200 9 Teorema 3.3.4 Jika barisan
konvergen ke L maka setiap barisan bagian dari
juga
konvergen ke L. Contoh
:
1. P =
= =
. Q adalah barisan bagian dari P yang konvergen ke 0.
=
2.
=
. B adalah barisan bagian dari P yang konvergen ke 0.
=
3.
=
Analisis Real
. N adalah barisan bagian dari P yang konvergen ke
Contoh-contoh teorema
0.
= Teorema 3.3.4, teorema 3.4.4, teorema 3.4.7, teorema 3.4.8,
4.
teorema 3.4.9, teorema 3.4.10, teorema 3.4.11
=
. F adalah barisan bagian dari P yang konvergen
ke 0. 5.
= =
. Y adalah barisan bagian dari P yang konvergen ke 0.
Fiqih Wulandari (107017000856) dan Neily El ‘Izzah (107017000740) Pendidikan Matematika 5B . 11/17/2009
Teorema 3.4.4 Jika barisan bilangan Real
konvergen, maka
terbatas
Contoh : → barisan tak turun dan terbatas diatas.
=
1.
Konvergen ke 1. → barisan tak naik dan terbatas dibawah. Konvergen ke 0.
=
2.
→ barisan tak turun dan terbatas diatas. Konvergen ke 1.
=
3.
→ barisan tak naik dan terbatas dibawah. Konvergen ke 0.
=
4.
→ barisan tak turun dan terbatas diatas. Konvergen ke
5.
1.
Teorema 3.4.7 Misalkan
adalah barisan bilangan Real. Jika
diatas, maka
barisan tak turun dan terbatas
konvergen.
Contoh : 1.
=
2.
=
barisan tak turun dan terbatas diatas. Konvergen ke
3.
=
barisan tak turun dan terbatas diatas. Konvergen ke 1.
4.
5.
=
=
barisan tak turun dan terbatas diatas. Konvergen ke
barisan tak turun dan terbatas diatas. Konvergen ke
barisan tak turun dan terbatas diatas. Konvergen ke
Teorema 3.4.8 Misalkan
adalah barisan bilangan Real. Jika
terbatas diatas, maka
divergen ke
barisan tak turun dan tak
.
Contoh : 1.
=
2.
=
→ barisan tak turun dan tak terbatas diatas. → barisan tak turun dan tak terbatas diatas
3.
=
→ barisan tak turun dan tak terbatas diatas
4.
=
→ barisan tak turun dan tak terbatas diatas
5.
=
→ barisan tak turun dan tak terbatas diatas
Teorema 3.4.9 Misalkan
adalah barisan bilangan Real. Jika
dibawah, maka
barisan tak naik dan terbatas
konvergen.
Contoh: 1.
=
barisan tak naik dan terbatas dibawah. Konvergen 1.
2.
=
3.
=
barisan tak naik dan terbatas dibawah. Konvergen 1.
4.
=
barisan tak naik dan terbatas dibawah. Konvergen 1.
5.
=
barisan tak naik dan terbatas dibawah. Konvergen 1.
barisan tak naik dan terbatas dibawah. Konvergen 1.
Teorema 3.4.10 Misalkan
adalah barisan bilangan Real. Jika
terbatas dibawah, maka
barisan tak naik dan tak
divergen ke - .
Contoh: =
1.
=
2.
barisan tak naik dan tak terbatas dibawah
=
3.
barisan tak naik dan tak terbatas dibawah
barisan tak naik dan tak terbatas dibawah =
4.
=
5.
barisan tak naik dan tak terbatas dibawah barisan tak naik dan tak terbatas dibawah
Teorema 3.4.11 Misalkan
adalah barisan bilangan Real. Maka
yang monoton. Contoh: 1.
=
2.
=
3.
monoton kebawah monoton konstan = =
4. 5.
monoton kebawah
=
monoton keatas monoton keatas
mempunyai barisan bagian