Inercia De Un Anillo

UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO RECINTO DE BAYAMON

MOMENTO DE INERCIA DE UN ANILLO

2524 PHYS 3311 Física para Ingenieros I 2550 PHYS 3311 Laboratorio de Física I 27 de junio de 2005

OBJETIVOS: 1. Calcular el momento de inercia de un anillo. 2. Distinguir entre las diferentes ecuaciones de torque y sus respectivas aplicaciones. 3. Comparar la inercia rotacional con la inercia del anillo. 4. Distinguir entre cantidades angulares y lineales. TEORIA:

LA INERCIA Y LA GRAVITACIÓN En la Mecánica Clásica de Galileo-Newton no se establece ninguna diferencia entre la masa inercial y la masa gravitatoria. Para Newton hubiera sido incomprensible cualquier diferencia entre la magnitud que mide la resistencia a los cambios de velocidad ante una fuerza, y la magnitud que es causa del campo gravitatorio. Sin embargo, Newton investigó tanto la relación entre la masa inercial y la masa gravitatoria como la posible variación de tal relación al modificar la composición de los cuerpos.

La inercia y la masa inercial: Todos hemos oído hablar de lo que es "inerte", de lo que es "pesado", como aquello que no "se mueve". Oímos hablar de lo que no "se mueve" porque realmente cuesta mucho hacer que "se mueva". Y cuanto más cueste moverlo más "inerte" decimos que es el objeto. En general, la inercia es una propiedad de la materia por la cual los sistemas físicos no pueden modificar por sí mismos su estado de reposo o de movimiento. Verdaderamente, hay algo en los sistemas físicos que impide que, por sí mismos y en ausencia de interacciones externas, adquieran velocidad y aceleración. Es la propiedad que denominamos Inercia. En realidad, las fuerzas de inercia son las fuerzas que es necesario añadir a las fuerzas realmente actuantes sobre un sistema físico si se desea que la segunda Ley de Newton conserve su valides cuando referimos su movimiento a un sistema no inercial.

El Principio de Inercia, también llamado Ley de Inercia de Galileo, afirma que un punto material no sometido a fuerza externa alguna se encuentra en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme. Cuando un sistema queda sometido a una fuerza exterior, éste tiende a adquirir una aceleración, a cambiar su velocidad, oponiendo una cierta resistencia o inercia a ello. Así, cuando actúa una misma fuerza sobre una mesa y sobre un pequeño libro, nos encontramos que la mesa presenta mayor resistencia, mayor inercia, a moverse, y que el libro, sin embargo, se acelera más fácilmente con la misma fuerza interactuante. Diremos que la mesa tiene mayor masa inercial que el libro. Lo que entendemos por masa inercial puede entenderse, por tanto, como la resistencia de los sistemas mecánicos a los cambios de velocidad, es decir a la adquisición de aceleración cuando se les aplica una fuerza. Cuando sobre un sistema físico se aplica una fuerza éste cambia su velocidad, se acelera, en un grado que es inversamente proporcional a la "resistencia" que ofrece al cambio. Esa resistencia es lo que entendemos por masa inercial. No adquiere la misma aceleración un automóvil que un objeto de un kilogramo cuando se le aplica la misma fuerza. La relación newtoniana en la que esto se manifiesta es:

Donde es m la masa inercial del sistema.

La gravitación y la masa gravitatoria: Para dos partículas materiales aisladas, o para dos sistemas de partículas materiales aislados, A y B, se verifica que existe una fuerza de atracción entre ambos, que tiene por causas lo que se ha dado en llamar masa gravitatoria o causa gravitatoria. Es la misma situación que se da con la existencia de carga o causa escalar eléctrica en los sistemas de partículas, que da lugar a fuerzas de atracción y repulsión, la fuerza eléctrica. Las fuerzas gravitatoria y eléctrica estaban descritas ya a finales del siglo XIX por dos leyes generales cuyo formalismo matemático es de una gran analogía.

Son las fuerzas de gravitación newtoniana o de la fuerza eléctrica de Coulomb:

Fuerza gravitatoria

Fuerza eléctrica

Siendo mA,mB las masas gravitatorias, qA, qB las cargas eléctricas, y r la separación. Las magnitudes G y K son, respectivamente, la Constante de Gravitación, y la Constante de Coulomb, de valores: G = 6,670x10-11 N.m2.Kg-2. K = 8,9874x109N.m2.C-2. Si llamamos: - Campo gravitatorio causado por la masa mA en un punto situado a distancia r:

- Campo gravitatorio causado por la masa mB en un punto situado a distancia r:

- La fuerza gravitatoria sobre la partícula B debida al campo gravitatorio gA:

- La fuerza gravitatoria sobre la partícula A debida al campo gravitatorio gB: Análogamente, vemos también que en el caso de la fuerza eléctrica: - Campo eléctrico causado por la carga qA a la distancia r:

- Campo eléctrico causado por la carga qB a la distancia r:

- La fuerza eléctrica sobre la partícula B debida al campo eléctrico EA:

- La fuerza eléctrica sobre la partícula A debida al campo eléctrico EB:

Observemos que estas fórmulas, tanto para la fuerza gravitatoria como para la fuerza eléctrica, tienen, en definitiva, la misma forma que la segunda ley de Newton: fuerza igual a masa inercial por aceleración. Como vemos, el campo gravitatorio que crea un sistema masivo a su alrededor depende de la distancia r entre su centro de masas y el punto en donde se mida el campo. Podemos calcular, por ejemplo, el campo gravitatorio (o aceleración debida a la gravitación) en el nivel de la superficie terrestre, que multiplicada por la masa de un objeto nos permitiría obtener la fuerza con la cual nuestro planeta atrae al objeto colocado en su superficie. Así, conociendo el radio de La Tierra y su densidad media, podemos obtener fácilmente la aceleración de la gravitación, el campo gravitatorio, en cualquier punto de la superficie del planeta: - Radio medio: r = 6.378 kms = 6.378.000 ms. Al cuadrado sería: r2 = 4,0678.1013 m2 - Densidad media: d = 5,52.103 kgs/m3 - Volumen medio: V = 4/3.pi.r3 = 1,08678.1021 m3. - Masa media: M = V.d = 5,99902.1024 kgs. - Constante de gravitación: G = 6,670.10-11 N.m2kg-2 = 6,670.10-11 m3kg-1s-2 Hacemos ahora el cálculo, usando la expresión del campo gravitatorio: g = G.M/r2 = 6,670.10-11.5,99902.1024/4,0678.1013 = 9,83 m/s2. Equivalencia de la masa inercial y la masa gravitatoria. El Principio de equivalencia de la Relatividad General: En el caso de la fuerza gravitatoria Newton consideró como evidente que es la misma ley general del movimiento (fuerza igual a masa por aceleración), siendo m la masa inercial. Esto es, Newton identificaba explícitamente la masa gravitatoria con la masa inercial. En cambio, cuando se descubrió la ley de atracción/repulsión eléctrica de Coulomb en el siglo XIX a nadie se le hubiera podido ocurrir identificar la masa inercial con la carga eléctrica. Resultan ser muy parecidas, pues, la masa inercial y la masa gravitatoria, pero no la masa inercial y la causa escalar del campo eléctrico.

Al desarrollar A. Einstein la Teoría General de la Relatividad estableció la equivalencia (Principio de Equivalencia) entre la masa inercial y la masa gravitatoria, admitiendo para ello que todo campo gravitatorio local es equivalente a un sistema de referencia acelerado, esto es a un sistema no inercial. Resulta, pues, que la masa es, por una parte, la causa del campo gravitatorio (causa gravitatoria), y por otra parte se ve afectada por fuerzas inerciales. La masa gravitatoria es, al mismo tiempo, causa y efecto de una única realidad: la curvatura del espacio-tiempo. Si un sistema de partículas de masa inercial mi, moviéndose a velocidades no relativistas, está sometido a un campo gravitatorio externo, , estático y uniforme, se tiene que para un observador O exterior al mismo, que usa las coordenadas

, se verifica

y para un observador O', que usa las coordenadas de partículas, se tiene que

, solidarias al sistema

por tanto

y ambos observadores encontrarán que se verifican las mismas leyes de la Mecánica, salvo que el observador O detecta el campo gravitatorio y el observador O' no lo detecta. Esta deducción de la anulación de la fuerza gravitatoria por la inercial, en el supuesto de identificar ambas masas, gravitatoria e inercial, y suponiendo velocidades no relativistas para poder realizar la transformación de coordenadas anteriormente descrita, es lo que da sentido al llamado Principio de Equivalencia: "En cada punto del espacio-tiempo en que existe un campo gravitatorio arbitrario, función continua de sus puntos, es siempre posible escoger un sistema de coordenadas localmente inercial tal que en un entorno suficientemente pequeño las leyes del movimiento de los sistemas de partículas tienen la misma forma que en los sistema inerciales de la relatividad general cuando no existe gravitación."

Aunque la posible variación de la relación masa inercial/masa gravitatoria, al variar la composición de los objetos, ya había sido investigada por Newton en su tiempo y, con mayor precisión por Bessel (1748-1846) ya en el siglo XIX, hay evidencias experimentales posteriores, como son los trabajos de Eötvös (Loránd Eötvos, 1848-1919), estableciendo que la razón mg/mi no difería más que en una parte de 1000 millones al considerar la madera y el platino. Cálculos aún más recientes establecen, por ejemplo, una variación de una parte en 100000 millones para el aluminio y oro (Dicke), o de una parte en cada billon (1012) para aluminio y plata, en los trabajos de Braginski y Panov en 1972. EQUIPO:

PROCEDIMIENTO: 1. Mide el diámetro de la polea pequeña. Calcula y anota su radio en la tabla 1. 2. Mide el diámetro interno y externo del anillo. Calcula y anota sus respectivos radios en la tabla 1. 3. Obtenga la masa del anillo y anote en la tabla 1. 4. Monte el equipo como se ilustra en la figura 1 y verifique que la mesa esté nivelada. 5. Verifique que el hilo este paralelo con el tope de la mesa (nivelado).

Figura 1

6. Conecte el “Smart Pulley” en el canal 1 de la interfase. 7. Active el programa de “DataStudio” y seleccione la actividad llamada Momento de Inercia. 8. Añada 50 g al pota masa. 9. Enrolle el hilo en la polea pequeña. 10. Oprima el botón de “START” y suelte el plato. 11. Oprime “STOP” antes de que la masa llegue al suelo. 12. Realice un ajuste lineal de la gráfica de velocidad tangencial vs tiempo. 13. Obtenga la aceleración tangencial y anótela en la tabla 3. 14. Coloque el anillo encima del plato principal y repita los pasos 9-13. 15. Anota en la tabla 4 el valor experimental de la inercia rotacional I

 g    m r2   1  a  T 

Tabla 1 Masa del anillo (M)

0.7 kg

Polea pequeña (r)

0.015m

anillo, radio interno (R2)

0.053m

anillo, radio externo (R1)

0.063m

Tabla 2 Descripción del Sistema

Masa de Fricción

Masa colgante

m = Masa colgante-Masa de Fricción

Plataforma anillo

& 4.465 x 10-3 kg

0.55 kg

0.0505 kg

Plataforma

3.465 x 10-3 kg

0.55 kg

0.0515 kg

Tabla 3 Descripción Plataforma con anillo Plataforma

Aceleración (m/s2) 0.444 rad/s

0.564 rad/s

Tabla 4 Descripción

Inercia Rotacional Inercia Rotacional Experimental Teórica

Porciento de Error

Plataforma con anillo

0.0184 kg/m^2

XXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXX

Plataforma

0.0142 kg/m^2

XXXXXXXXXXX

XXXXXXXXXXX

Anillo

0.0042 kg/m^2

0.0039 kg/m^2

7.6%

CALCULOS: I=

g  τ = mr 2  − 1 α  ar 

Plataforma sin anillo I=

τ (0.055kg )(9.81m / s 2 )(0.015M ) = = 0.014kgm 2 α 0.564rad / s

Plataforma con anillo I=

τ (0.055kg )(9.81m / s 2 )(0.015M ) = = 0.018kgm 2 α 0.444rad / s

Anillo I plataforma con anillo – I plataforma con anillo 0.0184kgm^2 – 0.0142kgm^2 = 0.0042kgm^2 Inercia teorica del anillo 1 M ( R12 + R22 ) 2 (0.7kg )((0.064m) 2 + (0.053m) 2 ) I= = .0039kgm 2 2 I=

Por ciento de error %E = %E =

E −T T

× 100

0.0042kgm^ 2 − 0.0039kgm^ 2 × 100 = 7.6% 0.0039kgm^ 2

16. Discuta los factores que usted entiende que influyeron en la diferencia entre la inercia rotacional teórica y experimental. Nosotros entendemos que pudieron ser varios factores que influyeron en el % de error pero uno de los más comunes pudo ser al tomar las medidas de los distintos diámetros. Que los equipos no estuvieran debidamente calibrados.

17. Explique el significado físico de la inercia rotacional de los objetos. Cuando hablamos de movimiento rotacional, cada cantidad lineal tiene su análogo rotacional. En vez de hablar de posición x, hablamos de posición angular _, medido en radianes. En movimiento lineal, la razón de cambio de la posición se conoce como la velocidad v. En el caso de movimiento rotacional, la razón de cambio de _ se conoce como la velocidad angular α . Lo mismo podemos decir de la aceleración, que en el caso de rotación se conoce como la aceleración angular α . Estas cantidades no son totalmente independientes; se puede hacer una relación entre ellas. Tome algún punto de un objeto en rotación. Al rotar, este punto tiene posición, velocidad y aceleración angular, pero también este punto tiene una velocidad y aceleración lineal. Estas cantidades están relacionadas por las siguientes ecuaciones

S = θr

V = ωr

a = αr

En movimiento lineal, el causante del movimiento, o sea, de la aceleración, es la fuerza F. El causante del movimiento rotacional se conoce como torque τ . Estas dos cantidades están relacionadas, ya que para hacer que un objeto rote uno debe aplicar una fuerza. El problema es que el concepto de fuerza no es suficiente para hablar de rotación pues el lugar donde aplicamos la fuerza es muy importante1, por tanto es necesario el concepto de torque. El torque, una cantidad vectorial, se define con el producto vectorial.

τ donde r es la distancia desde el eje de rotación hasta el lugar donde se está aplicando la fuerza. La magnitud del vector de torque es entonces τ = rF sin β ; donde β es el ángulo que hace el vector r con el vector de fuerza. Si estos dos vectores son perpendiculares entonces el torque producido seria simplemente τ = rF. La Segunda Ley de Newton, F = ma, tiene su análogo rotacional τ = Iα ; donde I, que vendría a ser el análogo de la masa, se conoce como el momento de inercia. Note la similitud entre la forma de las ecuaciones para la segunda ley. Esta similitud en forma también se transpone a otras ecuaciones, como por ejemplo las de cinemática.

Lineal v = v0 + at

Rotacional ω = ω 0 + αt

1 y = y 0 + v0 t + at 2 2

1 θ = θ 0 + ω 0 t + αt 2 2

CONCLUSIÓN En este laboratorio pudimos llevar acabo nuestros objetivos. Llegamos a la conclusión que por medio de equipos bien calibrados y ecuaciones matemáticas pudimos encontrar la inercia rotacional de un anillo. A pesar de nuestros esfuerzos siempre hay un por ciento e error entre los valores teóricos y experimentales.

Referencias: - L. LANDAU, E. LIFSHITZ. Curso Abreviado de Física Teórica-I. Editorial Mir,1979 - M. ALONSO, E. J. FINN. Física (Vol I). Fondo Educativo Interamericano, 1971 - R. ADLER, M.BAZIN y M. SCHIFFER. Introduction to General Relativity. Mc Graw-Hill, 1968