Correlation

Auteur : Sylvain Hanneton (26/09/08)

Corrélation (covariance et coefficient de corrélation) Définition proposée

La  covariance  et le coefficient de  corrélation  sont des mesures quantitatives du lien qui peut  exister entre deux variables aléatoires X et Y. Le coefficient de corrélation donne une idée de l’intensité  de la liaison entre X et Y indépendamment des variances de X et de Y. Il est compris entre 1 (corrélation)  et ­1 (anticorrélation). Un coefficient de corrélation proche de 0 indique que les deux variables aléatoires  sont faiblements liées (faiblement corrélées). Définition de la covariance

Considérons   un   nuage   de   n   points   M i   ( i ∈[ 1..n ] )   de   coordonnées   x i   et   y i correspondant à deux variables aléatoires X et Y. La covariance des variables X et Y est donnée par les  formules suivantes : Covariance d'une population Covariance d'un échantillon n

cov  X , Y = où 

 X  et 

n

∑  x i−  X  y i – Y 

∑  xi − X  y i – Y 

i =1

cov  X , Y = i=1

n

Y  sont les moyennes de X et de Y.

où 

 X

Y

 et 

n−1

 sont les moyennes de X et de Y.

Coefficient de corrélation de Pearson

Le coefficient de corrélation est donné par  r = et Y.

cov  X , Y  où  s X  et  s Y  sont les écart types de X  s x⋅s y

Qualité d'une modélisation linéaire du nuage de points

Le   calcul   de   la   pente   a   d'une   droite   de   régression   (régression   simple)   se   fait   à   partir   de   la  covariance des variables X et Y :

a=

cov  X ,Y  sX et  r = a⋅  2 sX sY n

 Y ∑ xi yi – n⋅X⋅ Un calcul plus rapide de la pente se fait en utilisant la formule   a=

i=1 n

∑ xi ² – n⋅X ² i=1

La qualité d'une régression linéaire, c'est à dire sa capacité à modéliser le nuage de points peut être  quantifiée en utilisant le calcul du coefficient de détermination obtenu à partir du calcul du coefficient de  corrélation  r  entre X et Y. Le coefficient de détermination donne une idée du pourcentage de variance  expliquée (PVE) par le modèle.  Sauf mention contraire, le contenu du site est placé sous la protection de cette licence Creative Commons.

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Auteur : Sylvain Hanneton (26/09/08)

Coefficient de détermination 

cd = r²

Pourcentage de variance expliquée

PVE =100⋅r²

Par exemple un PVE de 10% (cd=0,1) indique que le modèle linéaire n'explique que 10% de la variance  du nuage de points. Tests statistiques associés : test de corrélation

Le test d’indépendance entre deux variables X et Y à partie d’un échantillon de n couples de  valeurs est basé sur le calcul de r qui est la valeur de la pente en coordonnées réduites1. Le risque    correspondant au coefficient de corrélation r peut être obtenu : ● soit par la table du coefficient de corrélation pour un nombre de degrés de liberté égal à n­2 ●

soit lorsque celle­ci est insuffisante en formant  t =

r

⋅  n − 2    et en cherchant le risque 

  1− r 2

correspondant dans la table du t de Student pour (n­2) degrés de liberté. Si   0.05  alors la liaison n’est pas significative et si   ≤0.05   la liaison est significative. Statut de la fiche : 

fiche provisoire à revoir 

1 Coordonnées réduites : chacune des données se voit retrancher sa moyenne et est divisée par son écart type...  Sauf mention contraire, le contenu du site est placé sous la protection de cette licence Creative Commons.

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