Tugas 1 Anreal

Damayanti (107017000749) Muhammad Yusuf (107017000727) Lemma 1.2.1 misalkan S ⊂ N dan S = φ maka S memiliki unsur terkecil, yaitu terdapat no ∈ S , sehingga no ≤ n , ∀n ∈ S Contoh

{

}

2 1. Ambil sebarang S ⊂ N ,misal S = n , n ∈ N = {1,4,9,...n} maka S memiliki

unsur terkecil yaitu no = 1 sehingga 1 < 4,1 < 9,...dst 2. Ambil sebarang S ⊂ N ,misal S = {1,2,3,4} maka S memiliki unsur terkecil yaitu n0 = 1 sehingga 1 < 2,1 < 3,1 < 4 ∀n ∈ S 3. Ambil sebarang

S ⊂ N ,misal S = { 2n + 3, n ∈ N } = { 5,7,9,...}

maka S

memiliki unsur terkecil yaitu no = 5 sehingga 5 < 7,5 < 9,...dst 4. Ambil sebarang

{

}

2 S ⊂ N ,misal S = n + 2, n ∈ N = { 3,6,11,...}

maka S

memiliki unsur terkecil yaitu n0 = 3 sehingga 3 < 6,3 < 11,..dst 5. Ambil sebarang S ⊂ N ,misal S = { 3,5,7,9} maka S memiliki unsur terkecil yaitu no = 3 sehingga 3 < 5,3 < 7,3 < 9

Lemma 1.2.2 jika x, y ∈ Q dan x < y , maka z ∈ Q , sehingga x < z < y Contoh: 4 5 < 1. 3 3

3 4 3 5 ∈Q < < maka terdapat 2 sehingga 3 2 3

2 3 2 2 2 3 < ∈Q < < 2. 7 7 maka terdapat 5 sehingga 7 5 7 3 4 2 3 2 4 < ∈Q < < 3. 17 17 maka terdapat 9 sehingga 17 9 17

3 4 3 3 3 4 < ∈Q < < 4. 19 19 maka terdapat 17 sehingga 19 17 19 2 3 2 2 2 3 < ∈Q < < 5. 31 31 maka terdapat 27 sehingga 31 27 31

Lemma 1.2.3 (sifat Archimedes)jika x ∈ Q maka terdapat n ∈ Z sehingga x < n Contoh: 1.

2.

3.

4.

5.

x=

31 31 ,n = 7 <7 5 maka 5

x=

77 77 ,n = 3 <3 31 maka 31

x=

101 101 ,n = 5 <5 21 maka 21

x=

4 4 ,n =1 <1 5 maka 5

x=

51 51 ,n = 2 <2 41 maka 41

Teorema 1.4.1 (sifat Archimedes)untuk setiap x, y ∈ R dan x > 0 , terdapat n∈N

sehingga nx > y

Contoh : 1. x = 2,333

y = 3,111 ada n = 4

Sehingga 4(2,333) > 3,111 2. x = 3,625

y = 9,666 ada n = 3

Sehingga 3(3,625) > 9.666 3. x = 2,625

y = 3,833 ada n = 4

Sehingga 4(2,625) > 3,833 4. x = 2,285

y = 4,142 ada n = 5

Sehingga 5( 2,285) > 4,142 5. x = 1,857

y = 2,857 ada n = 3

Sehingga 3(1,857) > 2,857 Teorema 1.4.2 untuk setiap x, y ∈ R dan x, y terdapat p ∈ Q sehingga x < p < y Contoh : 1. x = 2,625 2,625 <

y = 3,285

3. x = 9

y = 3,111

5. x = 5,2

sehingga

maka

terdapat

p ∈ Q yaitu

71 21 sehingga

71 < 3,111 21 19 19 9< < 11 y = 11 maka terdapat p ∈ Q yaitu 2 sehingga 2

4. x = 1,125 1,125 <

yaitu

29 9

29 < 3,285 9

2. x = 2,888 2,888 <

maka terdapat p ∈ Q

y = 2,166

maka terdapat p ∈ Q

yaitu

5 4

sehingga

5 < 2,166 4 21 21 5,2 < < 5,3 y = 5,3 maka terdapat p ∈ Q yaitu 4 sehingga 4

Teorema 1.4.3 untuk setiap a ∈ R , a > 0 dan n ∈ N terdapat x ∈ R sehingga

xn = a Contoh: 1. a = 13

n = 3 , xn = a → x3 = 7 3 1. = x = 13 ∈ I

2. a = 17

n = 6 maka x = 6 17 ∈ I

3. a = 51

n = 3 maka x = 3 51 ∈ I

4. a = 66

n = 4 maka x = 4 66 ∈ I

5. a = 23

n = 2 maka x = 23 ∈ I