Syarat C.docx

SYARAT C-R PADA KOORDINAT KUTUB DAN ATURAN PENDIFERENSIALAN

Oleh: 1. Ma’rifatul Ulum

(140210101103)

2. Fristia Aulia Maudi

(150210101073)

3. Ika Arum Cahyani

(150210101092)

4. Yuris Mimbadri

(150210101112)

Dosen Pengampu: Ervin Oktavianingtyas, S.Pd., M.Pd Lioni Anka Monalisa, S.Pd., M.Pd

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PENDIDIKAN MIPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER 2017

3.3 Syarat C-R Pada Koordinat Kutub Jika

f(z) = u(x, y) + iv(x, y) dapat

dilustrasikan

dalam

koordinat

kartesius maka dengan menggunakkan hubungan 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑 dan 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜑, diperoleh 𝑧 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜑, sehingga 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑟, 𝜑) + 𝑖𝑣(𝑟, 𝜑) dalam sistem koordinat kutub. Teorema 3.1 Jika 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑟, 𝜑) + 𝑖𝑣(𝑟, 𝜑) terdiferensial dan kontinu pada suatu kitar (𝑟0 , 𝜑0 ) dan jika dalam kitar tersebut ur, 𝑢𝜑 , 𝑣𝑟 , 𝑣𝜑 ada dan kontinu di (𝑟0 , 𝜑0 ) dan dipenuhi C-R yaitu: 𝜕𝑢 𝜕𝑟

=

1 𝜕𝑣 𝑟 𝜕𝜑

dan

𝜕𝑢

𝜕𝑣

= − 𝜕𝑟 , 𝑟 ≠ 0 𝜕𝜑

Maka 𝑓’(𝑧) = 2 ada di 𝑧 = z0 dan 𝑓’(𝑧) (𝑐𝑜𝑠 φ0 – 𝑖 𝑠𝑖𝑛 φ0) [ur(r0, φ0) + 𝑖 vr (r0, φ0)]. Contoh 3.1 Diketahui 𝑓(𝑧) = z-3 ,tentukan 𝑓’(𝑧) dalam bentuk koordinat kutub ! Jawab: 𝑓(𝑧) = z-3 = r-3(𝑐𝑜𝑠 3𝜑 – 𝑖 𝑠𝑖𝑛 3𝜑) → 𝑢 = 𝑟 − 3𝑐𝑜𝑠 3𝜑, sehingga ur = -3r-4 cos 3𝜑 dan 𝑢𝜑 = -r-3 sin 3𝜑 → v = -r-3 sin 3φ, sehingga vr = 3r-3 sin 3𝜑 dan 𝑣𝜑 = -r-3 cos 3𝜑 Keenam fungsi ini kontinu dan syarat C-R dipenuhi untuk semua z ≠ 0 Jadi 𝑓(𝑧) = z-3 terdiferensial untuk 𝑧 ≠ 0 Dengan demikian 𝑓’(𝑧) dalam koordinat kutub adalah : 𝑓 ′ = (cos 𝜑 − 𝑖 sin φ)(−3𝑟 −4 cos 3φ + 𝑖3𝑟 −4 sin 3φ) = 𝑐𝑖𝑠 (−φ)(−3𝑟 −4 ) 𝑐𝑖𝑠 (−3φ) = −3𝑟 −4 𝑐𝑖𝑠(−4φ) Contoh Soal : Dengan menggunakan definisi derivatif, tentukan : 𝑓’(𝑧) dan 𝑓’(𝑖) untuk 𝑓(𝑧) = 𝑧 2 + 5𝑧 Jawab :

Sesuai dengan definisi derivatif maka, 𝑓(𝑧0 +(𝑧−𝑧0 )−𝑓(𝑧0 ) (𝑧−𝑧0 ) 𝑧0 →𝑧

𝑓’(𝑧) = lim

= lim

𝑧0 →𝑧

𝑓(𝑧)−𝑓(𝑧0 ) (𝑧−𝑧0 )

(𝑧 2 +5𝑧)−(𝑧0 2 +5𝑧0 ) (𝑧−𝑧0 ) 𝑧0 →𝑧

= lim

𝑧 2 −𝑧0 2 +5𝑧−5𝑧0 (𝑧−𝑧0 ) 𝑧0 →𝑧

= lim

= lim

(𝑧 2 −𝑧0 2 )+5(𝑧−𝑧0 ) (𝑧−𝑧0 )

𝑧0 →𝑧

= lim

(𝑧−𝑧0 )(𝑧+𝑧0 )+5(𝑧−𝑧0 ) (𝑧−𝑧0 )

𝑧0 →𝑧

= lim (𝑧 + 𝑧0 ) + 5 𝑧0 →𝑧

=(𝑧 + 𝑧) + 5 = 2z + 5

3.4 Aturan Pendiferensialan 1.

dc 0 dz

Bukti : Jika 𝑓(𝑧) = 𝑐 maka secara umum, z  C diperoleh; f ' ( z )  lim

z 0

f ( z  z )  f ( z ) cc  lim 0 z 0 z z

sehingga diperoleh fungsi turunan dari 𝑓(𝑧) = 𝑐 adalah 𝑓’(𝑧) = 0. 2.

d ( z) 1 dz

Bukti: f ( z)  z

f ( z  z )  f ( z ) z z  z  z  lim z 0 z z  lim 1 z 0 z

f ' ( z 0 )  ( f )( z )  lim

z 0

Sehingga benar bahwa f ' ( z 0 )  1 atau dapat ditulis dengan 3.

d ( z)  1. dz

d {cf ( z )}  cf ' ( z ) dz

Bukti: Berdasarkan rumusan turunan fungsi f ' ( z ) 

dy f ( z  h)  f ( z )  lim h  0 dz h

Kemudian dengan menggunakan rumus turunan yaitu F ( z )  c. f ' ( z ) dan F ( z) 

d [c. f ( z )] , c merupakan konstanta sehingga: dz

d [c. f ( z )] dz d [c. f ( z )] dz d [c. f ( z )] dz d [c. f ( z )] dz d [c. f ( z )] dz 4.

 c. f ' ( z ) c. f ( z  h)  c. f ( z ) h c.( f ( z  h)  f ( z ))  lim h 0 h f ( z  h)  f ( z )  c. lim h 0 h

 lim

h 0

 c. f ' ( z )

d { f ( z )  g ( z )}  f ' ( z )  g ' ( z ) dz

Bukti:

d [ f ( z  z )  g ( z  z )]  [ f ( z )  g ( z )] { f ( z )  g ( z )}  lim  z  0 dz z [ f ( z  z )  f ( z )] [ g ( z  z )  g ( z )]  lim  lim z 0  z  0 z z d d  f ( z)  g ( z) dz dz

5.

d { f ( z )  g ( z )}  f ' ( z )  g ' ( z ) dz

Bukti:

d [ f ( z  z )  g ( z  z )]  [ f ( z )  g ( z )] { f ( z )  g ( z )}  lim z 0 dz z [ f ( z  z )  f ( z )] [ g ( z  z )  g ( z )]  lim  lim z 0  z  0 z z d d  f ( z)  g ( z) dz dz

6.

d { f ( z )  g ( z )}  f ' ( z ) g ( z )  f ( z ) g ' ( z ) dz

Bukti: d [ f ( z  z )  g ( z  z )]  [ f ( z )  g ( z )] { f ( z )  g ( z )}  lim  z  0 dz z f ( z  z )[ g ( z  z )  g ( z )]  g ( z )[ f ( z  z )  f ( z )]  lim z 0 z [ g ( z  z )  g ( z )] [ f ( z  z )  f ( z )]  f ( z ) lim  g ( z ) lim z 0 z 0 z z d d  g ( z) f ( z)  f ( z) g ( z) dz dz

7.

d  f ( z)  g ( z) f ' ( z)  f ( z) g ' ( z)   dz  g ( z )  g ( z)

Bukti:  f ( z  z )   f ( z )   g ( z  z )    g ( z )  d  f ( z)         lim dz  g ( z )  z 0 z g ( z )[ f ( z  z )  f ( z )]  f ( z )[ g ( z  z )  g ( z )] 1  g ( z  z ) g ( z ) z g ( z) [ f ( z  z )  f ( z )] f ( z) [ g ( z  z )  g ( z )]  lim  lim 2 z 0 2 z 0 z z [ g ( z )] [ g ( z )]  lim

z 0



g ( z) f ' ( z)  f ( z) g ' ( z) [ g ( z )] 2

8.

dz n  nz n 1 s dx Berikut ini dibuktikan bahwa jika f ( z )  z n maka f ' ( z )  nz n1 , n

bilangan bulat negatif pula. Misalkan n bilangan bulat negatif. Misalkan m = −n. Oleh karena itu m  N dan f ( z )  z m 

1 1 , dengan  m g ( z) z

g ( z )  z m .Karena m  N maka g ' ( z )  mz m1  nz  n1 dengan menggunakan sifat turunan hasil bagi dua fungsi diperoleh; f ' ( z) 

0  g ( z)  1  g ' ( z)  g ' ( z)  ( g ( z )) 2 ( g ( z )) 2



 mz m1 ( z )  mz m1  nz n 1 z 2m

Dengan demikian telah dibuktikan bahwa jika

f ' ( z )  z n1 , n  Z atau bias ditulis dengan

f ( z)  z n

dz n  nz n 1 . dx

9. Jika h( z )  g[ f ( z )] maka h' ( z )  g ' [ f ( z )] f ' ( z ) biasa disebut dengan komposisi (aturan rantai)

dw dw d  . . dz d dz

Pembuktian: Diketahui: h( z )  g[ f ( z )] Akan dibuktikan: Jika h( z )  g[ f ( z )] maka h' ( z )  g ' [ f ( z )] f ' ( z ) Bukti: Misalkan: w  g ( f ( z ))

  f (z )

maka

Dengan menggunakan aturan rantai

dw dw d  . , sehingga dz d dz

dw dw d d ( g ( f ( z )) d ( f ( z )) d ( g ( f ( z ))  . = = = g '[ f ( z )] f ' ( z ) . dz d ( f ( z )) dz dz d dz

Latihan Soal Dengan menggunakan definisi derivatif, tentukan f’(z) dan f’(i) untuk; 1. 𝑓(𝑧) = 2. 𝑓(𝑧) =

1 𝑧2 2𝑧−1 𝑧+2𝑖

3. Tunjukkan bahwa 4. Tentukan

d sin z  cos z dz

dw jika w 3  3z 2 w  4 ln z  0 dz

Kunci Jawaban : 1

1. f(z) = 𝑧 2  𝑓’(𝑧) = 𝑙𝑖𝑚

𝑓(𝑧)−𝑓(𝑧10 )

𝑧1 →𝑧

= 𝑙𝑖𝑚

(𝑧1 +𝑧)

=

𝑧−𝑧1 1 1 − 𝑧2 𝑧2 1

=

𝑧 2 𝑧12

2𝑧 𝑧4

𝑧1 →𝑧 𝑧−𝑧1 2

= 𝑙𝑖𝑚

𝑧1 →𝑧 𝑧−𝑧1

(𝑧1 − 𝑧)(𝑧1 + 𝑧) 𝑧1 →𝑧 𝑧 2 𝑧12 (𝑧 − 𝑧1 )

= 𝑙𝑖𝑚

(𝑧1 + 𝑧) 𝑧1 →𝑧 𝑧 2 𝑧12

= 𝑙𝑖𝑚

= 𝑧3

2 𝑧2 1 −𝑧 2 2 𝑧 𝑧1



𝑓(𝑖) =

1 𝑖2

= −1

= 𝑙𝑖𝑚

𝑓(𝑖)−𝑓(𝑧1 ) 𝑖−𝑧1

𝑧1 →𝑖

= 𝑙𝑖𝑚

−1−(−1)

𝑧→𝑖

= 𝑙𝑖𝑚 0 𝑧→𝑖

𝑖−𝑧1

2. 𝑓(𝑧) = 

2𝑧−1 𝑧+2𝑖

𝑓’(𝑧) = 𝑙𝑖𝑚

𝑓(𝑧)−𝑓(𝑧1 ) 𝑧−𝑧1

𝑧1 →𝑧

= 𝑙𝑖𝑚

2𝑧−1 2𝑧1 −1 − 𝑧+2𝑖 𝑧1 +2𝑖

𝑧−𝑧1

𝑧1 →𝑧

= 𝑙𝑖𝑚

(2𝑧−1)(𝑧1 +2𝑖) (2𝑧−1)(𝑧+2𝑖) − (𝑧+2𝑖)(𝑧1 +2𝑖) (𝑧+2𝑖)(𝑧1 +2𝑖)

𝑧−𝑧1

𝑧1 →𝑧

2𝑧𝑧1 + 4𝑧𝑖 − 𝑧1 − 2𝑖 − (2𝑧𝑧1 + 4𝑧1 𝑖 − 𝑧 − 2𝑖) (𝑧 + 2𝑖)(𝑧1 + 2𝑖) = 𝑙𝑖𝑚 𝑧1 →𝑧 (𝑧 − 𝑧1 ) = 𝑙𝑖𝑚

4𝑧𝑖−𝑧1 −4𝑧1 𝑖+𝑧 (𝑧+2𝑖)(𝑧1 +2𝑖)

(𝑧−𝑧1 )

𝑧1 →𝑧

4𝑧𝑖−𝑧1 −4𝑧1 𝑖+𝑧

= lim

𝑧1 →z (𝑧+2𝑖)(𝑧1 +2𝑖)(𝑧−𝑧1 )

= lim

4𝑖(𝑧−𝑧1 )+1(𝑧−𝑧1 )

𝑧1 →z (𝑧+2𝑖)(𝑧1 +2𝑖)(𝑧−𝑧1 )

= lim

4𝑖+1

𝑧1 →z (𝑧+2𝑖)(𝑧1 +2𝑖) 4𝑖+1

= (𝑧+2𝑖)(𝑧+2𝑖) 4𝑖+1

= 𝑧 2 +4𝑧𝑖−4



𝑓(𝑖) = = lim

𝑧1 →i

= lim

2𝑖−1 𝑖+2𝑖

𝑧1 →i

= lim

3𝑖

2

1

= 3 − 3𝑖

𝑓(𝑖)−𝑓(𝑧1 ) 𝑖−𝑧1 2 1 2 1 − −( − ) 3 3𝑖 3 3𝑧1

𝑖−𝑧1

𝑧1 →i

= lim

2𝑖−1

=

1 1 3𝑖 3𝑧1

− +

𝑖−𝑧1 𝑧 +𝑖 − 1 3𝑖𝑧1

𝑧1 →i 𝑖−𝑧1 −𝑧1 +𝑖

= lim (𝑖−𝑧

1 )(3𝑖𝑧1 )

𝑧1 →i

1

= lim (3𝑖𝑧 𝑧1 →i

1)

1

= (3𝑖 2 ) 1

= −3

3.

d d eiz  eiz (sin z )  ( ) dz dz 2i =

1 d iz 1 d  iz  ( e ) -  (e ) 2i dz 2i dz

=

1 iz 1  ie -  (ie iz ) 2i 2i

eiz  e  iz = 2 =cos z

4.

d dw 4 w3  3z 2 w  4 ln z  w3  6 zw  dz dz z

d 4 w3  3z 2 w  4 ln z  0  6 zw  dz z d 4 w3  3z 2 w  4 ln z   6 zw  dz z