Momento De Inercia

REPÙBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCIÒN UNIVERSITARIA INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGIA DEL ESTADO BOLIVAR PNF: MANTENIMIENTO SECCION: IIMatto – 1M

Profesor: Gabriel Mato

Bachilleres: Marquina Brisneila Carias Yurbis Bonalde Angel Gomez Jenny

Ciudad Bolívar, diciembre de 2009

Índice Pág. Introducción………………………………………………………….3 Momento de inercia en áreas planas……………………………..4 Teorema de las figuras planas……………………………………4-8 Fuerzas distribuidas: Momento de inercia………………………8-11 Centroide…………………………………………………………….11-23 Ejercicios……………………………………………………………..24-26 Conclusión…………………………………………………………..27 Bibliografía…………………………………………………………..28

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Introducción

La inercia es la propiedad de la materia que hace que ésta resista a cualquier cambio en su movimiento, ya sea de dirección o de velocidad. Esta propiedad se describe con precisión en la primera ley del movimiento del científico británico Isaac Newton, que dice lo siguiente: un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un objeto en movimiento tiende a continuar moviéndose en línea recta, a no ser que actúe sobre ellos una fuerza externa. El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.

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Momento de inercia en áreas planas.

Momento de inercia en áreas planas, es el tema que se trata a continuación, con ayuda de textos de ciencias e ilustraciones nos concentraremos en detallar la idea de la investigación. Las causas de investigación son la práctica y el dominio de dicho tema para bien. Nuestros objetivos son describir al lector en su mayoría universitarios los conceptos y utilidades del momento de inercia, dando a conocer sus formulas principales y como poder utilizarlas en algún ejercicio propuesto, describiremos por igual algunos otros temas que ayudan a fortalecer el concepto general.

Teorema de las figuras planas o de los ejes perpendiculares. El momento de inercia de una figura plana respecto a un eje perpendicular a la figura es igual a la suma de los momentos de inercia de dos ejes que estén contenidos en el plano de la figura, corten al eje perpendicular y sean todos perpendiculares entre si.

Es

decir,

que

. Este teorema nos sirve, por ejemplo, para calcular fácilmente el momento de inercia de un anillo. Respecto al eje que pasa por el centro del anillo, como toda la masa está situada a la misma distancia tenemos que su momento de 4

inercia

será

de

. Además como el anillo tiene mucha simetría el momento de inercia de un eje que esté contenido en el plano del anillo será igual al de otro eje también contenido en el plano pero perpendicular al eje anterior, ya que el anillo ``se ve igual''.

Si

llamamos

a

este

otro

momento

poniendo de plano, tendremos que:

El teorema de los ejes perpendiculares sólo se aplica a las figuras planas y permite relacionar el momento perpendicular al plano de la figura con los momentos de otros dos ejes contenidos en el plano de la figura. MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA.

Considere una viga de sección transversal uniforme la cual está sometida a dos pares iguales y opuestos que están aplicados en cada uno de los extremos de la viga. Se dice que una viga en tales condiciones está en “flexión pura” y en la mecánica de materiales se demuestra que en las fuerzas internas en cualquier sección de la viga son fuerzas distribuidas cuyas magnitudes varían linealmente con la distancia y que hay entre el elemento de área y un eje que

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pasa a través del centroide de la sección. Dicho eje representado por x, se conoce como el “eje neutro”. Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas de compresión, mientras que las fuerzas en el otro lado son fuerzas de tensión; sobre el propio eje neutro de las fuerzas son iguales a cero. La magnitud de la resultante R de las fuerzas elementales

F que actúan

sobre toda la sección está dada por la fórmula:

La última integral obtenida se conoce como el primer momento Qx de la sección con respecto del eje x; dicha cantidad es igual a YA y por lo tanto, es igual a cero puesto que el centroide de la sección está localizado sobre el eje x. Por consiguiente el sistema de fuerzas F se reduce a un par. La magnitud m de dicho par debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = Ky2 A de las fuerzas elementales. Integrando sobre toda la sección se obtiene:

La última integral se conoce como segundo momento o momento de inercia, de la sección de la viga con respecto del eje x y se representa con Ix. El segundo momento se obtiene multiplicando cada elemento de área dA por el cuadrado de su distancia desde el eje x e integrándolo sobre la sección de la viga. Como cada producto y2 dA es positivo, sin importar el signo de y, o cero, la integral Ix siempre será positiva. Otro ejemplo de un segundo momento, o momento de inercia de un área lo proporciona el siguiente problema de hidrostática:

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Una compuerta circular vertical utilizada para cerrar el escurridero de un gran depósito está sumergida bajo agua como muestra la figura. ¿Cuál es la resultante de las fuerzas ejercidas por el agua sobre la compuerta y cual es el momento de la resultante con respecto de la línea de intersección del plano de la compuerta y la superficie del agua (eje x)?. Si la compuerta fuera rectangular, la resultante de las fuerzas de presión se podría determinar a partir de la curva de presión tal y como se hizo en los capítulos anteriores. Sin embargo puesto que la compuerta es circular, se debe utilizar un método más general. Representado por y la profundidad de un elemento de área A y por el ángulo gamma al peso específico del agua, la presión en el elemento es p = y la magnitud de la fuerza elemental ejercida sobre A es F = pA =yA. Por lo tanto, la magnitud de la resultante de las fuerzas elementales está dada por:

Y puede obtenerse el primer momento QX = ydA del área de la compuerta con respecto del eje x. El momento Mx de la resultante debe ser igual a la suma de

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los momentos Mx = yF = y2 A de las fuerzas elementales. Integrando sobre el área de la compuerta, se tiene que Aquí, nuevamente, la integral obtenida representa el segundo momento o momento de inercia, Ix del área con respecto del eje x.

Determinación del momento de inercia de un área por integración. En la sección anterior definimos el momento de segundo orden, o momento de inercia de un área A con respecto al eje x. De manera similar el momento de inercia Iy del área A con respecto al eje y, se define como: Ix = " y2 dA Iy = " x2 dA

dIx = y2dA dIy = x2dA Fuerzas distribuidas: Momentos de inercia. Estas integrales que se conocen como los momentos rectangulares de inercia del área A, pueden calcularse fácilmente si se escoge para dA una franja angosta paralela a uno de los ejes coordenados. Para calcular Ix, escogemos una franja paralela al eje x, tal que todos los puntos que la componen estén a la misma distancia y del eje x; el momento de inercia dIx de la franja se obtiene, entonces, multiplicando el área dA de la franja por y2. Para calcular Iy, la franja se escoge paralela al eje y tal que todos los puntos que la forman estén a la misma distancia x del eje y; el momento de inercia dIy de la franja es x2dA.

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Dx dIy = x2dA Momento de inercia de un área rectangular. Como ejemplo determinaremos el momento de inercia de un rectángulo con respecto a su base. Dividiendo el rectángulo en franjas paralelas al eje x. Obtenemos: dA = b dy dlz = y2b dy lx = by2 dy = 1/3bh3

Cálculo de Ix e Iy de las mismas franjas elementales. La fórmula que acabamos de derivar puede usarse para determinar el momento de inercia dlx con respecto al eje x de una franja rectangular paralela al eje y. tal como la mostrada en la figura. Haciendo b = dx y h=y, escribimos: dIx = 1/3y3 dx Por otra parte se tiene: dIy = x2 dA = x2y dx Por lo tanto, se puede utilizar el mismo elemento para calcular los momentos de inercia Ix e Iy de un área dada en la siguiente figura:

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Dx dIx = 1/3y3 dx dIy = x2y dx RADIO DE GIRO DE UN ÁREA. "El radio de giro de un objeto, respecto de un eje que pasa a través del CG, es la distancia desde el eje en el cual se puede concentrar toda la masa del objeto sin cambiar su momento de inercia. El radio de giro es siempre medido desde el CG." Considérese un área A que tiene un momento de inercia IX, con respecto del eje x. Imagínese que se ha concentrado esta área en una tira delgada paralela al eje x). Si el área A, concentrada de esta forma, debe tener el mismo momento de inercia con respecto del eje x, la tira debe ser colocada a una distancia kx, a partir del eje x, donde k., está definida por la relación: Ix = kx2 Resolviendo para kx, se escribe:

Se hace referencia a la distancia kx, como el radio de giro del área con respecto del eje x. En una forma similar, se pueden definir los radios de giro ky. Y ko; así, se escribe: -

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MOMENTOS DE INERCIA PARA UNA AREA POR INTEGRACION Cuando las fronteras de un área plana pueden expresarse mediante funciones matemáticas, las ecuaciones (1 a) pueden integrarse para determinar los momentos de inercia para el área. Si el elemento de área escogido para la integración tiene un tamaño diferencial en dos direcciones, debe efectuarse una doble integración para evaluar el momento de inercia.

CENTROIDE El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo. Se consideran tres casos específicos. VOLUMEN. Si un objeto se subdivide en elementos de volumen dv, la localización del centroide para el volumen del objeto se puede determinar calculando los momentos de los elementos en torno a los ejes de coordenadas. Las formulas que resultan son: X = " x dv Y = " y dv Z = " z dv “dv " dv " dv AREA. De manera semejante, el centroide para el área para el área superficial de un boleto, como una placa o un casco puede encontrase subdividiendo el

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área en elementos diferentes dA y calculando los momentos de estos elementos de aérea en torno a los ejes de coordenadas a saber. X = " x dA Y = " y dA Z = " z dA “dvA " dA " dA LINEA. Si la geometría del objeto tal como una barra delgada un alambre, toma la forma de una línea, la manera de encontrar su centoide es el siguiente: X = " x dL Y = " y dL Z = " z dL "dL " dL " dL

Centroide de áreas Para localizar el centroide de un área nos ayuda recordar que es su posición promedio. Por ejemplo, está claro que el centroide de un área circular o rectangular se encuentra en el centro del área. Si un área tiene "simetría de espejo", su centroide se encuentra sobre el eje, y si un área es simétrica respecto a dos ejes, el centroide se encuentra en la intersección de ellos. Las coordenadas del centroide de un área A son:

Donde x y y son las coordenadas del elemento diferencial de área dA. (en el caso de centro de masa la dA se substituye por dm, y dm =σ dA , donde σ es la densidad superficial de masa por unidad de área ), El subíndice A significa que la integración se efectúa sobre el área completa. Un área compuesta es una

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combinación de partes simples y es fácil determinar su centroide si se conocen los centroides de las partes. Las coordenadas x, y del área compuesta son: Se pueden usar las mismas ecuaciones para determinar los centroides de las áreas compuestas que contengan agujeros, tratando éstos como áreas negativas.

Centroide de volúmenes. Considerando un volumen V y dV un elemento diferencial de V con coordenadas, x, y z. (para el centro de masa dV se substituye por dm y dm = p dV, donde p es la densidad volumétrica de masa por unidad de volumen) Por analogía con las ecuaciones (1) y (2) , las coordenadas del centroide de V son:

El subíndice v en la integral significa que la integral se lleva a cabo sobre el volumen completo.

Centroide de líneas para cuerpos homogéneos con densidad constante. Comencemos con la idea común de una posición promedio. Si queremos determinar la posición promedio de un grupo de estudiantes en un aula, primero establecemos un sistema coordenado para poder expresar la posición de cada estudiante. y alineamos los ejes con las paredes. Luego, numeramos a los estudiantes del 1 al N y denotamos la posición del estudiante 1 con x1 , Y1 , etc.Las coordenadas promedio de x y de y son las sumas de sus coordenadas x o y dividida entre N, es decir:

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Supongamos ahora que repartimos entre los estudiantes cierto número de monedas C ¡¿cuál será la posición promedio de las monedas en el aula? Para determinar la coordenada x o y de la posición promedio de las monedas, necesitamos sumar las coordenadas de x o de y de las monedas y dividirlas entre el número de monedas, es decir:

Las ecuaciones anteriores sirven para calcular la posición promedio de cualquier conjunto de cantidades a las que podamos asociar posiciones. Una posición promedio obtenida de dichas ecuaciones se denomina "posición de peso ponderado" o Centroide. Los centroides coinciden con los centros de masa en clases particulares de cuerpos, pero también surgen en muchas otras aplicaciones. Las coordenadas del centroide de una línea L son:

Donde dL es una longitud diferencial de la línea de coordenadas x, y y z. El centro de masa de un cuerpo es el centroide de su masa:

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Donde x, y z son las coordenadas del elemento diferencial de masa dm (dm = λ di, donde λ es la densidad lineal de masa por unidad de longitud y di es la diferencial de longitud). Los subíndices m indican que la integración se debe efectuar sobre la masa completa del cuerpo.

Fuerzas distribuidas de centroide

Una fuerza distribuida viene medida en cada punto por su intensidad. Así, una fuerza distribuida sobre una superficie recibe el nombre de presión o esfuerzo y se mide como fuerza por unidad de superficie sobre la cual actúa. La unidad básica para la presión o esfuerzo es el newton por metro cuadrado (N/m2), llamada también un pascal (Pa). Esta unidad es sin embargo demasiado pequeña para la mayoría de las aplicaciones y, resultan más útiles los múltiples kilo-pascal (kPa) igual a 1000 Pa, y el mega pascal (MPa) igual a 1000 kPa. Otra unidad de presión o esfuerzo aceptada es el bar. (b) igual a 105 Pa o 102 kPa. La palabra presión suele emplearse para designar la intensidad de fuerza distribuida debida a la acción de fluidos, mientras que la palabra esfuerzo se emplea más generalmente para designar la fuerza distribuida interiormente en los sólidos, Las fuerzas distribuidas sobre el volumen de los cuerpos reciben el nombre de fuerzas másicas y se miden como fuerzas por unidad de volumen (N/m3) o por unidad de masa (N/kg). Cuando la fuerza másica se debe a la atracción de la gravedad, la intensidad se escribe ñg, donde ñ representa el peso específico (peso por unidad de volumen) y g la aceleración de la gravedad. La unidad de ñg es, pues (kg/m3)(m/s2) =(N/m3). En este tema se describen los sistemas equivalentes y el equilibrio de diversos sistemas de fuerzas distribuidas. Los problemas de este tipo contienen siempre una variación continua en la región que se considera, por lo que la herramienta analítica adecuada es el Cálculo Infinitesimal. Centro de gravedad; centro de masa. La fuerza distribuida más conocida es la fuerza de atracción de la Tierra. Esta fuerza másica se distribuye por todas 15

las partes de todos los objetos situados en el campo de influencia de la Tierra. La resultante de esta distribución de fuerza másica se conoce con el nombre de peso del cuerpo, y es necesario determinar su magnitud y posición en el caso de cuerpos cuyo peso sea apreciable. Consideremos un cuerpo tridimensional de tamaño, forma y peso cualesquiera. Sí se le suspende, como se indica en la figura 50, de un punto cualquiera tal como el A mediante una cuerda, el cuerpo se hallará en equilibrio bajo la acción de la tensión de la cuerda y la resultante de las fuerzas másicas o de gravedad que actúan sobre sus partículas. Es evidente que esta resultante tendrá, por línea de acción la recta definida por la cuerda, y se supondrá que puede señalarse su posición, por ejemplo, practicando en el cuerpo un hueco de tamaño espreciable a lo largo de su línea de acción. Se repite este experimente suspendiendo el cuerpo por otros puntos tales como el B y el C, y en todos los casos se marca la línea de acción de la resultante. Para todos los fines prácticos estas líneas de acción concurrirán en un punto al que se da el nombre de centro de gravedad o centro de masa del cuerpo. No obstante, un análisis preciso tendría en cuenta el hecho de que las direcciones de las, fuerzas de gravedad correspondientes a las distintas partículas que constituyen el cuerpo

Figura 50

Figura 51ª

Figura 51b

Son ligeramente diferentes a causa del hecho de que convergen hacia el centro de atracción de la Tierra. Además, como las partículas se hallan a diferentes distancias de la Tierra, la intensidad del campo de fuerzas de la Tierra no se

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mantiene exactamente constante sobre todo el cuerpo. Estas consideraciones llevan a la conclusión de que las líneas de acción de las resultantes de las fuerzas de gravedad, en los experimentos antes mencionados, no serán exactamente concurrentes y por tanto no existirá, en el sentido exacto, un centro de gravedad. Esta condición carece de importancia práctica mientras se trate con cuerpos cuyas dimensiones sean pequeñas frente a las de la Tierra. Por tanto, se supondrá un campo uniforme de fuerzas (paralelas) debido a la atracción gravitatoria terrestre y esta condición da como resultado el concepto de un centro de gravedad único. Para determinar matemáticamente la posición del centro de gravedad G de un cuerpo cualquiera, figura 5la, deberá escribirse una ecuación que establezca, por el teorema de Varignon, que el momento respecto a un eje de la resultante F de las fuerzas de gravedad es igual a la suma de los momentos respecto al mismo eje de las fuerzas de gravedad dP que se ejercen sobre todas las partículas consideradas como elementos infinitesimales del cuerpo. La resultante de las fuerzas de gravedad que se ejercen sobre todos los elementos es el peso del cuerpo y viene dado por la suma P = òdP. Si se aplica el principio de los momentos respecto al eje y, por ejemplo, el momento respecto a este eje del, peso elemental será x dP y la suma de dichos momentos para todos los elementos del cuerpo es ò x dP El numerador de cada expresión representa la suma de momentos y el producto de P por la coordenada correspondiente de G representa el momento de la suma. La tercera ecuación se obtiene girando el cuerpo y el sistema de referencia 90° alrededor de un eje horizontal de manera que el eje z quede horizontal. Las ecuaciones pueden expresarse en forma vectorial con ayuda de la figura 51b, en donde la masa elemental y el centro de gravedad G están localizados por sus vectores de posición respectivos r = iˆx + ˆjy + kˆz y r = ix + jˆy + kˆz. Así, las ecuaciones de la masa han sustituido al peso en virtud de la relación P = mg. Esta segunda ecuación define la posición del centro de masa, que coincide, evidentemente, con el centro de gravedad mientras el campo de la gravedad 17

pueda considerarse uniforme y paralelo. Carece de sentido hablar de centro de gravedad de un cuerpo que, se saque del campo gravitatorio terrestre, ya que sobre dicho cuerpo no se ejercerían fuerzas de gravedad. En cambio, seguiría teniendo su centro de masa único. Es totalmente adecuado utilizar el término centro de gravedad siempre que se haga referencia al efecto de las fuerzas de la gravedad sobre un cuerpo, En cambio, el término centro de masa se utiliza más adecuadamente cuando se hace referencia a la influencia de la distribución de la masa sobre la respuesta dinámica de un cuerpo a fuerzas no equilibradas. Esta clase de problemas se estudiará detenidamente en la mecánica que estudia la dinámica de los cuerpos. En la mayoría de los problemas se podrán simplificar los cálculos del centro de gravedad mediante una elección inteligente de los ejes de referencia. En general, los ejes se deberán colocar de manera que simplifiquen todo lo posible las ecuaciones de los contornos. Así, las coordenadas polares simplificarán, en general, aquellos problemas que tengan contornos circulares. Otro indicio importante surgirá de las cuestiones de simetría. Siempre que exista un eje o un plano de simetría, con él deberá hacerse coincidir un eje o plano coordenada. El centro de gravedad se hallará siempre sobre dicho eje o plano, ya que los momentos debidos a elementos situados simétricamente se compensarán y el cuerpo, podrá considerarse constituido por pares de elementos de este tipo. Así, el eje de un cono recto de revolución es un tal eje de simetría y el plano central vertical en la dirección de popa a proa del casco de un buque es un tal plano de simetría. Es importante la elección adecuada del elemento diferencial para el proceso de integración. Siempre que sea posible se tomará un elemento diferencial de primer orden de manera que pueda cubrirse toda la figura con una sola integración. Independientemente del elemento del centro de gravedad del elemento. Cuando no convenga un elemento de primer orden, se tomará una cantidad de segundo orden preferentemente a una de tercero. Como ejemplo de estas observaciones, consideremos el cálculo del centro de gravedad de un cono recto de revolución. Podría tomarse un elemento dx dy dz y realizar una triple integración. El proceso seria relativamente laborioso. Por otra parte, si se tomara un elemento de primer orden definido por una rebanada cilíndrica 18

coaxial de altura diferencial, sólo se requería una integración simple, desplazando el elemento desde el vértice hasta la base. Otras consideraciones acerca de la selección del elemento y los límites de integración se verán mejor con ejemplos reales. El peso específico y de un cuerpo es su peso por unidad de volumen. Así pues, el peso de un elemento diferencial de volumen dV será dP = g dV . En el caso en que ã no sea, constante en todo el cuerpo pero pueda expresarse como función de las coordenadas de sus puntos, será necesario tener en cuenta dicha variación en el cálculo de los numeradores y denominadores de las ecuaciones.

Centroides de líneas, superficies y volúmenes. Siempre que el peso específico y de un cuerpo tenga el mismo valor en todos sus puntos, será un factor constante existente en los numeradores y denominadores de las ecuaciones anteriores y por lo tanto se suprimirá. Las expresiones definen entonces una propiedad puramente geométrica del cuerpo, ya que no hay referencia alguna a sus propiedades físicas. Cuando el cálculo se refiera solamente a una forma geométrica se utiliza el término centroide. Cuando se hable de un cuerpo físico real, se utilizará el término centro de gravedad o centro de masa. Sí el peso específico es el mismo en todos los puntos, las posiciones del centroide y del centro de gravedad coinciden, mientras que si el peso específico varía de unos puntos a otros, aquellos no coincidirán, en general. En el caso de una varilla delgada o un alambre de longitud L, sección recta de área A y peso específico ã (fig. 52a), el cuerpo puede aproximarse a un segmento de línea y dP = g A dL . Sí ã y A son constantes a lo largo de la varilla, las coordenadas del centro de gravedad coincidirán con las del centroide C del segmento de, línea, las cuales, según las ecuaciones, en general, el centroide no será un punto de la línea. Si la varilla se encuentra en un solo plano, que se puede considerar como plano x-y, sólo se precisará de dos coordenadas en el cálculo. Cuando un cuerpo de peso específico y tenga un grosor pequeño t y pueda aproximarse a una superficie de área A (figura 52b), se tendrá dP = g t dA. También ahora, sí ã y t son constantes en toda la superficie, las coordenadas 19

del centro de gravedad del cuerpo coincidirán con las del centroide C de la superficie y se podrá escribir, en virtud de las ecuaciones. Si la superficie es curva, como se indica en la figura 52b mediante el segmento de cáscara, intervendrán las tres coordenadas, El centroide C de la superficie curva tampoco se hallará, en general, sobre ella. Si la superficie fuese plana, tomando su plano como plano x-y, por ejemplo, sólo serían incógnitas las coordenadas en dicho plano. En el caso general de un cuerpo de volumen V y peso específico ã, el elemento tendrá un peso dP = g dV . El peso específico ã desaparecerá de las ecuaciones si es constante en todo el volumen y las coordenadas del centro de gravedad serán las del centroide C del cuerpo. De las ecuaciones

Figura 52ª

Figura 52b

Figuras y cuerpos compuestos; aproximaciones. Cuando un cuerpo o figura pueda dividirse convenientemente en varias partes de forma sencilla, se podrá utilizar el teorema de Varignon si se trata cada parte como un elemento finito del conjunto. Así, para un cuerpo cuyas distintas partes pesen P1, P2, P3, ... y cuyas correspondientes coordenadas de los respectivos centros de gravedad de dichas partes, por ejemplo, en la dirección x sean x1 , x2 , x3 ,..., el principio de los momentos da: (P1 + P2 + P3 +...)X = P1 x1 + P2 x 2 + P3 x3 +...., donde X es la coordenada x del centro de gravedad del conjunto. Para las coordenadas correspondientes a las otras dos direcciones se tendrán expresiones análogas. Para líneas, superficies y volúmenes compuestos se cumplirán relaciones análogas en las que las P estarán sustituidas por L, A y V, respectivamente. Hagamos notar que si se considerara como una de las partes componentes un

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orificio o cavidad, el peso o área correspondiente representado por la cavidad u orificio se considerará como cantidad negativa. En la práctica, los límites de una superficie o volumen no pueden expresarse, Frecuentemente, en función de formas geométricas sencillas o según formas que puedan representarse matemáticamente. En tales casos es necesario recurrir a algún método de aproximación. Consideremos el problema de localizar el centroide C de la superficie irregular representada en la figura 53. La superficie puede descomponerse en franjas de anchura Äx y altura h variable. El área A de cada franja, tal como la sombreada, se multiplica por las coordenadas x e y de su centroide para obtener los momentos del elemento de superficie. La suma de los momentos de todas las franjas dividida por el área total de éstas dará la componente centroidal correspondiente. La tabulación sistemática de los resultados permitirá una evaluación ordenada del área total A, de las sumas Ax y Ay y los resultados Figura 53

Figura 53

Se aumentará la precisión de la aproximación haciendo más estrechas las franjas que se empleen. En todos los casos se estimará la altura media de la franja al aproximar las áreas. Aun cuando suele ser conveniente emplear elementos de anchura constante, no es necesario hacerlo. En realidad, podrán emplearse elementos de

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cualquier tamaño y forma que den aproximadamente el área dada con precisión satisfactoria. En la localización del centroide de un volumen irregular el problema puede reducirse al determinar el centroide de una superficie. Sólo es necesario trazar una curva que represente las áreas de las secciones rectas del volumen normales a un eje elegido. La posición sobre el eje del centroide de la figura definida por esta curva de áreas será la posición Correspondiente del centroide del volumen.

En ocasiones es posible que un área muy grande de un cuerpo esté sujeta a la acción de cargas distribuidas, tales como las causadas por el viento, fluidos, o simplemente el peso de material soportado por la superficie de dicho cuerpo. La intensidad de estas cargas en cada punto de la superficie se define como la presión p (fuerza por unidad de área), que puede medirse en unidades de libra/pie2 o pázcales (Pa) donde 1 Pa = 1 N/m2. En esta sección hablaremos del caso más común de carga de presión distribuida, la cual presenta uniformidad a lo largo de uno de los ejes del cuerpo rectangular plano sobre el que se aplica la carga.* Un ejemplo de tal carga se muestra en la figura 1.

Figura 1

Figura 2

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La dirección de la intensidad de la carga de presión se indica por las flechas mostradas en el diagrama carga-intensidad. La carga completa sobre la placa es, por lo tanto, un sistema de fuerzas paralelas, infinito en número y donde cada una actúa sobre un área diferencial separada sobre la placa. Aquí la función de carga, p = p(x) Pa, es sólo una función de x, puesto que la presión es uniforme a lo largo del eje y. Si multiplicamos p = p(x) por el ancho a m de la placa, obtenemos w = [p(x) N/m2]a m = w(x) N/m. Esta función de carga, ilustrada en la figura 2, es una medida de la distribución de carga a lo largo de la línea y = 0, que está en el plano de simetría de la carga; ver figura 1. Ésta se mide como una fuerza por unidad de longitud, más que como una fuerza por unidad de área. En consecuencia, el diagrama carga-intensidad para w = w(x) puede representarse por un sistema de fuerzas paralelas coplanares, vistas en dos dimensiones en la figura 2. Utilizando los procedimientos explicados en la sección 4.9, este sistema de fuerzas puede simplificarse hasta representarse como una fuerza resultante única FR y con ubicación x específica; ver figura 3.

Figura 3

Figura 4

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Ejercicios

FUERZAS DISTRIBUIDAS

1. Para la viga y cargas mostradas en cada figura, determine a) magnitud y Localización de la resultante de la carga distribuida, b) las reacciones en los apoyos de la viga.

a) R 1764 N x = 3.80 m b) Ax = 0 Ay = 1764 N MA = 6.70 kN m

2. Determine a) la carga distribuida W0 en el extremo D de la viga ABCD para la cual la reacción en B es cero, b) la reacción correspondiente en C.

W0 = 3.19 kN/m Cy = 1.375 kN

3. Una viga de nivel AB soporta tres cargas concentradas y descansa sobre el suelo encima de una roca grande. El suelo ejerce una carga distribuida hacia arriba y al roca ejerce una carga concentrada RR como se indica. Si

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WB = 0.4 WA, determine a) el valor máximo de P en el cual la viga está equilibrada, b) el valor correspondiente de WA.

P = 1.527 kips WA = 1.630 kips Calcule el centroide de la región limitada por un cuarto de círculo. Resolución: Considere el área diferencial mostrada, la cual está limitada a la derecha por el x2+y2=R2.

círculo R

1 2 R 2 0

xm dA A

R

2

2

2

y ( R y dy)    dA

R3 3 R2 4

xm dA x

A=πR2/4

A

A

Ahora

1 2 R 20

2

y dy

1 2 R y 2

4R 3 , por simetría de la figura

y

y3 3

R

0

R3 3

4R 3 .

R

dy R

Calcula el centro de masa del área entre la curva de f(x)=9-x2 y el eje x. Resolución: Para el área infinitesimal indicada se cumple:

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e:

3

3 2

A

2

(9 x )dx 2 (9 x )dx 2 9 x 3

0

3

ym dA A

1 f ( x) f ( x) dx    2 3 dA 3

x f ( x) dx 3

3

3

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2

4

3

1 2 2 9x dx   2 3 función par 2 x 9 x dx  función impar

,y

ym dA Finalmente

2(27 9) 0

(81 18 x 0

x )dx

81 x 6 x

3

x5 5

3

129 .6 0

3

xm dA A

3

x3 3

y

A

A

129.6 36

0 .

xm dA 3.6; x

A

A

de gravedad son (0,3.6). y = 9-x^2

dx

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0

, las coordenadas del centro

Conclusión

En conclusión el centro de gravedad es el punto en el que se encuentran aplicadas las fuerzas gravitatorias de un objeto, o es decir es el punto en el que actúa el peso. Siempre que la aceleración de la gravedad sea constante, el centro de gravedad se encuentra en el mismo punto que el centro de masas1. El equilibrio de una partícula o de un cuerpo rígido también se puede describir como estable o inestable en un campo gravitacional. Para los cuerpos rígidos, las categorías del equilibrio se pueden analizar de manera conveniente en términos del centro de gravedad. El Centro de gravedad es el punto en el cual se puede considerar que todo el peso de un cuerpo está concentrado y representado como una partícula. Cuando la aceleración debida a la gravedad sea constante, el centro de gravedad y el centro de masa coinciden. En forma análoga, el centro de gravedad de un cuerpo extendido, en equilibrio estable,

está

prácticamente

cuenco

de

energía

potencial.

Cualquier

desplazamiento ligero elevará su centro de gravedad, y una fuerza restauradora lo regresa a la posición de energía potencial mínima. Esta fuerza es, en realidad, una torca que se debe a un componente de la fuerza peso y que tiende a hacer rotar el objeto alrededor de un punto pivote de regreso a su posición original. Un objeto está en equilibrio estable mientras su Centro de gravedad quede arriba y dentro de su base original de apoyo.

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Bibliografía

www.elrincondelvago.com www.monografias.com www.wikipedia.com

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