Informe 6. Momento De Inercia..docx

Práctica 7. Fuerza Centrífuga. Solange Alejandra Sanguil Mogrovejo, GR142A, [email protected] Laboratorio de Física General, Departamento de Formación Básica, Escuela Politécnica Nacional Ing. Pablo Espinosa, miércoles 18 de julio de 2018 Resumen– Se determina la fuerza centrífuga de un objeto que desplaza por una trayectoria circular en función de la masa, el radio de curvatura de la trayectoria y la velocidad angular del cuerp; en cada caso, los otros valores se mantienen constantes; a partir de la comparación entre los resultados se obtiene una valor aproximado de la fuerza centrífuga. I.

INTRODUCCIÓN

El movimiento circular uniforme es aquel en el cual un cuerpo se desplaza siguiendo una misma trayectoria, trasladándose con a misma velocidad en todo instante de tiempo y, por lo tanto, demorando el mismo intetvalo de tiempo en completar una vuelta. Este intervalo de tiempo se conoce como período y viene dado por la siguiente relación: 2𝜋 (1) T= 𝜔 Donde T representa el perído y 𝜔 representa la velocidad angular. Además, el movimiento circular se caracteriza por presentar una componente de la aceleración dirigida hacia el centro del radio de curvatura y es perpendicular a la velocidad del cuerpo en movimiento. De acuerdo a la segunda ley Esta aceleración está dada por por la fuerza centrípeta, dirigida también hacia el centro del círculo. (2) mv 2 Fcentrípeta = − r Donde 𝐹𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟í𝑝𝑒𝑡𝑎 es la fuerza centrípeta, 𝑚 es la masa del objeto, v es la velocidad tangencial y r es el radio de curvatura. Si se analiza el movimiento desde un sistema de referencia inercial, la única fuerza que actúa sobre el cuerpo es la fuerza centrípeta. Sin embargo, si se toma como referencia un sistema de referencia no inercial que se encuentre en el objeto que rota, existirá otra fuerza que siente el objeto moviéndose en la trayectoria circular. Se denomina fuerza centrífuga y se dirige hacia fuera de la trayetoria, en dirección opuesta a la fuerza centrípeta. Para describir la aceleración de un cuerpo que se desplaza con movimiento circular, de acuerdo a la segunda ley de Newton, se tiene la siguiente ecuación: m

𝑑𝑣 𝑑𝑤 ⃗⃗⃗ = −∇U + m𝑟⃗ × + 2𝑚𝑣⃗ × 𝜔 ⃗⃗ + 𝑚𝜔 ⃗⃗(𝑟⃗ × 𝜔 ⃗⃗) − Fcf 𝑑𝑡 𝑑𝑡

(3)

Donde

𝑑𝑣 𝑑𝑡

es equivalente a la aceleración tangencial, ∇U es la 𝑑𝑤 ⃗⃗⃗

variación de energía potencial es la aceleración angular del 𝑑𝑡 objeto y Fcf es la fuerza centrífuga del objeto. Tomando es cuenta que el movimiento circular es uniforme y que, por lo tanto, la velocidad lineal y angular son constantes, la fuerza centrífuga viene dada por la siguiente expresión: (4) mv 2 Fcentrífuga = = 𝑚𝜔2 𝑟 r Cabe destacar que la fuerza centrífuga se considera una fuerza centrífuga, pues solo se presenta al tomar en cuenta sistemas de referencia no inerciales que giran conjuntamente con el cuerpo de estudio. Por (4) se deduce que la fuerza centrífuga depende de la masa, velocidad angular y distancia al radio de cuvatura que presenta el objeto. II.

METODOLOGÍA DE LA EXPERIMENTACIÓN

El objetivo de la práctica es determinar la fuerza centrífuga de un objeto que describe un movimiento circular en función de tres variables distintas. Los materiales empleados son: Sensor de fuerza, el cual determina el valor de la fuerza a la que se somete el cuerpo en Newtons. Equipo de fuerza centrífuga, el cual está compuesto por un carril en el cual se desliza un pequeño carro, cuya pista disminuye la fricción (Fig. 1). Motor de 220 V, el cual proporciona energía mecánica al equipo de fuerza centrífuga. Tripode, el cual se emplea como soporte del equipo. Pesas metálicas de 50 y 150 gramos. Antes de iniciar con la parte experimental es necesario montar correctamente el equipo. La primera parte de la práctica tiene como fin determinar la fuerza centrífuga en función de la masa del objeto en movimiento, por lo cual tanto el radio de curvatura como el período de oscilación permanecen constantes. Se hace oscilar el equipo, aumentando progresivamente la masa del objeto que gira en 50 kilogramos hasta llegar a 400 kilogramos, para cada aumento de la masa se debe anotar el respectivo valor de la fuerza señalado por el equipo. La segunda parte de la práctica consiste en la determinación de la fuerza centrífuga en función de la velocidad angular, por lo cual el período del cuerpo será variable, mientras que la masa y radio de curvatura permanecerán constantes. Empleando el equipo, se debe variar el valor del período del objeto, se realizan siete cálculos y para cada uno de ellos se 1

anota el respectivo valor de la fuerza que se muestra en el equipo. Por último, se determina el valor de la fuerza centrífuga en función del radio de curvatura, para lo cual tanto la velocidad angular así como la masa del objeto permanecen constantes. Para variar el radio de curvatura, se fija un valor inicial del radio y dicho valor debe aumentar en tres centímetros, hasta un valor final de treinta centímetros. Para cada valor se anota el respectivo valor de la fuerza determinada por el equipo.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN

III.

TABLA 1 Tabla de datos de la fuerza centrífuga en función de la masa. Velocidad Período Radio de curvatura 𝑇 Angular 𝜔 [𝑟𝑎𝑑/𝑠] [𝑟𝑎𝑑/𝑠] [𝑚] 2.732 2.3 0.21 Mediciones Número de Masa Fuerza Fuerza Error medidas centrífuga centrífuga real calculada N [𝑘𝑔] [𝑁] [𝑁] % 1 0.1 0.2 0.157 21.5 2 0.15 0.26 0.235 9.62 3 0.2 0.36 0.313 10.57 4 0.25 0.6 0.392 34.67 5 0.3 0.72 0.47 35.62 6 0.35 0.8 0.549 31.38 7 0.4 0.9 0.637 29.22 Masa m [𝑘𝑔] 0.2 Número de medidas N 1 2 3 4 5 6

Período 𝑇 [𝑠] 2.48 2.25 1.88 1.71 1.53 1.38

Masa m

Radio de curvatura [𝑚] 0.21 Velocidad Fuerza centrífuga Angular 𝜔 real [𝑟𝑎𝑑/𝑠] [𝑁] 2.534 0.24 2.793 0.3 3.342 0.4 3.674 0.5 4.107 0.62 4.553 0.8

[𝑘𝑔] 0.2

Período 𝑇 [𝑠] 2.35

Número de medidas

Radio de curvatura

N 1 2 3 4 5 6 6

[𝑚] 0.12 0.15 0.18 0.21 0.24 0.27 0.3

Fuerza centrífuga calculada [𝑁] 0.27 0.328 0.469 0.559 0.708 0.871

Velocidad angular 𝜔 [𝑟𝑎𝑑/𝑠] 2.675 Mediciones Fuerza centrífuga real [𝑁] 0.2 0.26 0.32 0.4 0.44 0.46 0.5

Fuerza centrífuga calculada [𝑁] 0.172 0.215 0.257 0.31 0.34 0.387 0.429

Error

% 21.5 9.62 10.57 22.5 22.73 15.87 14.2

Error

% 12.5 9.33 17.25 11.8 14.19 7.53

Masa m= 0.228 kg

Figura 3. Relación de la distancia al eje de rotación en función del período de rotación.

CÁLCULO DE LA CONSTANTE DE TORSIÓN Para determinar la constante de ecuación se debe realizar una gráfica en el plano cartesiano de la distancia a la que se encuentran las masas del eje de rotación al cuadrado en función del período correspondiente a dicha distancia al cuadrado (Fig. 3). A partir de la pendiente de dicha gráfica y tomando en cuenta la masa de cada cuerpo de prueba se obtiene la constante de torsión (13). 8𝜋𝑚 𝑚𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 = 𝐷 8𝜋(0.228) D= = 0.0989 57.928 En la Tabla 3 se muestran los datos a partir de los cuales se obtendrá el momento de inercia de cuerpos de simetría de rotación. El período de cada uno de los cuerpos que constan en dicha tabla se obtiene de manera análoga a cómo se hizo en el caso anterior. EJEMPLO DEL CÁLCULO DEL PERÍODO DE UN CUERPO DE SIMETRÍA DE ROTACIÓN Se calculará el período de rotación de la esfera maciza. Para ello, se determina el tiempo más probable de todas las mediciones realizadas con el cronómetro. 4.19 + 4.6 + 4.44 + 4.32 + 4.37 𝑡̅ = = 4.37 [𝑠] 5 Para obtener el período se divida el tiempo promedio para el número de oscilaciones tomadas en cuenta para al medir dicho tiempo, en este caso, cinco. 4.37 𝑇= = 0.87 [𝑠] 5 En la Tabla 4 constan los momentos de inercia obtenidos de cada cuerpo obtenidos experimentalmente empleando la ecuación (9) y de forma teórica con las ecuaciones planteadas en la Tabla 1. EJEMPLO DE CÁLCULO DEL MOMENTO DE INERCIA EXPERIMENTAL Y TEÓRICO Se calculará el momento de inercia teórico y experimental de la esfera maciza, empleando los datos de la Tabla 3. El momento de inercia experimental se obtienen a partir de (9). 𝑇 0.87 2 𝐼𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = D( )2 = 0.0989 ( ) = 0.0019 [𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 ] 2𝜋 2𝜋 Para calcular el valor teórico del momento de inercia de la esfera se emplea la ecuación especificada en la Tabla 1. 2 2 𝐼𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 = mr 2 = ∙ 0.487 ∙ 0.072 = 0.00095 [𝑘𝑔 ∙ 𝑚2 ] 5 5

TABLA 3

2

Tabla de datos para determinar el momento de inercia de los cuerpos son simetría rotacional. M R Cuerpo T 𝐭𝟏 𝐭𝟐 𝐭𝟑 𝐭𝟒 𝐭𝟓 𝒕̅ [𝐤𝐠] [𝐦] [𝐬] [𝐬] [𝐬] [𝐬] [𝐬] [𝐬] [𝐬] Esfera 0.487 0.07 4.19 4.6 4.44 4.32 4.37 4.37 0.87 maciza Disco 0.083 0.11 3.85 4.25 4.15 4.31 4.17 4.17 0.83 Cilindro 0.369 0.05 2.21 2.09 2.68 2.11 2.15 2.24 0.44 macizo Cilindro 0.351 0.05 2.75 2.9 2.81 2.88 2.73 2.81 0.56 hueco TABLA 4 Tabla de resultados de los momentos de inercia de los cuerpos con simetría rotacional. Cuerpo I (experimento) I (ecuación) [𝐤𝐠 ∙ 𝒎𝟐 ] [𝐤𝐠 ∙ 𝒎𝟐 ] Esfera maciza 0.0019 0.00095 Disco 0.00046 0.0005 Cilindro macizo 0.00049 0.00046 Cilindro hueco 0.00088 0.00079

Donde I representa el momento de inercia, m es la masa de la partícula y 𝑟 es la distancia a la que dicha partícula se encuentra del eje de rotación. Para un sistema conformado por dos o más partículas que giran alrededor de un mismo eje el momento de inercia se calcula a partir de la siguiente relación: 𝐼𝑜 = 𝑚1 ∙ 𝑟12 + 𝑚2 ∙ 𝑟22 + ⋯ + 𝑚𝑛 ∙ 𝑟𝑛2 𝑛

𝐼𝑜 = ∑ 𝑚𝑖 ∙ 𝑟𝑖2 𝑖=1

El subíndice 𝑜 indica que todas las partículas se encuentran girando alrededor de un mismo eje 𝑂. Para un sólido rígido se considera que la masa se encuentra distribuida de forma continua, se puede emplear la siguiente integral para calcular el momento de inercia: 𝑟

I = ∫ 𝑟 2 𝑑𝑚

Momento de Inercia [kg∙m² ]

0

0.002

Momento de Inercia Experimental

0.0016

Momento de Inercia Teórico

0.0012 0.0008

Donde 𝑑𝑚 es un elemento de masa del sólido. A su vez, se puede relacionar la densidad del sólido con su masa (6) para obtener una integral que permita calcular el momento de inercia del sólido a partir de su volumen, tomando en cuenta que dicho cuerpo es homogéneo. 𝑟

0.0004

I = 𝛿 ∫ 𝑟 2 𝑑𝑣

0 Esfera maciza

Disco

Cilindro macizo

Cilindro hueco

Cuerpo Figura 4. Gráfica de barras de comparación entre los momentos de inercia teórico y experimental de algunos cuerpos.

Los valores de la Tabla 4 puede representarse mediante un gráfico de barras de comparación (Fig. 4). Interpretando dicha gráfica, se puede inferir que entre ambos valores obtenidos para cada uno de los cuerpos existe una variación o margen de error, el cual puede deberse a errores cometidos en la parte experimental y a condiciones del ambiente como, por ejemplo, la fricción del aire. IV.

PREGUNTAS

1) Defina qué es el momento de inercia y qué representa físicamente el momento de inercia. El momento de inercia de un sistema de partículas respecto a un eje de rotación se expresa de forma matemática como una magnitud escalar igual a la sumatoria de los productos de las masas de las partículas que conforman el del cuerpo por la distancia mínima que separa a cada partícula del eje rotacional (4). Físicamente, el momento de inercia representa la propiedad que tiene un cuerpo que puede rotar a oponerse al cambio en su velocidad angular [1]. 2) Plantee el momento de inercia para una partícula, un sistema de partículas y un sólido rígido (adjunte un Anexo). Para una sola partícula el momento de inercia viene dado por la siguiente expresión: I = m ∙ 𝑟2

0

Donde 𝛿 es la densidad del sólido y 𝑑𝑣 es un elemento de volumen del sólido. 3) Explique qué sucede con la velocidad angular del sistema cuando las masas se separan del eje de rotación hacia los extremos, en esta práctica. La energía rotacional del cuerpo rígido depende tanto del momento de inercia cómo de la velocidad angular del cuerpo, mediante la siguiente relación: 𝑛 (14) 1 2 𝐸𝑐𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 = 𝜔 ∑ 𝑚𝑖 𝑟𝑖2 2 𝑖=1

Donde 𝜔 es la velocidad angular del sistema y es igual para todas las partícula que los conforman y ∑𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 𝑟𝑖2 es el momento de inercia de dicho sistema. Para el caso estudiado, la energía rotacional se mantiene constante independientemente de la distancia a la cual se encuentran las masas, pues se trata de un movimiento ideal y la fuerza que se aplica a cada distancia para que el sistema gire es la misma. A partir de (13) se deduce que la relación entre la distancia a la cual se encuentran las masas del eje de rotación y la velocidad angular tienen es inversamente proporcional, es decir, cuando las masas se encuentran en los extremos la velocidad angular es menor y mientras más cerca están del dicha velocidad aumenta [3]. 4) Investigue y explique el Teorema de Steiner. El teorema de Steiner o de los ejes paralelos permite determinar el momento de inercia respecto a cualquier eje mediante el momento de inercia del cuerpo sobre un eje paralelo que pase por su centro de gravedad.

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El teorema es: “El momento de inercia con respecto a un eje es igual al momento de inercia respecto a un eje paralelo que pase por su centro de gravedad sumado al producto de la masa por la distancia que existe entre ambos ejes al cuadrado”. Según el enunciado anterior, ambos ejes deben ser paralelos. La expresión matemática que expresa el teorema es la siguiente: 𝐶𝑀 (15) 𝐼𝑒𝑗𝑒 = 𝐼𝑒𝑗𝑒 + mℎ2 Donde Ieje es el momento de inercia respecto a un eje que no CM pasa por el centro de gravedad, Ieje es el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de gravedad del cuerpo, m es la masa del cuerpo y h es la distancia perpendicular entre ambos ejes [4]. 5) Explique como un patinador de hielo puede mantenerse girando por un tiempo determinado en el aire. Cuando un patinador gira en el aire, debido a que la fuerza de rozamiento entre los patines y el hielo es despreciable, se cumple el principio de conservación de la cantidad de movimiento angular, el cual se expresa mediante la siguiente relación: (16) L= I∙ω Donde L es la cantidad de movimiento angular. De (15) se deduce que entre el momento de inercia del patinador y su velocidad angular existirá una relación inversamente proporcional. Por lo tanto, el patinador disminuye su inercia rotacional al acercar sus extremidades al cuerpo, pues su masa se encuentra más cerca al eje rotacional y, como consecuencia, la velocidad angular aumenta y el patinador permanece girando en el aire [1]. V.

decir, que hayan girado hacia la derecha 180° antes de ser soltados, puesto que esto influye en su velocidad angular. Emplear el mayor número de cifras decimales en los cálculos a fin de reducir el margen de error en los cálculos de la constante de torsión y los momentos de inercia de los cuerpos.

REFERENCIAS

[1]

V. Autores, Física para Prepolitécnico, Cuarta ed., Quito: PrepoFis Publicaciones, 2011.

[2]

A. Valcarce, «Momento de Inercia y Aceleración Angular,» Departamento de Física, Santiago de Chile, 2014.

[3]

Laboratorio de Física General, «Guía de prácticas de laboratorio de física experimental,» Quito, 2018.

[4]

J. Llopis, «Repositorio Institucional de la Universitat Politècnica de València,» 2013. [En línea]. Available: https://riunet.upv.es/bitstream/handle/10251/101489/Gasque%3BLl opis%20%20C%C3%A1lculo%20de%20momentos%20de%20inercia%20 mediante%20el%20teorema%20de%20Steiner.%20Aplicaci%C3% B3n%20a%20la%20su....pdf?sequence=1.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

En un sistema de partículas, el momento de inercia depende tanto de la masa cómo de la distancia a la cual se encuentren las partículas del eje de giro. En el caso del sistema conformado por la varilla y las masas puntuales se cumple el principio de la conservación de la cantidad de movimiento angular y, por tanto, mientras más cerca están las masas del eje de giro más aumenta su velocidad angular. La constante de torsión se determina en función del período de oscilación del sistema compuesto por la varilla y las masas. El momento de inercia de los sólidos rígidos puede determinarse experimentalmente, empleando su período de oscilación y la constante de torsión. Si se conoce datos como el volumen, masa y radio de cierto sólido rígido como, por ejemplo, una esfera, se puede determinar su momento de inercia, el cual correspondería a un valor teórico. Verificar que el equipo se encuentre correctamente montado antes de empezar con la parte experimental de la práctica. Procura que antes de medir el período de oscilación de los cuerpos estudiados estos hayan recibido el mismo impulso, es

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