Teorema Anril

2009 (107017000740) Pendidikan Matematika 5B

Fiqih Wulandari (107017000856) dan Neily El ‘Izzah

Analisis Real Contoh-contoh teorema

. 11/17/2009

Teorema 3.3.4, teorema 3.4.4, teorema 3.4.7, teorema 3.4.8, teorema 3.4.9, teorema 3.4.10, teorema 3.4.11

Teorema 3.3.4 Jika barisan {xn}n=1∞ konvergen ke L maka setiap barisan bagian dari {xn}n=1∞ juga konvergen ke L. Contoh

:

1. P = 14n+1n=1∞= 15,19,113,117,121,… Q=12n+1n=1∞= 13,15,17,19,111,…. Q adalah barisan bagian dari P yang

konvergen ke 0. 2. A=1nn=1∞= 11,12,13,14,15,… B=1n+7n=1∞= 18,19,110,111,112,…. B adalah barisan bagian dari P yang

konvergen ke 0. 3. M=1n+1n=1∞= 12,13,14,15,16,… N=1n2+1n=1∞= 12,15,110,117,126,…. N adalah barisan bagian dari P yang

konvergen ke 0. 4. E=1n+3n=1∞= 14,15,16,17,18,… F=1n+32n=1∞= 116,125,136,149,164,…. F adalah barisan bagian dari P yang

konvergen ke 0. 5. X=12n-1n=1∞= 11,13,15,17,19,… Y=12n+1n=1∞= 13,15,17,19,111,…. Y adalah barisan bagian dari P yang

konvergen ke 0.

Teorema 3.4.4 Jika barisan bilangan Real {xn}n=1∞ konvergen, maka {xn}n=1∞ terbatas

Contoh : 1. 1-12n2n=1∞= 12,78,1718,3132,4950,… → barisan tak turun dan terbatas

diatas. Konvergen ke 1. 2. 13nn=1∞= 13,16,19,112,115,… → barisan tak naik dan terbatas dibawah. Konvergen

ke 0. 3. 1-1n+1n=1∞= 12,23,34,45,56,… → barisan tak turun dan terbatas diatas. Konvergen

ke 1. 4. 1n+2n=1∞= 13,14,15,16,17,… → barisan tak naik dan terbatas dibawah. Konvergen

ke 0. 5. 1-14nn=1∞= 34,78,1112,1516,1920,… → barisan tak turun dan terbatas diatas.

Konvergen ke 1.

Teorema 3.4.7 Misalkan {xn}n=1∞ adalah barisan bilangan Real. Jika {xn}n=1∞barisan tak turun dan terbatas diatas, maka {xn}n=1∞ konvergen. Contoh : 1. n3n+3n=1∞= 16,29,312,415,518,… → barisan tak turun dan terbatas diatas.

Konvergen ke 13 2. 2n7n+2n=1∞ = 29,416,623,830,2037,… → barisan tak turun dan terbatas diatas.

Konvergen ke 27 3. n2n2+1n=1∞= 12,45,910,1617,2526,… → barisan tak turun dan terbatas diatas.

Konvergen ke 1. 4. 2n5n+5n=1∞ = 210,415,620,825,1030,… → barisan tak turun dan terbatas diatas.

Konvergen ke 25 5. 7n3n+3n=1∞= 76,149,2112,2815,3518,… → barisan tak turun dan terbatas diatas.

Konvergen ke 73

Teorema 3.4.8

Misalkan {xn}n=1∞ adalah barisan bilangan Real. Jika {xn}n=1∞ barisan tak turun dan tak terbatas diatas, maka {xn}n=1∞divergen ke ∞. Contoh : 1. n2n=1∞ = 1,4,9,16,25,… → barisan tak turun dan tak terbatas diatas. 2. n3n=1∞ = 1,8,27,64,125,… → barisan tak turun dan tak terbatas diatas 3. n2+1n=1∞ = 2,5,10,17,26,… → barisan tak turun dan tak terbatas diatas 4. n2+3n=1∞ = 4,7,12,17,28,… → barisan tak turun dan tak terbatas diatas 5. n2+nn=1∞ = 2,6,12,20,30 → barisan tak turun dan tak terbatas diatas

Teorema 3.4.9 Misalkan {xn}n=1∞ adalah barisan bilangan Real. Jika {xn}n=1∞ barisan tak naik dan terbatas dibawah, maka {xn}n=1∞ konvergen. Contoh: 1. n+3n+2n=1∞ = 43,54,65,76,87,… → barisan tak naik dan terbatas dibawah.

Konvergen 1. 2. n2+5n2n=1∞= 61,94,149,2116,3025,… → barisan tak naik dan terbatas dibawah.

Konvergen 1. 3. n2+6n2+1n=1∞= 72,105,1519,2217,3126,… → barisan tak naik dan terbatas

dibawah. Konvergen 1. 4. n2+8n2+3n=1∞= 94,127,1712,2419,3328,… → barisan tak naik dan terbatas

dibawah. Konvergen 1. 5. n3+4n3+2n=1∞= 53,1210,3129,6866,129127,… → barisan tak naik dan terbatas

dibawah. Konvergen 1.

Teorema 3.4.10 Misalkan {xn}n=1∞adalah barisan bilangan Real. Jika {xn}n=1∞ barisan tak naik dan tak terbatas dibawah, maka {xn}n=1∞ divergen ke -∞. Contoh: 1. 2n-n3n=1∞ =1,-4,-21,-56,-115,… → barisan tak naik dan tak terbatas dibawah 2. 5-n2n=1∞ = 4,1,-4,-11,-20 → barisan tak naik dan tak terbatas dibawah 3. -2nn=1∞= -2,-4,-6,-8,10,… → barisan tak naik dan tak terbatas dibawah 4. n-2n2n=1∞= -1,-7,-15,-28,-45,… → barisan tak naik dan tak terbatas dibawah 5. 3-n3n=1∞= 2,-5,-24,-61,-122,… → barisan tak naik dan tak terbatas dibawah

Teorema 3.4.11 Misalkan {xn}n=1∞ adalah barisan bilangan Real. Maka {xn}n=1∞ mempunyai barisan bagian yang monoton. Contoh: 1. 1n2n=1∞= 11,14,19,116,125,… → monoton kebawah 2. 3n4nn=1∞= 34,34,34,34,34,… → monoton konstan 3. 22n+2n=1∞= 24,26,28,210,212,… → monoton kebawah 4. n2+2nn=1∞= 3,8,15,24,35,… → monoton keatas 5. 3nn=1∞= 1,32, 33, 34,35,… → monoton keatas