Laplace

Metode Transformasi Laplace untuk Menentukan Tegangan Keluaran pada Rangkaian Listrik

Oleh, WAHYU PRAKOSO

Kajian hari ini : •

Latar Belakang Masalah

•

Batasan Masalah

•

Pembahasan

•

Kesimpulan

Latar Belakang Masalah Sensor

Filter Display

ADC Micro Controler

Back

Batasan Masalah • Masalah yang dikaji merupakan penggunaan metode T L untuk menetukan tegangan keluaran pada rangkaian listrik. • Induktor pada rangkaian listrik diabaikan. • Rangkaian listrik yang dikaji merupakan rangkaian seri.

Back

Pembahasan : • Transformasi Laplace • Tegangan dan Arus • Menentukan tegangan keluaran

Back

Transformasi Laplace Definisi :  Suatu teknik untuk menyederhanakan permasalahan dalam suatu sistem yang mengandung masukkan dan keluaran, dengan melakukan transformasi dari suatu domain pengamatan ke domain pengamatan lain.

Definisi :

• Misalkan f (t ) merupakan sebuah fungsi yang kontinu, maka T L didefinisikan sebagai ∞

F ( s ) = L{ f ( t )} = ∫ f ( t ) e − st dt 0

Teorema Transformasi Laplace •

•

Invers

Diferensiasi  df ( t )  L  = sF ( s ) − f ( 0 )  dt  d 2 f (t)  2 df ( 0 ) ( ) ( ) L = s F s − f 0 − 2  dt dt  

f ( t ) = L { F ( s )} −1

•

Linieritas

L{ af ( t )} = aF ( s ) L{ f1 ( t ) ± f 2 ( t )} = F1 ( s ) + F2 ( s )

•

Integrasi

{

L∫

F ( s ) ∫ f ( 0) f ( t ) dt = + dt s s

}

Contoh: Solusi Persamaan Differensial Diberikan persamaan differensial sbb:

d 2 y( t ) dy ( t ) + 3 + 2 y( t ) = 5 f ( t ) 2 dt dt Dimana f(t) adalah fungsi unit step dengan kondisi awal y(0)=-1 dan y ´(0)=2. Transformasi Laplace menghasilkan:

s 2Y ( s ) − sy ( 0 ) − y´(0) + 3sY ( s ) − 3 y (0) + 2Y ( s ) = 5

1 s

5 s Y ( s ) + s − 2 + 3sY ( s ) + 3 + 2Y ( s ) = s s ( s 2 + 3s + 2)Y ( s ) = − s 2 − s + 5 2

− s2 − s + 5 Y ( s) = s ( s 2 + 3s + 2)

Invers transformasi Laplace dilakukan dengan memanipulasi penyebut (denumerator) dalam fungsi Y(s) ke dalam akar-akarnya:

− s2 − s + 5 − s2 − s + 5 Y (s) = = 2 s ( s + 3s + 2) s ( s + 1)( s + 2) Ekpansi dalam pecahan parsial,

A B C − s2 − s + 5 Y ( s) = + + = s ( s + 1) ( s + 2) s ( s + 1)( s + 2) Dimana A, B dan C adalah koefisien

A = [ sY ( s )]s =0

− s2 − s + 5 5 = = ( s + 1)( s + 2) 2

− s2 − s + 5 B = [( s + 1)Y ( s )]s = −1 = = −5 s ( s + 2) C = [( s + 2)Y ( s )]s = −2

− s2 − s + 5 3 = = s ( s + 1) 2

Persamaan Y(s) dalam bentuk pecahan parsial menjadi

Y (s) =

5 5 3 − + 2s ( s + 1) 2( s + 2)

Dengan invers transformasi Laplace (di dapat dari tabel), persamaan dalam domain waktu y(t) menjadi

5 3 − 2t −t y (t ) = − 5e + e 2 2 Dengan t≥0

Back

Tegangan dan Arus

vs (t )

Elemen Rangkaian

R

L

Satuan

Ohm

Henry

Farad

C

Tegangan

Arus

v iR = R

vR = Ri di v=L dt

1 vC = ∫ i dt + k C

i=

1 v dt + k ∫ L

ic = C

dv dt Back

Metode T L untuk menentukan tegangan keluaran pada rangkaian listrik Agar dapat menentukan tegangan keluaran pada filter, maka diperlukan suatu langkah dengan metode T L. yaitu untuk menentukan persamaan

vC (t ) Menurut hukum kirchof :

iR (t ) + iC (t ) = 0 vR (t ) dvC (t ) +c⋅ =0 R dt

vs (t )

vC (t ) − vs (t ) dvC (t ) +c⋅ =0 R dt  v (t )   v (t )   dv (t )  L C  − L s  + c ⋅ L C  = 0  R   R   dt 

vC ( s ) vs ( s ) − + c ⋅ ( svC ( s ) − vc (0)) = 0 R R

Contoh, Tentukan vC (t ) pada t = 800 milidetik Dimana :

vc (0) = 6v vs (t ) = 1v vs (t )

C =1 R =1

Maka,

vC ( s ) vs ( s) − + c ⋅ ( svC ( s ) − vc (0)) = 0 R R vC ( s ) 1 − + 1 ⋅ ( svC ( s ) − 6) = 0 1 s 1 vC ( s ) − + svC ( s) − 6 = 0 s 6s + 1 ( s + 1) vC ( s) = s 6s + 1 vC ( s ) = s( s + 1) vC (t ) = 1 + 5e −t

Untuk t =800 milidetik

v(0,8) = 1 + 5e

−0.8

= 1 + 2,247 = 3,247 V = 3247 mV

Back

Kesimpulan • Telah ditunjukkan bahwa agar tegangan pada

vC (t ) merupakan tegangan yang berasal dari sensor, maka dapat menggunakan metode T L sebagai berikut.

vC ( s ) vs ( s ) − + c ⋅ ( svC ( s ) − vc (0)) = 0 R R

• Sebagaiman dengan contoh masalah, maka tegangan yang dikeluarkan pada vC (t ) Adalah sebesar 3247 mV untuk t = 800 milidetik

TERIMA KASIH