Tgs 2 Anreal

Tugas 2 Nama Kelompok:

Mahmudah Fatkhul Arifin Indra Bagea

Teorema 3.3.4 Jika barisan {χ n }n =1 konvergen ke L, maka setiap barisan bagian dari {χ n }n =1 juga ∞

∞

konveergen ke L. Ilustrasi: ∞

⎧1⎫ ⎧1 1 1 1 ⎫ 1. ⎨ ⎬ = ⎨ , , , ,...⎬ ⎩ 2n ⎭ n =1 ⎩ 2 4 6 8 ⎭

∞

dan

⎧1⎫ ⎧1 1 1 1 ⎫ ⎨ ⎬ = ⎨ , , , ,...⎬ ⎩ 4n ⎭ n =1 ⎩ 4 8 12 6 ⎭

∞

⎧1⎫ konvergen ke 0, karena barisan tersebut merupakan bagian dari Barisan ⎨ ⎬ ⎩ 4n ⎭ n =1 ∞

⎧1⎫ ⎨ ⎬ yang konvergen ke 0. ⎩ 2n ⎭ n =1 ∞

⎧2 1 2 1 ⎫ ⎧2⎫ 2. ⎨ ⎬ = ⎨ , , , ,...⎬ ⎩ 3n ⎭ n =1 ⎩ 3 3 9 6 ⎭

∞

dan

⎧1 1 1 1 ⎫ ⎧1⎫ ⎨ ⎬ = ⎨ , , , ,...⎬ ⎩ 3n ⎭ n =1 ⎩ 3 6 9 12 ⎭

∞

⎧1⎫ Barisan ⎨ ⎬ konvergen ke 0, karena barisan tersebut merupakan bagian dari ⎩ 3n ⎭ n =1 ∞

⎧2⎫ ⎨ ⎬ yang konvergen ke 0. ⎩ 3n ⎭ n =1 ∞

⎧ 1 1 1 ⎫ ⎧1 ⎫ 3. ⎨ ⎬ = ⎨1, , , ,...⎬ ⎩ n ⎭ n =1 ⎩ 2 3 4 ⎭

∞

dan

⎧ 1 1 1 ⎫ ⎧1⎫ ⎨ 2 ⎬ = ⎨1, , , ,...⎬ ⎩ n ⎭ n =1 ⎩ 4 9 16 ⎭

∞

⎧1⎫ Barisan ⎨ 2 ⎬ konvergen ke 0, karena barisan tersebut merupakan bagian dari ⎩ n ⎭ n =1 ∞

⎧1 ⎫ ⎨ ⎬ yang konvergen ke 0. ⎩ n ⎭ n =1 ∞

⎧ 2 1 2 ⎫ ⎧ 2 ⎫ 4. ⎨ ⎬ = ⎨1, , , ,...⎬ ⎩ n + 1⎭ n =1 ⎩ 3 2 5 ⎭

∞

dan

⎧ 3 3 1 ⎫ ⎧ 3 ⎫ ⎬ = ⎨1, , , ,...⎬ ⎨ ⎩ n + 2 ⎭ n =1 ⎩ 4 5 2 ⎭

∞

⎧ 3 ⎫ Barisan ⎨ ⎬ konvergen ke 0, karena barisan tersebut merupakan bagian dari ⎩ n + 2 ⎭ n =1 ∞

⎧ 2 ⎫ ⎬ yang konvergen ke 0. ⎨ ⎩ n + 1⎭ n =1 ∞

∞

⎧ 5 7 9 ⎫ ⎧ 2n + 1 ⎫ 5. ⎨ ⎬ = ⎨3, , , ,...⎬ dan ⎩ n ⎭ n =1 ⎩ 2 3 4 ⎭

⎧ 5 9 13 17 ⎫ ⎧ 4n + 1 ⎫ ⎬ = ⎨ , , , ,...⎬ ⎨ ⎩ 2n ⎭ n =1 ⎩ 2 4 6 8 ⎭

∞

⎧ 4n + 1 ⎫ Barisan ⎨ ⎬ konvergen ke 2, karena barisan tersebut merupakan bagian dari ⎩ 2n ⎭ n =1 ∞

⎧ 2n + 1 ⎫ ⎬ yang konvergen ke 2. ⎨ ⎩ n ⎭ n =1

Teorema 3.4.4 Jika barisan bilangan real {χ n }n =1 konvergen, maka {χ n }n =1 terbatas. ∞

∞

Ilustrasi:

3 3 = 1. lim n →∞ 2n + 2 2

∞

,

3⎫ ⎧ 3 9 12 ⎧ 3 ⎫ ⎬ = ⎨ ,1, , ,..., ⎬ ⎨ 2⎭ ⎩ 2n + 2 ⎭ n =1 ⎩ 4 8 10 ∞

⎧ 3 ⎫ Karena barisan bilangan real ⎨ ⎬ konvergen, maka ⎩ 2n + 2 ⎭ n =1

n =1 n→∞ n + 5

2. lim

∞

⎧ 3 ⎫ ⎬ terbatas. ⎨ ⎩ 2n + 2 ⎭ n =1

∞

,

⎫ ⎧1 2 3 ⎧ n ⎫ ⎬ = ⎨ , , ,...,1⎬ ⎨ ⎭ ⎩ n + 5 ⎭ n =1 ⎩ 6 7 8 ∞

∞

⎧ n ⎫ ⎧ n ⎫ Karena barisan bilangan real ⎨ ⎬ konvergen, maka ⎨ ⎬ terbatas. ⎩ n + 5 ⎭ n =1 ⎩ n + 5 ⎭ n =1

2n + 1 3. lim =2 n→∞ n + 5

∞

,

⎫ ⎧1 5 7 ⎧ 2n + 1 ⎫ ⎬ = ⎨ , , ,1,...,2⎬ ⎨ ⎭ ⎩ n + 5 ⎭ n =1 ⎩ 2 7 8 ∞

∞

⎧ 2n + 1 ⎫ ⎧ 2n + 1 ⎫ Karena barisan bilangan real ⎨ ⎬ konvergen, maka ⎨ ⎬ terbatas. ⎩ n + 5 ⎭ n =1 ⎩ n + 5 ⎭ n =1

3n =3 n→∞ 1 + n

4. lim

∞

,

⎫ ⎧ 3 9 12 ⎧ 3n ⎫ ⎬ = ⎨ ,2, , ,...,3⎬ ⎨ ⎭ ⎩1 + n ⎭ n =1 ⎩ 2 4 5 ∞

∞

⎧ 3n ⎫ ⎧ 3n ⎫ Karena barisan bilangan real ⎨ ⎬ konvergen, maka ⎨ ⎬ terbatas. ⎩1 + n ⎭ n =1 ⎩1 + n ⎭ n =1

∞

2n 2 = 5. lim n → ∞ 3n + 3 3

2⎫ ⎧1 4 1 8 ⎧ 3n ⎫ ⎬ = ⎨ , , , ,..., ⎬ ⎨ 3⎭ ⎩ 3n + 3 ⎭ n =1 ⎩ 3 9 2 15

, ∞

∞

⎧ 2n ⎫ ⎧ 2n ⎫ Karena barisan bilangan real ⎨ ⎬ konvergen, maka ⎨ ⎬ terbatas. ⎩ 3n + 3 ⎭ n =1 ⎩ 3n + 3 ⎭ n =1

Teorema 3.4.7 Misalkan {χ n }n =1 adalah barisan bilangan real. Jika {χ n }n =1 barisan tak turun dan ∞

∞

terbatas diatas, maka {χ n }n =1 konvergen. ∞

Ilustrasi: ∞

⎫ ⎧4 8 ⎧ 4n ⎫ ,⎨ ⎬ = ⎨ , ,1,...⎬ barisan tak turun ⎭ ⎩ 3n + 3 ⎭ n =1 ⎩ 6 9

4n 4 = 1. lim n → ∞ 3n + 3 3

⎧4 8 , ⎨ < < 1 < ... < ⎩6 9

4⎫ ⎬ terbatas diatas 3⎭

∞

∞

⎧ 4n ⎫ ⎧ 4n ⎫ barisan tak turun dan terbatas diatas, maka ⎨ Karena ⎨ ⎬ ⎬ ⎩ 3n + 3 ⎭ n =1 ⎩ 3n + 3 ⎭ n =1 konvergen. 1 n2 2. lim 2 = n →∞ 2n + 1 2

∞

⎧ n2 ⎫ ⎧1 4 9 ⎫ ,⎨ 2 ⎬ = ⎨ , , ,...⎬ barisan tak turun ⎩ 2n + 1⎭ n =1 ⎩ 3 9 19 ⎭ 1⎫ ⎧1 4 9 ,⎨ < < < ... < ⎬ terbatas diatas 2⎭ ⎩ 3 9 19

∞

∞

⎧ n2 ⎫ ⎧ n2 ⎫ barisan tak turun dan terbatas diatas, maka ⎨ 2 Karena ⎨ 2 ⎬ ⎬ ⎩ 2n + 1⎭ n =1 ⎩ 2n + 1⎭ n =1 konvergen.

8n − 5 8 = 3. lim n →∞ 10n 10

∞

⎧ 8n − 5 ⎫ ⎧ 3 11 19 ⎫ ,⎨ ⎬ = ⎨ , , ,...⎬ barisan tak turun ⎩ 10n ⎭ n =1 ⎩10 20 30 ⎭

8⎫ ⎧ 3 11 19 < < ... < ⎬ terbatas diatas ,⎨ < 10 ⎭ ⎩10 20 30 ∞

∞

⎧ 8n − 5 ⎫ ⎧ 8n − 5 ⎫ Karena ⎨ barisan tak turun dan terbatas diatas, maka ⎨ ⎬ ⎬ ⎩ 10n ⎭ n =1 ⎩ 10n ⎭ n =1 konvergen.

∞

⎧ n2 ⎫ ⎧1 4 9 ⎫ ,⎨ 2 ⎬ = ⎨ , , ,...⎬ barisan tak turun ⎩ n + 1⎭ n =1 ⎩ 2 5 10 ⎭

n2 4. lim 2 =1 n →∞ n + 1

⎧1 4 9 ⎫ < ... < 1⎬ terbatas diatas ,⎨ < < ⎩ 2 5 10 ⎭ ∞

∞

⎧ n2 ⎫ ⎧ n2 ⎫ Karena ⎨ 2 barisan tak turun dan terbatas diatas, maka ⎨ 2 ⎬ ⎬ ⎩ n + 1⎭ n =1 ⎩ n + 1⎭ n =1 konvergen. 4n 2 + n =2 5. lim 2 n →∞ 2n + n

∞

⎧ 4n 2 + n ⎫ ⎧ 5 18 39 ⎫ ,⎨ 2 ⎬ = ⎨ , , ,...⎬ barisan tak turun ⎩ 2n + n ⎭ n =1 ⎩ 3 10 21 ⎭ ⎧ 5 18 39 ⎫ < < ... < 2⎬ terbatas diatas ,⎨ < ⎩ 3 10 21 ⎭

∞

∞

⎧ 4n 2 + n ⎫ ⎧ 4n 2 + n ⎫ Karena ⎨ 2 barisan tak turun dan terbatas diatas, maka ⎨ 2 ⎬ ⎬ ⎩ 2n + n ⎭ n =1 ⎩ 2n + n ⎭ n =1 konvergen.

Teorema 3.4.8 Misalkan {χ n }n =1 adalah barisan silangan real. Jika {χ n }n =1 barisan tak turun dan ∞

∞

terbatas diatas, maka {χ n }n =1 divergen ke ∞ . ∞

Ilustrasi: 1. lim 2n = ∞ n→∞

, {2n}n =1 = {2,4,6,...} barisan tak turun ∞

, {2 < 4 < 6 < ...} tak terbatas diatas Karena {2n}n =1 barisan tak turun dan tak terbatas diatas, maka {2n}n =1 divergen ke ∞ ∞

2. lim n = ∞ n→∞

∞

, {n}n =1 = {1,2,3,...} barisan tak turun ∞

, {1 < 2 < 3 < ...} tak terbatas diatas Karena {n}n =1 barisan tak turun dan tak terbatas diatas, maka {n}n =1 divergen ke ∞ ∞

1 3. lim n = ∞ n →∞ 2

∞

∞

⎧1 ⎫ ⎧1 3 ⎫ , ⎨ n ⎬ = ⎨ ,1, ,2,...⎬ barisan tak turun ⎩ 2 ⎭ n =1 ⎩ 2 2 ⎭

3 ⎫ ⎧1 , ⎨ < 1 < < 2 < ...⎬ tak terbatas diatas 2 ⎭ ⎩2

∞

∞

⎧1 ⎫ ⎧1 ⎫ Karena ⎨ n ⎬ barisan tak turun dan tak terbatas diatas, maka ⎨ n ⎬ divergen ke ⎩ 2 ⎭ n =1 ⎩ 2 ⎭ n =1

∞ , {3n}n =1 = {3,6,9,...} barisan tak turun ∞

4. lim 3n = ∞ n→∞

, {3 < 6 < 9 < ...} tak terbatas diatas Karena {3n}n =1 barisan tak turun dan tak terbatas diatas, maka {3n}n =1 divergen ke ∞ ∞

∞

, {4n}n =1 = {4,8,12,...} barisan tak turun ∞

5. lim 4n = ∞ n→∞

, {4 < 8 < 12 < ...} tak terbatas diatas Karena {4n}n =1 barisan tak turun dan tak terbatas diatas, maka {4n}n =1 divergen ke ∞ ∞

∞

Teorema 3.4.9 Misalkan {χ n }n =1 adalah barisan bilangan real. Jika {χ n }n =1 barisan tak naik dan ∞

∞

terbatas dibawah, maka {χ n }n =1 konvergen. ∞

Ilustrasi: 1. barisan tak naik

terbatas di bawah Karena

Maka

barisan tak naik dan terbatas di bawah

Konvergen

2. barisan tak naik

terbatas di bawah

Karena

Maka

barisan tak naik dan terbatas di bawah

Konvergen

3. barisan tak naik

terbatas di bawah Karena

Maka

barisan tak naik dan terbatas di bawah

Konvergen

4. barisan tak naik

terbatas di bawah Karena

Maka

barisan tak naik dan terbatas di bawah

Konvergen

5. barisan tak naik

terbatas di bawah Karena

barisan tak naik dan terbatas di bawah

Maka

Konvergen

Teorema 3.4.10 Misalkan {χ n }n =1 adalah barisan bilangan real. Jika {χ n }n =1 barisan tak naik dan tak ∞

∞

terbatas dibawah, maka {χ n }n =1 divergen ke − ∞ . ∞

Ilustrasi: 1. lim − n = −∞ n→∞

, {− n}n =1 = {− 1,−2,−3,...} barisan tak naik ∞

, {− 1 < −2 < −3 < ...} tak terbatas dibawah Karena {− n}n =1 barisan tak naik dan tak turun dibawah, maka {− n}n =1 divergen ke − ∞ ∞

∞

2. lim − 2n = −∞ n→∞

, {− 2n}n =1 = {− 2,−4,−8,...} barisan tak naik ∞

, {− 2 < −4 < −8 < ...} tak terbatas dibawah Karena {− 2n}n =1 barisan tak naik dan tak turun dibawah, maka {− 2n}n =1 divergen ke ∞

∞

−∞ 1 3. lim − = −∞ n→∞ n

∞

1 1 ⎫ ⎧ 1⎫ ⎧ , ⎨− ⎬ = ⎨− 1,− ,− ,...⎬ barisan tak naik 2 3 ⎭ ⎩ n ⎭ n =1 ⎩

1 1 ⎫ ⎧ , ⎨− 1 < − < − < ...⎬ tak terbatas dibawah 2 3 ⎭ ⎩ ∞

∞

⎧ 1⎫ ⎧ 1⎫ Karena ⎨− ⎬ barisan tak naik dan tak turun dibawah, maka ⎨− ⎬ divergen ke ⎩ n ⎭ n =1 ⎩ n ⎭ n =1

−∞ 4. lim − 3n = −∞ n→∞

, {− 3n}n =1 = {− 3,−6,−9,...} barisan tak naik ∞

, {− 3 < −6 < −9 < ...} tak terbatas dibawah Karena {− 3n}n =1 barisan tak naik dan tak turun dibawah, maka {− 3n}n =1 divergen ke ∞

∞

−∞ 1 5. lim − n = −∞ n→∞ 2

∞

3 ⎫ ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 , ⎨− n ⎬ = ⎨− ,−1,− ,...⎬ barisan tak naik 2 ⎭ ⎩ 2 ⎭ n =1 ⎩ 2

3 ⎫ ⎧ 1 , ⎨− < −1 < − < ...⎬ tak terbatas dibawah 2 ⎭ ⎩ 2

∞

∞

⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫ Karena ⎨− n ⎬ barisan tak naik dan tak turun dibawah, maka ⎨− n ⎬ divergen ke ⎩ 2 ⎭ n =1 ⎩ 2 ⎭ n =1

−∞ Teorema 3.4.11 Misalkan {χ n }n =1 adalah barisan bilangan real. Maka {χ n }n =1 mempunyai barisan ∞

∞

bagian yang monoton.

Ilustrasi: 1.

{ n}

2.

{− n − 2}∞n=1 = {− 3,−4,−5,...} mempunyai barisan bagian yang monoton.

3.

{3n − 1}∞n=1 = {2,5,8,...} mempunyai barisan bagian yang monoton.

4.

{4 + 2n}∞n=1 = {6,8,10,...} mempunyai barisan bagian yang monoton.

5.

{− 5n}∞n =1 = {− 5,−10,−15,...} mempunyai barisan bagian yang monoton.

∞ n =1

{

}

= 1, 2 , 3 ,... mempunyai barisan bagian yang monoton.