Terza E Quarta Lezione

CDL in Tecniche Ortopediche Misure Elettriche ed Elettroniche Anno Accademico 2009/2010 Docente Michele Casella Numero di Crediti 1 SSD ING-INF/07 M. Casella, a.a. 2009/2010 m. casella, a.a 2009/2010

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Fondamenti di elettricità: corrente elettrica,

tensione

elettrica,

resistenza elettrica, induttanza e capacitanza, effetto Joule

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Qualche concetto introduttivo (I) L’Atomo ¾ nucleo (pesante e piccolo), formato da protoni (+) e neutroni (NO carica, neutri) ¾ nuvola di elettroni (-) orbitanti (leggeri e lontani) a diversa distanza ¾ sono i mattoni della materia (tutto è composto da atomi)

Qualche concetto introduttivo (II) La struttura è tale che gli elettroni “esterni” sono

debolmente

legati

e

ne

permettono

il

movimento attraverso il materiale, se è applicato un campo elettrico

Qualche concetto introduttivo (III) 9 Tensione o differenza di potenziale: è il salto di energia che gli elettroni compiono fra 2 punti del circuito; si misura in Volt (V) 9 Corrente: Corrente è il flusso degli elettroni, cioè la quantità di elettroni che “attraversano” un determinato punto nel circuito; si misura in Ampère (A) 9 Energia: Energia è quella grandezza che permette di compiere lavoro (movimento, calore, luce...); si misura in Joule (J) o più frequentemente in Kilowattora (kWh)

Corrente continua ed alternata: DEFINIZIONI 9 Corrente Continua (DC): quando gli elettroni “ruotano” sempre nello stesso verso -pile, batterie, circuiti elettronici, automobile 9 Corrente Alternata (AC): quando gli elettroni vanno continuamente “avanti e indietro”; se il cambiamento avviene 50 volte al secondo (p.es) si dice che la frequenza è di 50 Hz - prese dell’impianto elettrico, illuminazione domestica e pubblica, centrali ENEL

La corrente elettrica continua 9 Un conduttore ideale all’equilibrio elettrostatico ha un campo elettrico nullo al suo interno 9 Cosa succede se viene generato un campo elettrico diverso da zero al suo interno? Æ La risposta è la comparsa di cariche in moto, vale a dire di una corrente!

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La corrente elettrica continua 9 la nascita della corrente elettrica è dovuta all’ideazione da parte di Alessandro Volta (17451827) della pila (1800) 9 tra l’altro il concetto di corrente rende possibile studiare in maniera quantitativa il fenomeno del magnetismo 9 Scopo di questa prima parte di lezione Æ introdurre alcuni concetti legati alla corrente elettrica m. casella, a.a 2009/2010

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La corrente elettrica continua 9 la corrente elettrica è definita come la quantità di carica che nell’unità di tempo attraversa una sezione δa di qualunque conduttore

dQ I= dt 9 Purtroppo tale definizione non si collega direttamente al moto microscopico delle cariche elettriche ovvero ai portatori di cariche. m. casella, a.a 2009/2010

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La corrente elettrica continua

9 è necessario pertanto rifarsi ad un modello microscopico sul moto delle cariche

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Densità di carica di corrente 9 sia dQ la carica contenuta in un volume d3r . La densità di carica, indicata con ρ è definita dalla seguente relazione

dQ = ρd r 3

9 N/B nel caso di una corrente le cariche sono in moto!!! m. casella, a.a 2009/2010

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Densità di carica di corrente 9 in ogni caso supporremo che ciascun portatore abbia una sola carica fondamentale. Pertanto se si indica con n la densità numerica (numero di particelle per unità di volume) di portatori, potremo scrivere:

ρ = nq

9 dove q è la carica fondamentale m. casella, a.a 2009/2010

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Densità di carica di corrente 9 procediamo quindi con un modello microscopico 9 in condizioni di equilibrio elettrostatico, il campo elettrico in un conduttore è nullo 9 Se tuttavia ai suoi estremi si genera una differenza di potenziale, al suo interno si crea un campo elettrico diverso da zero 9 tale campo produce una forza elettrica che mette in moto le cariche mobili del conduttore m. casella, a.a 2009/2010

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Densità di carica di corrente 9 si consideri un conduttore filiforme di sezione costante δa. Se tutte le cariche in moto hanno la stessa velocità v dopo un tempo Δt il numero di cariche caontenute nel volumetto di base δa ed altezza vΔt sarà:

∆N = nvδa∆t m. casella, a.a 2009/2010

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Densità di carica di corrente

9 se moltiplichiamo per la carica fondamentale ciascun membro dell’eq. Precedente avremo la quantità di carica presente nello stesso volumetto

∆Q = ρvδa∆t m. casella, a.a 2009/2010

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Densità di carica di corrente 9se dividiamo per l’intervallo temporale

∆Q ρvδa∆t = ∆t ∆t 9 e passando al limite per ΔtÆ0

∆Q lim = ρvδa ∆t → 0 ∆t m. casella, a.a 2009/2010

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Densità di carica di corrente 9 troviamo proprio la corrente che fluisce nel conduttore, cioè

I = ρvδa 9 se introduciamo la seguente grandezza, detta densità di corrente

j = ρv m. casella, a.a 2009/2010

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Densità di carica di corrente 9 potremo scrivere

I = jδa 9 al secondo membro abbiamo il modulo di una grandezza superficiale, cioè un flusso attraverso una superficie m. casella, a.a 2009/2010

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Densità di carica di corrente 9 se la densità e la velocità cambiano da punto a punto , potremo scrivere

I=

∫ d au ⋅ j 2

a

δa

9 una corrente può sempre pensarsi come il flusso

di un vettore “densità corrente” attraverso la superficie considerata m. casella, a.a 2009/2010

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Densità di corrente e portatori di carica 9 abbiamo detto che la corrente, in generale, può essere costituita sia da portatori di carica positiva che negativa. Potremo allora scrivere

j− = n e qe v

j+ = nqv

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Densità di corrente e portatori di carica 9 ricordiamo

che,

per

convenzione,

la

carica

dell’elettrone è negativa 9Ancora

per

convenzione,

si

è

scelto

come

corrente positiva quella dei portatori di carica positiva, cioè

j = j+ = nqv

9 nei conduttori metallici i portatori sono elettroni, quindi il moto reale m.ècasella, opposto a.a 2009/2010 a quello definito per 21

Legge di Ohm – un’introduzione

9 E’

una

semplice

matematica

che

formula collega

TENSIONE e CORRENTE in un conduttore 9 il

parametro

RESISTENZA

caratterizza il conduttore e si misura in Ohm

Legge di Ohm 9 in condizioni di equilibrio elettrostatico, il campo elettrico in un conduttore è nullo 9Se tuttavia, ai suoi estremi si genera una differenza di potenziale, al suo interno si genera un campo elettrico 9 questo campo produce una forza elettrica che mette in moto le cariche elettriche mobili del conduttore Æ si genera una corrente elettrica nel conduttore!

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Legge di Ohm 9 Esperimenti condotti su una classe di conduttori hanno mostrato che il campo elettrico generato dal conduttore è proporzionale alla densità di corrente

E = rρ j dove rρ è una costante detta resistenza specifica che dipende dal materiale m. casella, a.a 2009/2010

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Legge di Ohm 9 la precedente equazione è detta legge locale di Ohm. 9 la convenzione adottata è quella che va da punti di potenziale maggiore a quelli a potenziale minore

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Legge di Ohm

9 la

legge

di

Ohm

che

abbiamo

appena

presentato ha il vantaggio concettuale di anteporre il concetto di campo a quello di corrente

Æ

più

semplicemente,

senza

la

creazione del campo elettrico all’interno del conduttore non vi sarebbe il moto delle cariche e quindi la corrente! m. casella, a.a 2009/2010

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Legge di Ohm

9 tuttavia, una seconda forma, detta anche forma

integrale

della

legge

di

Ohm

è

estremamente importante, perché si presta ad una immediata verifica sperimentale e perché contiene in maniera esplicita la corrente elettrica che nel S.I. è un’unità di misura fondamentale m. casella, a.a 2009/2010

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Legge di Ohm

9 si prenda un filo conduttore, di sezione costante δa e di lunghezza L 9 la differenza di potenziale ai capi del conduttore può scriversi come

∆V = EL m. casella, a.a 2009/2010

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Legge di Ohm

9Il campo (E) è data dalla legge di Ohm , per cui dalla precedente relazione si ottiene

∆V = rρ jL 9 non rimane che esprimere la densità di corrente in funzione della corrente m. casella, a.a 2009/2010

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Legge di Ohm

9 essendo noi in regime stazionario avremo

I = jδa 9 e quindi

rρ L ∆V = I δa m. casella, a.a 2009/2010

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Legge di Ohm

9 la quantità

L 1 L R = rρ = δa σ δa si chiama resistenza del conduttore e si misura in Ohm (Ω).

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Legge di Ohm

9 la legge di Ohm (definizione più “celebre”) dice anche che la corrente che fluisce nel conduttore è proporzionale alla differenza di potenziale ai capi del conduttore

V m. casella, a.a 2009/2010

RI 32

Legge di Ohm

9 le dimensioni di R, nel S.I., sono quelle di volt su ampére

V R = A m. casella, a.a 2009/2010

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Legge di Ohm per un circuito

9 per generare una corrente in un conduttore occorre stabilire una differenza di potenziale ai suoi capi A e B 9 Questa

differenza

generata

da

continua

o

una da

di

potenziale

generatore

una

batteria

di

viene

corrente

esterno

al

conduttore. m. casella, a.a 2009/2010

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Legge di Ohm per un circuito

9 in particolare il dispositivo (mostrato in fig) è detto circuito elettrico m. casella, a.a 2009/2010

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Legge di Ohm per un circuito

9 Il conduttore è caratterizzato dalla sola

resistenza R, mentre il generatore sarà caratterizzato da una forza elettromotrice

Vfem e da una resistenza elettrica RG (resistenza interna)

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Legge di Ohm per un circuito 9 Il circuito elettrico sarà schematizzato come segue

9 dove i simboli

9 indicano il generatore e una resistenza m. casella, a.a 2009/2010

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Legge di Ohm per un circuito 9 per convenzione la corrente fluisce all’esterno del generatore dal polo positivo al polo negativo 9 la corrente che scorre nel circuito è determinata dalla legge di Ohm, con in serie le resistenze R ed

RG

V fem I= R + RG m. casella, a.a 2009/2010

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Legge di Ohm per un circuito 9 equazione che possiamo riscrivere come

RI = V fem − IRG 9 la quantità RI è uguale, per la legge di Ohm, alla differenza di potenziale ΔV ai capi A e B del conduttore

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Legge di Ohm per un circuito 9 quindi l’eq. per esprimere I si può riscrivere come

∆V = V fem − IRG

9 tale eq. ci dice che la differenza di potenziale ai capi A e B delle resistenza è sempre inferiore alla forza elettromotrice Vfem fornita dal generatore Æ si dice che vi è un caduta di potenziale ai capi della resistenza

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Legge di Ohm per un circuito 9 la eguaglia solo nel caso in cui il circuito si

aperto (I=0)

∆V = V fem m. casella, a.a 2009/2010

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Legge di Ohm per un circuito 9 supponiamo

ora

che

la

resistenza

R

del

conduttore sia praticamente nulla

9 in tal caso parliamo di “corto circuito”. Posto R=0 avremo

I=

V fem RG

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Legge di Ohm per un circuito 9 in definitiva potremo dire che la corrente elettrica in un circuito con solo resistenze può assumere

diversi

valori

in

funzione

della

resistenza e della differenza di potenziale. 9 in particolare può andare da un valore nullo (quando il circuito è aperto) ad un valore massimo (quando il circuito è in “corto”)

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Legge di Ohm – Resistenze in serie 9 come si comportano due resistenze in serie?

9 si abbiano due conduttori di resistenza R1 ed R2 in un circuito elettrico (come nella fig): queste sono due resistenze in serie! m. casella, a.a 2009/2010

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Legge di Ohm – Resistenze in serie 9 vogliamo determinare la resistenza equivalente

Req delle due resistenze in serie 9 ai

capi

delle

due

resistenze

avremo,

rispettivamente

∆VAB = R1 I

∆VBc = R2 I m. casella, a.a 2009/2010

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Legge di Ohm – Resistenze in serie 9 la differenza di potenziale tra i punti A e C sarà

∆VAC = ∆VAB + ∆VBC che diventa:

∆VAC = R1 I + R2 I = ( R1 + R2 ) I m. casella, a.a 2009/2010

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Legge di Ohm – Resistenze in serie 9 possiamo

concludere

che

la

resistenza

equivalente è

Req = R1 + R2 9Æ

le

resistenza

in

serie

si

sommano

linearmente! m. casella, a.a 2009/2010

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Legge di Ohm – Resistenze in parallelo 9 come si comportano due resistenza in parallelo?

9 si abbiano due conduttori di resistenza R1 ed R2 come in figura m. casella, a.a 2009/2010

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Legge di Ohm – Resistenze in parallelo 9 diremo che queste due resistenze sono in parallelo! 9 vogliamo anche in quuesto caso determinare la Req (resistenza totale) 9 legge di Ohm Æ

∆VAB I1 = R1

∆VAB I2 = R2 m. casella, a.a 2009/2010

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Legge di Ohm – Resistenze in parallelo 9 la corrente totale sarà

⎛1 ∆VAB 1 ⎞ = ∆VAB ⎜⎜ + ⎟⎟ I = I1 + I 2 = R ⎝ R1 R2 ⎠ 9 da cui

ovvero

1 1 1 = + Req R1 R2 m. casella, a.a 2009/2010

R1 R2 Req = R1 + R2 50

Legge di Ohm – Resistenze in parallelo e in serie 9 dai due esempi appena sviluppati è possibile estrapolare alcune considerazioni 9 per N resistori collegati in serie la Req è N

Req = ∑ Ri i =1

9 per N resistori collegati in parallelo la Req è

Req =

1

∑

m. casella, a.a 2009/2010

N

R i =1 i 51

Legge di Ohm – Resistenze in parallelo e in serie 9 da ciò emerge che dal caso della resistenza

equivalente

(Req) per

resistenze

in

serie

è

maggiore di ogni resistenza che fa parte della serie 9 nel caso di resistenze in parallelo, invece, la

resistenza equivalente (Req) è sempre minore della resistenza più piccola

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Effetto Joule 9 le cariche in moto nei conduttori subiscono continuamente degli urti 9 tali urti sono paragonabili a forze di attrito che rallentano le particelle cariche 9 la

presenza

di

questo

attrito

porterà

alla

dissipazione di parte della loro energia che poi apparirà sotto forma di riscaldamento del conduttore (effetto Joule) m. casella, a.a 2009/2010

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Effetto Joule 9 vogliamo

ora

determinare

l’energia

dissipata

nell’unità di tempo 9 il lavoro fatto dal campo elettrico per spostare una carica infinitesima dQ tra due punti del conduttore, tra i quali via sia una differenza di potenziale ∆V, è

dL = dQ∆V m. casella, a.a 2009/2010

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Effetto Joule 9 poiché la velocità iniziale e finale della carica sono identiche, ciò implica che tutto il lavoro del campo verrà dissipato Æ la forza dissipativa compie un lavoro pari e di segno opposto a quello del campo! 9 il calore dissipato per unità di tempo sarà

dL dQ = ∆V = I∆V dt dt m. casella, a.a 2009/2010

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Effetto Joule 9 usando la legge di Ohm in forma integrale ( ∆V = RI ) arriviamo

alla

seguente

espressione

dell’energia

dissipata per unità di tempo nel conduttore

dL 2 = RI dt

9 che rappresenta l’energia dissipata per unità di tempo

attraverso

gli

urti

degli

elettroni

di

conduzione del metallo contro gli altri elettroni del metallo e le varie imperfezioni (def. effetto Joule) m. casella, a.a 2009/2010

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I condensatori Un condensatore è un dispositivo in grado di immagazzinare energia. Ogni volta che abbiamo a che fare con due conduttori di forma arbitraria (armature), possiamo parlare di condensatore

Quando le armatura hanno cariche uguali e di segno opposto, +q e –q, il condensatore si dice carico, mentre con carica del condensatore si intende il valore assoluto della carica q presente su ciascuna m. casella, a.a 2009/2010 57 armatura

I condensatori N/B Fra le due armature cariche c’è una differenza di potenziale Si definisce capacità di un condensatore C la quantità

q C= ∆V C dipende solo dalla geometria

dei piatti e ci dice quanta carica serve ad un condensatore per portarlo ad una ∆V fissata m. casella, a.a 2009/2010

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I condensatori - carica il processo di carica in un condensatore consiste nel costruire un circuito che sia in grado di portare la carica +q e –q sulle armature Metodo comune: collegare ciascuna armatura ai capi di una batteria che fornisce una DDP. Quando

la DDP alle armature eguaglia quelli C’è un flusso di elettroni ai poli della batteria il attraverso i poli (negativo e condensatore risulta positivo). carico m. casella, a.a 2009/2010

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I condensatori Consideriamo ora un condensatore le cui armature siano due lastre conduttrici piane e parallele di area A e a distanza d l’una dall’altra, la carica del condensatore sia q e lo spazio tra le armature sia inizialmente riempito d’aria

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I condensatori il campo elettrico tra le armature sarà uniforme fintanto che ci manteniamo distanti dai bordi delle armature e varrà

σ E= ε0

Per la DDP avremo

σd ∆V = V1 − V2 = Ed = ε0 m. casella, a.a 2009/2010

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I condensatori ricordando che q=σA, abbiamo che la capacità vale

σSε 0 q S = = ε0 C0 = ∆V σd d Capacità che dipende solo dalla geometria m. casella, a.a 2009/2010

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I condensatori se ora riempiamo lo spazio tra le armature con un dielettrico di costante dielettrica ε=εoεr abbiamo

σ E= ε

∆V = V1 − V2 =

dσ

ε

σA q A = ε = ε = ε r C0 C= ∆V dσ d

Confrontando C e C0 per uno stesso condensatore si ottiene il valore di εr del dielettrico utilizzato

L’unico modo per aumentare la capacità di un condensatore, una volta fissata la sua geometria è di riempirlo con una lastra di dielettrico m. casella, a.a 2009/2010

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I condensatori in parallelo (I) i condensatori in parallelo sono tutti alla stessa DDP e la carica totale q immagazzinata in essi è la somma delle cariche su ciascun condensatore Il sistema equivale ad un condensatore alla stessa DDP e con carica q

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I condensatori in parallelo (II) Abbiamo

q1 = C1V , q2 = C2V ,..., qn = CnV q = q1 + q2 + ... + qn q = C1V + C2V + ... + CnV = (C1 + C2 + ... + Cn )V infine n q Ceq = = C1 + C2 + ... + Cn = ∑ Ci V i =1

esattamente il contrario delle resistenze!!! m. casella, a.a 2009/2010

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I condensatori in serie (I) i condensatori in serie sono ad una DDP tale che la carica q su ciascuno di essi è la stessa. stessa Il

sistema

equivale

ad

un

condensatore con carica q e con DDP pari alla somma delle DDP applicate

m. casella, a.a 2009/2010

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I condensatori in serie (II) Abbiamo

q q q V1 = , V2 = ,..., Vn = C2 Cn C1 V = V1 + V2 + ... + Vn

⎛ 1 1 1 ⎞ ⎟⎟q + ... + V = ⎜⎜ + Cn ⎠ ⎝ C1 C2 infine n 1 1 1 1 1 = + + ... + =∑ Ceq C1 C2 Cn i =1 Ci m. casella, a.a 2009/2010

esattamente il contrario delle resistenze!!! 67

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