Tugas 1 Anreal

Damayanti (107017000749) Muhammad Yusuf (107017000727) Lemma 1.2.1 misalkan S ⊂ N dan S = φ maka S memiliki unsur terkecil, yaitu terdapat no ∈ S , sehingga no ≤ n , ∀n ∈S Contoh 1. Ambil sebarang S ⊂ N ,misal S = {n 2 , n ∈ N } = {1,4,9,... n} maka S memiliki unsur terkecil yaitu no = 1 sehingga 1 < 4,1 < 9,... dst 2. Ambil sebarang S ⊂ N ,misal S = {1,2,3,4} maka S memiliki unsur terkecil yaitu n0 = 1 sehingga 1 < 2,1 < 3,1 < 4 ∀n ∈S 3. Ambil sebarang

S ⊂ N ,misal

S = { 2n + 3, n ∈ N } = {5,7,9,...}

maka S

memiliki unsur terkecil yaitu no = 5 sehingga 5 < 7,5 < 9,... dst 4. Ambil sebarang

S ⊂ N ,misal S = {n 2 + 2, n ∈ N } = {3,6,11,...} maka S

memiliki unsur terkecil yaitu n0 = 3 sehingga 3 < 6,3 <11 ,.. dst 5. Ambil sebarang S ⊂ N ,misal S = {3,5,7,9} maka S memiliki unsur terkecil yaitu no = 3 sehingga 3 < 5,3 < 7,3 < 9

Lemma 1.2.2 jika x, y ∈Q dan x < y , maka z ∈Q , sehingga x < z < y Contoh: 1.

4 5 < 3 3

maka terdapat

3 4 3 5 < < ∈ Q sehingga 3 2 3 2

2.

2 3 < 7 7

maka terdapat

2 2 2 3 ∈ Q sehingga < < 5 7 5 7

3.

3 4 2 3 2 4 ∈Q sehingga < < < maka terdapat 9 17 9 17 17 17

4.

3 4 3 3 3 4 ∈Q sehingga < < < maka terdapat 17 19 17 19 19 19

5.

2 3 2 2 2 3 < ∈ Q sehingga < < maka terdapat 31 31 27 31 27 31

Lemma 1.2.3 (sifat Archimedes)jika x ∈Q maka terdapat n ∈ Z sehingga

x< n

Contoh: 1. x =

31 31 , n = 7 maka <7 5 5

2. x =

77 77 , n = 3 maka <3 31 31

3. x =

101 101 , n = 5 maka <5 21 21

4 5

4. x = , n = 1 maka 5. x =

4 <1 5

51 51 , n = 2 maka <2 41 41

Teorema 1.4.1 (sifat Archimedes)untuk setiap x, y ∈R dan x > 0 , terdapat n ∈ N sehingga nx > y Contoh : 1. x = 2,333

y = 3,111

ada n = 4

Sehingga 4(2,333 ) > 3,111 2. x = 3,625

y = 9,666

ada n = 3

Sehingga 3(3,625 ) > 9.666 3. x = 2,625

y = 3,833

ada n = 4

Sehingga 4(2,625 ) > 3,833 4. x = 2,285

y = 4,142

ada n = 5

Sehingga 5(2,285 ) > 4,142 5. x =1,857

y = 2,857

ada n = 3

Sehingga 3(1,857 ) > 2,857 Teorema 1.4.2 untuk setiap x, y ∈R dan x, y terdapat x< p< y

p ∈Q

sehingga

Contoh : 1. x = 2,625 2,625 <

29 < 3,285 9

y = 3,285

maka terdapat p ∈Q yaitu

29 9

sehingga

2. x = 2,888 2,888 <

y = 3,111

p ∈Q yaitu

terdapat

71 sehingga 21

71 < 3,111 21

3. x = 9

y =11

maka terdapat p ∈Q yaitu

4. x =1,125 1,125 <

maka

y = 2,166

19 19 < 11 sehingga 9 < 2 2

maka terdapat p ∈Q

yaitu

5 4

sehingga

5 < 2,166 4

5. x = 5,2

y = 5,3

maka terdapat p ∈Q yaitu

21 21 < 5,3 sehingga 5,2 < 4 4

Teorema 1.4.3 untuk setiap a ∈ R , a > 0 dan n ∈ N terdapat x ∈ R sehingga xn = a

Contoh: 1. a = 13

n = 3 , x n = a → x3 = 7

1. = x = 3 13 ∈ I 2. a = 17

n = 6 maka x = 6 17 ∈ I

3. a = 51

n = 3 maka x = 3 51 ∈ I

4. a = 66

n = 4 maka x = 4 66 ∈ I

5. a = 23

n = 2 maka x = 23 ∈ I