Transformadas De Laplace Y Fourier.docx

TRANSFORMADA DE LAPLACE Y FOURIER

LAPLACE F (t)=sen t

∞

∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑒 −5𝑡 𝑑𝑡 0

∞

𝑒 𝑖𝑡 − 𝑒 −𝑖𝑡 −5𝑡 lim ∫ ( )𝑒 𝑑𝑡 𝑠→0 2𝑖 5 ∞

lim ∫ 𝑒 𝑖𝑡−5𝑡 − 𝑒 −𝑖𝑡−5𝑡 𝑑𝑡 𝑠→0

5 ∞

lim ∫ 𝑒 −𝑡 (5−𝑖) − 𝑒 −𝑡(𝑖+5) 𝑑𝑡 𝑠→0

5 ∞

∞

lim ∫ 𝑒 −𝑡 (5−1) 𝑑𝑡 − ∫ 𝑒 −𝑡 (𝑖+5) 𝑑𝑡 𝑠→0

5

5

∞

𝑒 −𝑡(5−𝑖) 𝑒 −𝑡(𝑖+5) lim( − ) ∫0 𝑠→0 (5 − 𝑖) (5 + 𝑖) 𝑒 −𝑡 (5−1) − 𝑒 −𝑡 (𝑖+5) lim 𝑠→0 5+1 1 𝑎 = 5+1 5+𝑎

F (t)=𝒆𝒕 ∞

∫ 𝑒 𝑡 𝑒 −5𝑡 𝑑𝑡 0

∞

lim ∫ 𝑒 −𝑡(5+1) 𝑑𝑡 𝑠→0

5

𝑒 −𝑡(5+1) ( ) 5+1 𝑒 −∞(5+1) 𝑒 −∞(5+1) − −1 5+1 5+1 1 5+1 𝒔𝒆𝒏𝒕

F (t)= ∞

∫ 0

𝒕

𝑓(𝑡) −5𝑡 𝑒 𝑑𝑡 𝑡 ∞

lim ∫ 𝑠→0

0

𝑓(𝑡) −5𝑡 𝑒 𝑑𝑡 𝑡

5

∞

lim ∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑜 𝑠→0

L[

0 𝑠𝑒𝑛𝑡 ] 𝑡

1

5→ 𝑢

Sent = 52 +1 L

𝑠𝑒𝑛𝑡 [ 𝑡 ] 𝑏

lim ∫ 𝑠→0

5

=

∞ 1 ∫5 𝑢2+1

𝑑𝑢

1 𝑑𝑢 𝑢2 + 1 𝑏

Lim 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑢 ∫5 0 𝑠→0

arctgb –arctg5 L[

𝑠𝑒𝑛𝑡 ] 𝑡

=

𝜋 2

− 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔5

𝒄𝒐𝒔𝒕.𝒔𝒆𝒏𝒕

F (t)=

𝒕

Cost= f (t)= Sent= G (t)= 𝑡 F (t) G (t)= ∫0 𝑓 (6) . 𝑔 (𝑡 − 6 )𝑑 6 𝑡

=∫𝑜 cos 6 . 𝑠𝑒𝑛 (𝑡 − 6 ) 𝑑6 𝑡

=∫𝑜 𝑐𝑜𝑠6. (𝑠𝑒𝑛(𝑡) cos(6) − 𝑠𝑒𝑛(6) cos(𝑡) 𝑑6) 𝑡

=∫0 𝑐𝑜𝑠 2 6 𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 𝑠𝑒𝑛(6) cos(6) cos(𝑡)𝑑6 𝑡

sent∫0 𝑐𝑜𝑠 2 (6)𝑑6 − 𝑡 1+𝑐𝑜𝑠2 6

sent ∫0

2

𝑑6 −

cos(𝑡) 𝑡 ∫0 2 𝑠𝑒𝑛(6)cos(6) 2 cos(𝑡) 𝑡 ∫0 𝑠𝑒𝑛2 (6)𝑑6 2 𝑡 𝑇

𝑡

𝑠𝑒𝑛𝑡 1 𝑐𝑜𝑠𝑡 1 (6 ∫ + 𝑠𝑒𝑛2 6 ∫ − (− cos2 6 ∫) 2 2 2 2 0

0

0

𝑠𝑒𝑛𝑡 1 𝑐𝑜𝑠𝑡 (−𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 1) [(𝑡) + (𝑠𝑒𝑛 2 𝑡)] − 2 2 4 (𝑠𝑒𝑛𝑡)𝑡 1 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 + (𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑠𝑒𝑛2 (𝑡)) + 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 − 2 4 4 4

F (t)=𝒕𝟐 𝒆𝒕 ∫ 𝑡𝑒 𝑡 𝑒 −5𝑡 0

1 5−1 𝑑 1 𝑡𝑒 𝑡 = − ( ) 𝑑5 5 − 1 1 = (5−1)2 𝑒𝑡 =

𝑑

1

= 𝑑5 ((5−1)2) 2(5 − 1) =− (5 − 1)4

FOURIER F (t)=sen t ∞

∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑒 −𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑡 −∞

∞

𝑒 𝑖𝑡 − 𝑒 −𝑖𝑡 −𝑗𝑤𝑡 lim ∫ ( )𝑒 𝑑𝑡 𝑠→0 2𝑖 5 ∞

lim ∫ 𝑒 𝑖𝑡−𝑗𝑤𝑡 − 𝑒 −𝑖𝑡−𝑗𝑤𝑡 𝑑𝑡 𝑠→0

5 ∞

lim ∫ 𝑒 −𝑡 (𝑤−1) − 𝑒 −𝑡(1+𝑤) 𝑑𝑡 𝑠→0

5 ∞

∞

lim ∫ 𝑒 −𝑡 (𝑤−1) 𝑑𝑡 − ∫ 𝑒 −𝑡 (𝑖1+𝑤) 𝑑𝑡 𝑠→0

5

5

𝜋 (𝛿(𝑤 − 1) − 𝛿(𝑤 + 1)) 𝑗