisan tak turun dan tak terbatas di atas maka ∞

n + 2    3  n =1 divergen ke + ∞ 4.

{ 5n − 1} ∞n=1 = { 4,9,14,...} merupakan barisan tak turun dan tak

terbatas di atas maka

{ 5n − 1} ∞n=1 divergen ke + ∞ ∞

5.

 3n  3 9    =  ,3, ,...  2  n =1  2 2  merupakan barisan tak turun dan tak terbatas di atas maka ∞

 3n     2  n =1 divergen ke + ∞ Teorema 3.4.9

{ } { } “misalkan Xn n =1 adalah barisan bilangan real. jika Xn n =1 barisan tak naik dan ∞

∞

{ } terbatas di bawah ,maka Xn n =1 konvergen” ∞

∞

1.

1  1 1  1 lim  2  = 0  2  = 1, , ,...  n  n =1  4 9  memiliki n→∞  n  merupakan barisan bilangan tak naik ∞

1  2 dan terbatas di bawah yaitu 0,maka  n  n =1 konvergen. ∞

2.

 n + 1  3 4   n + 1 lim    = 2, , ,...  =1  n  n =1  2 3  memiliki n→∞  n  merupakan barisan bilangan tak 4

∞

 n + 1   naik dan terbatas di bawah yaitu 1, maka  n  n =1 konvergen ∞

3.

 2n + 3   7 9   2n + 3  lim    = 5, , ,... =2 n → ∞  n  n =1  2 3  memiliki  n  merupakan barisan bilangan ∞

 2n + 3    tak naik dan terbatas di bawah yaitu 2, maka  n  n =1 konvergen ∞

4.

n + 4 5 6 7  n + 4 1 lim    =  , , ,... =  2n  n =1  2 4 6  memiliki n→∞  2n  2 merupakan barisan bilangan ∞

n + 4 1   tak naik dan terbatas di bawah yaitu 2 , maka  2n  n =1 konvergen ∞

5.

 3n + 1  7 10   3n + 1 lim    = 4, , ,... =3  n  n =1  2 3  memiliki n→∞  n  merupakan barisan bilangan ∞

 3n + 1   n   n =1 konvergen tak naik dan terbatas di bawah yaitu 3, maka Teorema 3.4.10

{ } { } “misalkan Xn n =1 adalah barisan bilangan real. jika Xn n =1 barisan tak naik dan ∞

∞

{ } tak terbatas di bawah.maka Xn n =1 divergen ke - ∞ ” ∞

Ilustrasi: 1.

{ 2 − 2n} ∞n=1 = { 0,−2,−4,...} merupakan

barisan tak naik dan tak terbatas di bawah

{ } maka 2 − 2n n =1 divergen ke − ∞ ∞

2.

{− (n )} 2

= { − 1,−4,−9,...} merupakan barisan tak naik dan tak terbatas di bawah

∞ n =1

maka {− (n )} 2

3.

{− n

2

}

+n

∞ n =1

maka {− n

2

∞ n =1

divergen ke − ∞

= { 0,−2,−6,...} merupakan barisan tak naik dan tak terbatas di bawah

}

+n

∞ n =1

divergen ke − ∞

5

4.

{ − 4n} ∞n =1 = { − 4,−8,−12,...} merupakan

barisan tak naik dan tak terbatas di bawah

{ } maka − 4n n =1 divergen ke − ∞ ∞

5.

{ − 5n + n} ∞n=1 = { − 4,−8,...} merupakan

barisan tak naik dan tak terbatas di bawah

{ } maka − 5n + n n =1 divergen ke − ∞ ∞

Teorema 3.4.11

{ } { } Misalkan Xn n =1 adalah barisan bilangan real maka Xn n =1 mempunyai barisan ∞

∞

bagian yang monoton Ilustrasi : ∞

1.

1 1 1 1  X =   =  , , ,...  2n  n =1  2 4 6  merupakan barisan bilangan real dan X monoton turun ∞

 1  1 1  Y =  2  =  , ,...  2n  n =1  2 8  merupakan barisan bagian dari X → Y monoton turun juga. ∞

2.

 n  1 2 3  X =  =  , , ,...  n + 1 n =1  2 3 4  merupakan barisan bilangan real dan X monoton naik ∞

 n2  1 4  Y = 2  =  , ,...  n + 1 n =1  2 5  merupakan barisan bagian dari X → Y monoton naik juga ∞

3.

 2n  2 6  X =  =  ,1, ,...  2 + n  n =1  3 5  merupakan barisan bilangan real dan X monoton naik ∞

 2n 2  2 8  Y = =  , ,... 2   2 + n  n =1  3 6  merupakan barisan bagian dari X → Y monoton naik juga 4.

X = { n + 3} n =1 = { 4,5,6,...} merupakan barisan bilangan real dan X monoton naik ∞

{

}

Y = n2 + 3 5.

∞ n =1

= { 4,7,...} merupakan barisan bagian dari X → Y monoton naik juga

X = { 3n} n =1 = { 3,6,9,...} merupakan barisan bilangan real dan X monoton naik ∞

6

{ }

Y = 3n 2

∞ n =1

= { 3,9,...} merupakan barisan bagian dari X → Y monoton naik juga

7