Trabajo De Momento De Inercia

República Bolivariana De Venezuela Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior I.U.T.E.B Mantenimiento 1

Facilitador: Gabriel Matos

Integrantes: Narváez Yilianny 19.078.774 Serrano Carmen 21.264.452 Neris Vivian

20.556.760

Sánchez Meiber 19.729.553

Ciudad Bolívar, diciembre de 2009

INDICE Pág. Introducción --------------------------------------------------------------------------------------------3 Momento de inercia ----------------------------------------------------------------------------------4 Fuerzas distribuidas ---------------------------------------------------------------------------------4 Ecuaciones de momento de inercia --------------------------------------------------------5, 6 Centoide -------------------------------------------------------------------------------------------------6 Centroides de áreas ---------------------------------------------------------------------------------7 Centroides de áreas compuestas----------------------------------------------------------------8 Centroides de figuras complejas ----------------------------------------------------------------8 Pasos para calcular el momento de inercia de areas compuestas--------------8, 9 Determinación del momento de inercia de un area por integración ----------------9 Fuerzas distribuidas: momento de inercia-----------------------------------------------9, 10 Producto de inercia de un cuerpo----------------------------------------------------------11, 12 Conclusión --------------------------------------------------------------------------------------------13 Bibliografía ---------------------------------------------------------------------------------------------14

INTRODUCCIÓN

El momento de inercia es una propiedad geométrica de una superficie o área que representa la distancia de un área con respecto a un eje dado. Se define como la suma de los productos de todas las áreas elementales multiplicadas por el cuadrado de las distancias a un eje. Tiene unidades de longitud elevada a la cuatro (longitud4). Es importante para el análisis de vigas y columnas, porque el diseño del tamaño de estos elementos está relacionado con el momento de inercia, ya que el momento de inercia I define la forma apropiada que debe la sección del elemento estructural. El centroide representa el punto donde se ubica la resultante del peso de un objeto, además esta posición representa un movimiento simple de un objeto al contrario si se analiza el objeto completo donde cada punto presenta un movimiento más complejo. El centroide es proporcional a la ubicación del área asociada. Por otra parte, tenemos una medida denominada momento de inercia que no depende solamente de la ubicación del área sino de la distancia hasta un eje dado. Este trabajo se realiza con la finalidad de tener más conocimiento sobre el momento de inercia la cual se seguirá hablando del mismo.

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Momento de Inercia El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido. Fuerzas Distribuidas En ocasiones es posible que un área muy grande de un cuerpo esté sujeta a la acción de cargas distribuidas, tales como las causadas por el viento, fluidos, o simplemente el peso de¡ material soportado por la superficie de dicho cuerpo. La intensidad de estas cargas en cada punto de la superficie se define como la presión p (fuerza por unidad de área), que puede medirse en unidades de libra/pie2 o pascales (Pa) donde 1 Pa = 1 N/m2. En esta sección hablaremos del caso más común de carga de presión distribuida, la cual Presenta uniformidad a lo largo de uno de los ejes del cuerpo rectangular plano sobre el que se aplica la carga. Un ejemplo de tal carga se muestra en la figura

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Ecuaciones del momento de inercia

El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular. Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es:

Donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotación. Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

El subíndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Este concepto desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, por ejemplo, la segunda ley de Newton: tiene como equivalente para la rotación:

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Donde:

es el momento aplicado al cuerpo. es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotación y es la aceleración angular. La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es , mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es , donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación. La conservación de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservación del momento angular :

El vector momento angular, en general, no tiene la misma dirección que el vector velocidad angular . Ambos vectores tienen la misma dirección si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetría entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido también a lo largo de ese eje.

Centroide El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo. Se consideran tres casos específicos. 6

VOLUMEN: Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la localización del centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. Las formulas que resultan son: X = " x dv Y = " y dv Z = " z dv “dv " dv " dv AREA: De manera semejante, el centroide para el área superficial de un boleto, como una planca o un casco puede encontrase subdividiendo el área en elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de aérea en torno a los ejes de coordenadas a saber. X = " x dA Y = " y dA Z = " z dA “dvA " dA " dA LINEA: Si la geometría del objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la forma de una línea, la manera de encontrar su centoide es el siguiente: X = " x dL Y = " y dL Z = " z dL “dL " dL " dL Centroide de áreas Para localizar el centroide de un área nos ayuda recordar que es su posición promedio. Por ejemplo, está claro que el centroide de un área circular o rectangular se encuentra en el centro del área. Si un área tiene "simetría de espejo", su centroide se encuentra sobre el eje, y si un área es simétrica respecto a dos ejes, el centroide se encuentra en la intersección de ellos. Las coordenadas del centroide de un área A son:

Donde x y y son las coordenadas del elemento diferencial de área dA. (en el caso de centro de Masa la dA se substituye por dm, y dm =σ dA , donde σ es la densidad superficial de masa por Unidad de área), El subíndice A significa que la integración se efectúa sobre el área completa. Un área compuesta es una combinación de partes simples y es fácil determinar su centroide si se conocen los centroides de las partes.

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Centroide de áreas compuestas En gran cantidad de casos una superficie cualquiera puede ser subdividida en una serie de figuras comunes (rectángulo, triangulo, circunferencia etc...). Un área compuesta se puede subdividir en varias áreas comunes cuyas expresiones de momento de inercia sean conocidas, de manera que el momento de inercia del área compuesta es igual a la suma de los momentos de inercia de cada área común, siempre y cuando cada momento de inercia este referido al mismo. Centroide de figuras complejas Se puede considerar que la mayoría de las formas complejas están compuestas de varias

formas

simples.

Un concepto que ayuda en la localización de centroides es que si el área dispone de un eje de simetría, el centroide se localizara en dicho eje. Algunas figuras complejas cuentan con dos ejes de simetría y, por consiguiente, el centroide se localiza en la intersección de estos dos ejes. En la siguiente figura se muestran ejemplos donde ocurre esto. En los casos en que no hay ejes de simetría, se usa el método de las áreas compuestas para localizar el centroide. Por ejemplo, considerando la siguiente figura:

Pasos para calcular el momento de inercia de áreas compuestas 1. Dividir el área compuesta en varias partes que sean simples 2. Determinar las áreas de las partes, designarlas por

.

3. Determinar las coordenadas del centro de masas de estas partes respecto a los ejes X e Y. Y calcular el cdm formada por todas las áreas parciales anteriores. 8

con

de toda la figura

4. Calcular las distancias de los cdm de cada área respecto al cdm total de la figura. 5. Calcular los momentos de inercia de las partes respecto a sus ejes de centro de masas (que serán paralelos a x e y). Designar como: Ii, x e Ii, y, para el área i-ésima. 6. Calcular el momento de inercia de cada parte respecto a los ejes x e y aplicando el teorema del eje paralelo, es decir, el teorema de Steiner: y 7. Calcular los momentos de inercia del área compuesta a partir de los

e Determinación del momento de inercia de un área por integración. En la sección anterior definimos el momento de segundo orden, o momento de inercia. de una área A con respecto al eje x. De manera similar el momento de inercia Iy. del área A con respecto al eje y, se define como: Ix = " y2 dA Iy = " x2 dA

dIx = y2dA dIy = x2dA Fuerzas distribuidas: Momentos de inercia Estas integrales que se conocen como los momentos rectangulares de inercia del área A, pueden calcularse fácilmente si se escoge para dA una franja angosta paralela a uno de los ejes coordenados. Para calcular Ix, escogemos una franja paralela al eje x, tal que todos los puntos que la componen estén a la misma distancia y del eje x (figura 9.3b); el momento de inercia dIx de la franja se obtiene, entonces, multiplicando el área dA de la franja por y2. Para calcular Iy, la franja se escoge paralela al eje y tal que todos los puntos que la forman estén a la misma distancia x del eje y (figura 9.3c); el momento de inercia dIy de la franja es x2dA.

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dx dIy = x2dA

Momento de inercia de un área rectangular. Como ejemplo. Deter- minaremos el momento de inercia de un rectángulo con respecto a su base (figura 9.4). Dividiendo el rectángulo en franjas paralelas al eje x. obtenemos dA = b dy dlz = y2b dy lx = by2 dy = 1/3bh3 (9.2) Cálculo de Ix e Iy de las mismas franjas elementales. La fórmula que acabamos de derivar puede usarse para determinar el momento de inercia dlx con respecto al eje x de una franja rectangular paralela al eje y. tal como la mostrada en la figura 9.3c. Haciendo b = dx y h=y en la fórmula (9.2), escribimos dIx = 1/3y3 dx Por otra parte se tiene dIy = x2 dA = x2y dx Por lo tanto, se puede utilizar el mismo elemento para calcular los momentos de inercia Ix e Iy de un área dada en la siguiente figura.

dx dIx = 1/3y3 dx dIy = x2y dx

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Producto De Inercia De Un Cuerpo El momento de inercia es la medida en la que un cuerpo rígido se opone a cambios de movimiento. Es el análogo rotacional de la masa en el movimiento lineal, pero en este caso el momento de inercia depende de la geometría del cuerpo, de su distribución de masa, y del punto para el cual se lo calcule. En un sistema de partículas, el momento de inercia se define matemáticamente como: I = Σ m r^2 Es decir, es la suma total del producto de la masa de cada partícula multiplicada por el cuadrado de la distancia al eje de giro. Tener en cuenta que si el sistema no está fijado a ningún punto, entonces todos son posibles puntos de giro. Por lo tanto el cuerpo no tiene un solo momento de inercia, sino uno para cada punto posible de giro. Al aplicar fuerza sobre un extremo el sistema girara sobre el punto que tiene menor momento de inercia. Si el sistema tiene fijado un punto de giro, obviamente solo podra girar sobre dicho punto. Ahora para un cuerpo continuo, que no es más que una extensión del sistema de partículas a un campo continuo, el momento de inercia se escribe matemáticamente como: I = ∫ r^2 dm (volumétrica) Es decir, el momento de inercia se calcula como la integral volumétrica de la distancia al centro de giro al cuadrado, por diferencial de masa.

Todo lo dicho anteriormente para el sistema de partículas sirve para el cuerpo continuo. Este tiene infinitos puntos posibles de giro (no estando ligado), y ante la aplicación de una fuerza girara sobre aquel punto con menor momento de inercia.

La ultima definición, que muestra la analogía entre la masa (del movimiento lineal) y el momento de inercia (del movimiento rotacional), es la 2da ley de Newton (ley de masa), y su análoga rotacional: F = m*a (2da Ley de Newton lineal) τ = I*α (2da ley de Newton rotacional)

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La primera te dice que al aplicar una fuerza, la aceleración lineal será directamente proporcional a esa fuerza, e inversamente proporcional a la masa del cuerpo, mientras que la segunda te dice que al aplicar un momento respecto de cierto punto de giro, la aceleración angular será directamente proporcional a ese torque, e inversamente proporcional al momento de inercia del cuerpo respecto de ese punto.

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CONCLUSIÓN En conclusión podemos decir que el momento de inercia MOI , es similar a la inercia, excepto en que se aplica a la rotación más que al movimiento lineal. La inercia es la tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar moviéndose en línea recta a la misma velocidad. La inercia puede pensarse como una nueva definición de la masa. El momento de inercia es, entonces, masa rotacional. Al contrario que la inercia, el MOI también depende de la distribución de masa en un objeto. Cuanto más lejos está la masa del centro de rotación, mayor es el momento de inercia. Se necesitan tres ejes de referencia para definir el centro de gravedad, pero sólo se necesita un eje para definir el momento de inercia. Aunque cualquier eje puede ser de referencia, es deseable seleccionar los ejes de rotación del objeto como referencia. Si el objeto está montado sobre soportes, el eje está definido por la línea central de los soportes. Si el objeto vuela en el espacio, entonces este eje es un "eje principal" (ejes que pasan por el Cg y están orientado de forma que el producto de inercia alrededor de ese eje es cero). Si el eje de referencia se va a utilizar para calcular el momento de inercia de la forma compleja, se debe elegir un eje de simetría para simplificar el cálculo. Este eje puede ser trasladado, más tarde, a otro eje si se desea, utilizando las reglas descritas en el apartado.

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BIBLIOGRAFIA

www.wikipedia.com www.monografia.com www.wuikiole.com

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