Tugas Anreal 2

TUGAS ANALISIS REAL 2 Pendidikan Matematika 5B Supriyati [107017001090] Noordiana Ulfah [107017002070] Anggia Isti Prasetyani [1070172995]

TEOREMA 3.3.4 Jika barisan konvergen ke l . .maka setiap barisan bagian dari

{ xn } ∝n=1

{ xn } ∝n =1

konvergen ke l . . Contoh : 1. Barisan

→  3 4 5  2, , , ...  2 3 4 

∝

 n + 1    n  n =1 lim n →∝

n +1 =1 n

Misal ada barisan ∝  n + 1 →  4 , 5 , 6 ,...    n  n =3  3 4 5 

Maka ∝

 n + 1    n  n =3

⊂

∝

 n + 1    n  n =1

Jadi barisan

juga memiliki ∝

 n + 1    n  n =3

lim n →∝

n +1 =1 n

2. Barisan ∝

 2n     n + 1 n =1 lim n →∝

juga

 4 3 8  → 1, , , ...  3 2 5 

2n =2 n +1 Misal ada barisan ∝  2n  →  3 , 8 , 5 ,...    n + 1  n =3  2 5 3 

Maka ∝

 2n     n + 1  n =3

⊂

∝

 2n     n + 1 n =1

Jadi barisan

juga memiki ∝

 2n     n + 1 n =3

lim n →∝

2n =2 n +1

3. Barisan ∝

1 2 3  →  , , ,... 3 5 7 

 n     2n + 1 n =1 lim n →∝

n =1 2n + 1 Misal ada barisan ∝  n  →  2 , 3 , 4 ,...   5 7 9   2n + 1  n = 3

Maka ∝

 n     2n + 1  n = 3

⊂

∝

 n     2n + 1 n =1

Jadi barisan

juga memiki ∝

 n     2n + 1  n = 3

4. Barisan

Misal ada barisan Maka Jadi barisan

lim n →∝

n =2 2n + 1

5. Barisan

Misal ada barisan Maka Jadi barisan

TEOREMA 3.4.4 Jika barisan bilangan real

konvergen, maka

{x }

∝ n n =1

Contoh : 1. Barisan

terbatas.

{x }

∝ n n =1

[konvergen] ∝

1 1 3  →  ,− ,− ,... 2 3 4 

 3 − 2n     n + 1  n =1

maka barisan tersebut terbatas di nilai -2 lim n →∝

3 − 2n = −2 n +1

2. Barisan

[konvergen] ∝

1 2 9  →  , , ,...  3 3 11 

2   n    2   n + 2  n =1

maka barisan tersebut terbatas di nilai 1

 n  = 1  2  n + 2  2

lim n →∝

3. Barisan

[konvergen] ∝

  2n    2   n + 2  n =1

2 4 6  →  , , ,...  3 6 11 

maka barisan tersebut terbatas di nilai 2 lim n →∝

 2 n  = 2  2  n + 2 

4. Barisan , maka barisan tersebut terbatas di nilai 0

5. Barisan

maka barisan tersebut terbatas di nilai 1

TEOREMA 3.4.7 Misalkan adalah barisan bilangan real. Jika

{ xn } ∝n=1

barisan tak turun dan terbatas di

{ x n } ∝n=1

atas, maka

konvergen.

{x }

∝ n n =1

Contoh : 1. Barisan ∝

 1 1  → − ,0, ,...  2 4 

n − 2    n + 1  n =1 lim n →∝

n−2 =1 n +1

Batas atas = 1, maka barisan tersebut konvergen. 2.

Barisan ∝

 2 − 1  n  2   2n + 1 n =1 2

lim n →∝

n −1 = 1 = 1 2n + 1 2 2

 1 8  → 0, , ,...  3 19 

Batas atas =

, maka barisan tersebut konvergen 1 2

3. Barisan ∝

 2n − 1    n  n =1 lim n →∝

 3 5  → 1, , ,...  2 3 

2n − 1 =2 n

Batas atas = 2, maka barisan tersebut konvergen. 4. Barisan

Batas atas = 1, maka barisan tersebut konvergen. 5. Barisan

Batas atas = 2, maka barisan tersebut konvergen.

TEOREMA 3.4.8 Misalkan adalah barisan bilangan real. Jika

{x }

barisan tak turun dan tak

{x }

∝ n n =1

∝ n n =1

terbatas di atas, maka

divergen ke

{x }

∝ n n =1

Contoh : 1. Barisan

{ 2n + 1} ∝n=1

∝

.

→ { 3,5,7,...}

, maka barisan tersebut divergen ke lim n →∝

2n + 1 = + ∝

∝

2. Barisan

→ { 6,7,8,...}

{ n + 5} ∝n=1

, maka barisan tersebut divergen ke lim n →∝

n+5 = + ∝

∝

3. Barisan ∝

 2 − 1 n    2  n =1

 3  → 0, ,4,...  2 

, maka barisan tersebut divergen ke lim n →∝

n

2

+1

2

∝

=+∝

4. Barisan maka barisan tersebut divergen ke ∝

5. maka barisan tersebut divergen ke

TEOREMA 3.4.9 Misalkan adalah barisan bilangan real. Jika

{x } bawah, maka

{x } Contoh :

∝ n n =1

konvergen. ∝ n n =1

barisan tak naik dan terbatas di

{x }

∝ n n =1

∝

1. Barisan ∝

 n + 1    2n  n =1

lim n →∝

 3 2  → 1, , ,...  4 3 

n +1 1 = 2n 2

Batas bawah =

, maka barisan tersebut konvergen. 1 2

2. Barisan ∝

 2n + 1     n + 2  n =1

lim n →∝

 5 7  → 1, , ,...  4 5 

2n + 1 2 = n+2 1

Batas bawah =

, maka barisan tersebut konvergen. 2

3. Barisan ∝

2  1 − n    2    n + 1  n =1

lim n →∝

1− n

n

2

3 4   → 0,− ,− ,...  5 5 

2

+1

= −1

Batas bawah = -1, maka barisan tersebut konvergen. 4. Barisan

Batas bawah = 1, maka barisan tersebut konvergen. 5. Barisan

Batas bawah = 1, maka barisan tersebut konvergen.

TEOREMA 3.4.10 Misalkan adalah barisan bilangan real. Jika

{ xn } ∝n=1

barisan tak naik dan tak terbatas

{ xn } ∝n=1

di bawah, maka

divergen ke -

{x }

∝ n n =1

Contoh : 1. Barisan

∝

.

→ {1,0,−1,...}

{ 2 − n} ∝n=1

, maka barisan tersebut divergen ke lim n →∝

2−n = −∝

2. Barisan

{ − 2n − 2} ∝n =1

→ { − 4,−6,−8,...}

, maka barisan tersebut divergen ke lim n →∝

2−n = −∝

3. Barisan

{ − 2n + 1} ∝n=1

∝

∝

→ { − 1,−3,−5,...}

, maka barisan tersebut divergen ke lim n →∝

−2n + 1 = − ∝

∝

4. Barisan

5. Barisan

TEOREMA 3.4.11 Misalkan adalah barisan bilangan real. Maka

{x }

∝ n n =1

yang monoton.

mempunyai barisan bagian

{x }

∝ n n =1

Contoh : 1. Barisan ∝

 3n     n  n =1

→ { 3,3,3,...}

, maka barisan tersebut mempunyai barisan bagian yang monoton. lim n →∝

3n =3 n

2. Barisan ∝

 2n     − n  n =1

→ { − 2,−2,−2,...}

, maka barisan tersebut mempunyai barisan bagian yang monoton. lim n →∝

3n =3 n

3. Barisan ∝

 2  n   2  2n  n =1 ya

1 1 1  →  , , ,... 2 2 2 

, maka barisan tersebut mempunyai barisan bagian yang monoton. 2

lim n →∝

n 2n

2

=

1 2

4. Barisan

Maka barisan tersebut mempunyai barisan bagian yang monoton. 5. Barisan

Maka barisan tersebut mempunyai barisan bagian yang monoton.