Correction Du Test Du 5 Novembre 2008

Correction du Test du 5 Novembre 2008. a) (MA) est tangente au cercle C en A donc (OA) est perpendiculaire a (MA) et par suite OAM=90o.[OA] est perpendiculaire a [OB] (donnée) et comme D et un point de (OB) donc (OA) est perpendiculaire a (OD) et par suite AOD=90o.(MD) est perpendiculaire a (OD) puisque D est le projeté orthogonal de M sur (OB) (donnée) et par suite MDO=90o. Le quadrilatère MAOD ayant trois angles droits est un rectangle. b) MDP=PCO=90o.(première paire d’angle) MPD=OPC (angle opposes par le sommet) (2eme paire d’angle) Donc DMP=COP (3eme paire d’angle). OA=DM (cote opposes dans un rectangle) et comme OA=OC (rayons d’un même cercle) donc OC=DM. Théorème ACA Eléments homologues : PM=PO ; DP=PC. c) Puisque PM=PO (cotes homologues) donc le triangle PMO est isocèle en P. d) MCO est un triangle rectangle en C car (MC) tangente au cercle en C. MDO est un triangle rectangle en D car MDOA est un rectangle. Donc le deux triangles rectangles ayant même hypoténuses [MO] sont inscrits dans un même cercle de diamètre leur hypoténuse commune [MO] de centre le milieu de l’hypoténuse et de rayon la moitie de MO. e) Dans le triangle MOI, (MC) est perpendiculaire a [OI], (OD) est perpendiculaire a [MI] donc P est le point de rencontre des supports des hauteurs relatives a [OI] et [MI] respectivement.et par suite la droite joignant le troisième sommet du triangle a l’orthocentre P du triangle est la troisième hauteur relative au troisième cote du triangle [MO] et par suite (IP) est perpendiculaire a [MO]. f) OD=OP+PD CM=PM+PC Or on a OP=PM (cotes homologues) PC=PD (d.d)

Donc OD=CM. g) Il Faut démontrer que le triangle possède un angle droit +un angle de 30o ou de 60o. h) Il faut utiliser les propriétés du triangle semi équilatéral. Cote oppose a 3ooet cote oppose a 6oo.