Test Du Chi2

Auteur : Sylvain Hanneton (24/10/08)Maître de Conférences, Université Paris Descartes

Le test du 2 Table des matières Objectif du test...............................................................................................................................................1 Comparaison entre une distribution observée et une distribution théorique..................................................1 Principe......................................................................................................................................................1 Calculs.......................................................................................................................................................1 Exemple.....................................................................................................................................................2 Test de la liaison entre deux variables quantitatives......................................................................................2 Principe......................................................................................................................................................2 Le calcul du ..............................................................................................................................................2 Test de l'hypothèse....................................................................................................................................3 Les outils pour effectuer le test ?...................................................................................................................3 Avec un tableur.........................................................................................................................................3 Avec le logiciel R......................................................................................................................................4 Table du .........................................................................................................................................................4 Statut de la fiche : en cours............................................................................................................................4

NB : La lettre grecque  peut aussi se noter indifféremment « khi » ou « chi ».

Objectif du test Ce test paramétrique est utiliser pour cerner le lien pouvant exister entre deux variables qualitatives. Rappel : Une variable aléatoire qualitative concernant une propriété peut être à deux classes (pile/face, oui/non, gagne/perd), mais également comporter plusieurs classes (couleurs, équipe, vote pour/ contre/sans opinion etc...). Si l'on peut utiliser la comparaison de pourcentages pour les variables qualitatives à deux classes ou variables dichotomiques, ces techniques ne sont pas adaptées lorsque les effectifs d’une population se distribue en plusieurs classes. Il faut alors utiliser les tests liés non pas à la distribution de l’écart réduit, mais à la distribution dite du  2 .

Comparaison entre une distribution observée et une distribution théorique Principe On cherche à savoir si la distribution des individus d'un échantillon dans plusieurs classes s'éloigne d'une distribution théorique. Hypothèse nulle : on suppose que l'échantillon a été prélevé dans une population dont la distribution en k classes obéit à la distribution théorique. Autrement dit, on suppose que les différences observées entre la distribution théorique et la distribution observée sont dues au hasard de l'échantillonnage. Calculs Pour comparer une distribution observée à une distribution théorique d’un caractère qualitatif à k classes, il faut calculer la quantité (dite « le KHI deux ») :

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1

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2

i= k

 =∑ i =1

o

t 2

 ni −ni 

nti

(1)

o

t

où ni est le nombre d'individus de l'échantillon appartenant à la classe i et ni le nombre d'individus appartenant à la classe i dans la distribution théorique. On cherche ensuite la probabilité  correspondante dans la table de ² pour le nombre de degrés de liberté ddl = k −1  . Si cette probabilité  est supérieure à 5% (0,05), la différence est considéré comme n’étant pas significative. Si cette probabilité est inférieure ou égale à 5%, alors la différence entre la distribution observée et la distribution théorique est significative, et la probabilité  mesure son degré de signification. On rejette alors l’hypothèse nulle qui suppose que l’échantillon est prélevé d’une population suivant la distribution théorique. Exemple On cherche à savoir si un dé n'est pas « pipé » : un dé est pipé si la distribution des n tirages effectués en six classes (correspondant aux six faces du dé) obéit à la distribution théorique (n/6,n/6,n/6,n/ 6,n/6,n/6).

Test de la liaison entre deux variables quantitatives Principe La comparaison de deux ou plusieurs échantillons se pose ici en terme de comparaison de distributions des effectifs de ces échantillons. La question associée est la suivante : est-il raisonnable de penser que les deux échantillons proviennent de la même population ? Répondre à cette question est également un moyen d’étudier la dépendance ou l’indépendance de deux variables qualitatives. Par exemple, on peut considérer la variable « couleur des cheveux » (blonds, bruns, noirs, roux) à 4 classes, et étudier la distribution de ce caractère dans trois échantillons respectivement composés de personnes aux yeux bleus, verts/gris et marrons (variable qualitative « couleur des yeux » à trois classes). Le test de comparaison des distributions de couleurs de cheveux dans ces deux échantillons permettra d’établir s’il est raisonnable que ces échantillons proviennent de la même population. Autrement dit, si cette dernière hypothèse est rejetée, il sera raisonnable de considérer qu’il existe un lien entre la couleur des yeux et la couleur des cheveux. Hypothèse nulle : on suppose que les deux échantillons ont été prélevés dans la même population.. Autrement dit, on suppose que les différences observées entre les deux distributions observées dans les échantillons sont dues au hasard de l'échantillonnage. Autrement cette hypothèse suppose qu'il n'existe pas de lien entre les deux variables qualitatives considérées. Le calcul du

2

Pour éprouver l’indépendance de deux variables qualitatives V1 et V2 l’une à k classes, l’autre à r classes, on fait d’abord l’hypothèse que ces deux variables sont indépendantes (hypothèse nulle) et puis on calcule ensuite les effectifs théoriques associés à cette hypothèse d’indépendance. Pour cela on dresse le tableau des contingences existant entre les deux variables qualitatives nommées ici V1 et V2 :

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V2 classe 1 V2 classe 2 ... o

o

V1 classe 1

n1,1

V1 classe 2

no2, 1

V2 classe j

...

no1, j

n1,2

V2 classe r

Total

o

TL1

n1, r

TL2

... V1 classe i

o

o

ni ,1

TLi

ni , j

... o

V1 classe k

nk ,1

Total

TC1

TC2

TC j

nk , r

o

TLk

TCr

TG

Tableau 1: Tableau de contingence entre les variables V1 et V2 En effet, si les effectifs se distribuent de façon indépendante dans les différentes classes des deux t variables considérées, alors ces effectifs théoriques ni , j sont données par la relation suivante :

nti , j =

TC j⋅TLi (2) TG

où TG représente l'effectif total et TC j et TLi les totaux respectifs de la colonne j et de la ligne i. On calcule ensuite la valeur du 2 : i=k j=k

 =∑ ∑ 2

o

t

ni , j −ni , j 

i=1 j=1

t

ni , j

2

(3)

Test de l'hypothèse

 Si, pour le risque considéré et le nombre de degrés de liberté considérés ( ddl =k −1⋅r−1 ) la valeur du 2 dépasse une valeur limite appellée ici 2lim ¿ alors la liaison sera considérée comme significative car la distribution des effectifs est trop éloignée de la distribution attendue considérant l'hypothèse nulle. On dira donc qu'il existe une liaison significative entre les deux variables. La valeur de 2lim ¿ est donnée par la table de la distribution du 2 pour le risque  et pour le nombre de degrés de liberté k −1⋅ r−1 considérés. On utilise usuellement un risque  égal à 5% (0,05).

Les outils pour effectuer le test ? Avec un tableur Il est très simple d'effectuer le test avec un tableur. Par exemple, le tableur d'OpenOffice propose la fonction TEST.KHIDEUX qui propose de calculer la valeur du risque (probabilité) à partir de deux plages de données : le tableau des données observées et celui des effectifs théoriques. Il est donc nécessaire d'appliquer l'équation (2) ci-dessus permettant de calculer les effectifs théoriques. La fonction LOI.KHIDEUX permet d'obtenir la probabilité  (ou p) associée à une valeur de 2 et à un nombre de degrés de liberté donné.

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Avec le logiciel R Le logiciel R propose une fonction permettant de réaliser sans problème ce test.

Table du 2 ddl 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 500

0,5

0,3

0,2

0,1

0,05

0,025

0,01

0,001

0,455

1,074

1,642

2,706

3,841

5,024

6,635

10,827

1,386

2,408

3,219

4,605

5,991

7,378

9,210

13,815

2,366

3,665

4,642

6,251

7,815

9,348

11,345

16,266

3,357

4,878

5,989

7,779

9,488

11,143

13,277

18,466

4,351

6,064

7,289

9,236

11,070

12,832

15,086

20,515

5,348

7,231

8,558

10,645

12,592

14,449

16,812

22,457

6,346

8,383

9,803

12,017

14,067

16,013

18,475

24,321

7,344

9,524

11,030

13,362

15,507

17,535

20,090

26,124

8,343

10,656

12,242

14,684

16,919

19,023

21,666

27,877

9,342

11,781

13,442

15,987

18,307

20,483

23,209

29,588

10,341

12,899

14,631

17,275

19,675

21,920

24,725

31,264

11,340

14,011

15,812

18,549

21,026

23,337

26,217

32,909

12,340

15,119

16,985

19,812

22,362

24,736

27,688

34,527

13,339

16,222

18,151

21,064

23,685

26,119

29,141

36,124

14,339

17,322

19,311

22,307

24,996

27,488

30,578

37,698

15,338

18,418

20,465

23,542

26,296

28,845

32,000

39,252

16,338

19,511

21,615

24,769

27,587

30,191

33,409

40,791

17,338

20,601

22,760

25,989

28,869

31,526

34,805

42,312

18,338

21,689

23,900

27,204

30,144

32,852

36,191

43,819

19,337

22,775

25,038

28,412

31,410

34,170

37,566

45,314

20,337

23,858

26,171

29,615

32,671

35,479

38,932

46,796

21,337

24,939

27,301

30,813

33,924

36,781

40,289

48,268

22,337

26,018

28,429

32,007

35,172

38,076

41,638

49,728

23,337

27,096

29,553

33,196

36,415

39,364

42,980

51,179

24,337

28,172

30,675

34,382

37,652

40,646

44,314

52,619

25,336

29,246

31,795

35,563

38,885

41,923

45,642

54,051

26,336

30,319

32,912

36,741

40,113

43,195

46,963

55,475

27,336

31,391

34,027

37,916

41,337

44,461

48,278

56,892

28,336

32,461

35,139

39,087

42,557

45,722

49,588

58,301

29,336

33,530

36,250

40,256

43,773

46,979

50,892

59,702

499,334

516,087

526,401

540,930

553,127

563,851

576,493

603,446

NB : Cette table a été calculée avec la fonction KHIDEUX.INVERSE d'un tableur

Statut de la fiche : en cours de construction...

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