Sucesiones Y Distribuciones.docx

Sucesiones y distribuciones

La Sucesión de Fibonacci Consideremos la siguiente sucesión de números: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; ... cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden. Por ejemplo: 21 = 13 + 8; el siguiente a 34 será 34 + 21 = 55 Esta sucesión es la llamada “sucesión de Fibonacci” (Leonardo de Pisa 1170 - 1240) Los cocientes (razones) entre dos números de la sucesión, se aproximan más y más al número áureo (1’61803...). Esta sucesión de números aparece en la naturaleza en formas curiosas. Las escamas de una piña aparecen en espiral alrededor del vértice. Si contamos el número de espirales de una piña, encontraremos que siempre es igual a uno de los números de la sucesión de Fibonacci. Esta sucesión también aparece en el estudio de las leyes mendelianas de la herencia, en la divergencia foliar, en la formación de la concha de algunos moluscos... 4 Una manera práctica de dibujar una espiral es mediante la construcción rectangular en las espirales de cuadrados; se trata de dibujar el cuadrante de 5 un círculo en cada nuevo cuadrado que se añada. 1 3 En la construcción anterior, se empieza con un cuadrado de 1 unidad de lado 2 (el n° 1), se añade uno igual para formar un rectángulo de 2 x 1, a continuación añadimos un cuadrado de 2 x 2 (el n° 3) para formar un rectángulo de 3 x 2; después un cuadrado de 3 x 3 (el n° 4), de manera que el siguiente rectángulo es 5 x 3, el siguiente cuadrado es 5 x 5 (el n° 5), y así sucesivamente.

* 1; 2; 3; 4; 5; ...

(De los números naturales)

Es el conjunto ordenado de elementos (pueden ser números, letras, figuras o una combinación de los anteriores) donde, cada uno, ocupa un lugar establecido, tal que se puede distinguir el primero, segundo, tercero y así sucesivamente, acorde con una determinada ley de formación, criterio de orden o fórmula de recurrencia.

* 2; 4; 6; 8; 10; ...

(D e lo s nú me ro s pa re s positivos)

* 1; 3; 5; 7; 9; ...

(De los números impares positivos)

* 1; 4; 9; 16; 25; ...

(De los cuadrados perfectos)

Ejemplos:

* 1; 8; 27; 64; 125; ... (De los cubos perfectos)

* 4; 7; 10; 13; ... es una sucesión numérica y está constituida de modo que cada elemento es obtenido al añadirle tres unidades al elemento anterior a partir del segundo elemento.

Sucesiones numéricas importantes

A)

SUCESIONES

* B; D; F; H; ... es una sucesión literal donde cada término que sigue se obtiene considerando el orden que la letra ocupa en el alfabeto dejando un lugar y también la siguiente letra. *

1 ;

5 ;

9 ;

1. Sucesión aritmética: Sucesión numérica en la cual se fija el primer término y cada término siguiente, a partir del segundo se obtiene sumando al anterior un mismo número llamado diferencia común o razón de la progresión aritmética. Ejemplos: 2

13 ; .. . es un a s uc es ió n

En el presente capítulo analizaremos las sucesiones numéricas y literales. I. SUCESIONESNUMÉRICAS A continuación mostraremos algunas sucesiones notables:

5

+3

grafonumérica, donde cada elemento está constituido por una figura y un número.

;

24

;

8

+3

; -4

20

;

11 ;

...

+3

; -4

16

;

12 ;

...

-4

2. Sucesión geométrica: Sucesión numérica en la cual se fija el primer término diferente de cero y cada término siguiente a partir del segundo, se obtiene multiplicando al anterior por un mismo número diferente de cero, llamado razón de la progresión geométrica.

Ejemplos: •

Solución:

2

;

6

;

x3

•

24

18

;

x3

;

12

1 x 2

;

54 ;

...

3 ;

...

1+2+5=8 (Distribución matricial ley 2+4+2=8 de formación horizontal) 5+1+x=8  x=2

x3

6

1 x 2

;

• Hallar "x" en: 2 4 6

1 x 2

7 8 7 6 3 x

3. Sucesiones combinadas:

Solución:

Ejemplo: 4

;

6 ;

+2

18

x3

; 20

;

+2

x3

60

; ...

II. SUCESIONES LITERALES Es un conjunto ordenado de letras de acuerdo a un determinado criterio. Los criterios que vamos a considerar son: -

Lugar que ocupa la letra en el alfabeto. Las letras de doble grafía no se consideran en este tipo de sucesión (“CH”, “LL”)

2 + 7 + 6

4 + 8 + 3

6 + 7 + x

||

||

||

15

15

15

(Distribución matricial ley de formación vertical)  x=

• Hallar "x" en: 13 7

11 6

9

x 2

6

11

Ejemplos: Solución: • A; B; C; D; ...

sigue la letra ...

• C; E; G; I; ... • A; D; I; O; ... • A; B; D; H; ...

sigue la letra ... sigue la letra ... sigue la letra ...

B)DISTRIBUCIONES Son disposiciones de números o letras de tal manera que existe una determinada ley de formación. Para hallar la ley de formación se utilizan operaciones básicas y el análisis se realiza en forma vertical u horizontal en caso de tratarse de una distribución matricial o hallando alguna relación entre los números o letras ubicadas en el gráfico en el caso de una distribución gráfica. Ejemplos: • Hallar "x" en: 1 2 5

7 + 6 = 13

9 + 2 = 11  x = 17

6 + 11 = x

(Distribución gráfica) SUCESIONES ESPECIALES a) Sucesión de los números primos: 2; 3; 5; 7; 11; 13; ... b) Sucesión de Fibonacci: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; ... c) Sucesión de los números triangulares:

2 4 1

5 2 x

1; 3; 6; 10; 15; ...

Problemas para la clase

• En cada uno de los siguientes casos, indicar el término que continúa:

8. 2; 2; 4; 12; 48; ...

1. a) 60 d) 6

5; 10; 15; 20; ... a) 18 d) 25

b) 21 e) 28

c) 23

b) 132 e) 144

c) 240

9. 1; 5; 3; 15; 13; ...

2. a) 26 d) 65

3; 6; 12; 24; ... a) 42 d) 56

b) 48 e) 72

c) 50

b) 27 e) 43

c) 11

10. 5; -15; 45; -135; ...

3. a) 140 d) -140

6; 4; 8; 6; 12; ... a) 24 d) 10

b) 18 e) 8

c) 9

4.

b) 170 e) 405

c) -405

• En cada uno de los siguientes casos, determinar el valor de "x": 11.

B; E; H; K; ... a) M d) O

b) N e) P

6 5 7

c) Ñ

3 8 4

a) 8 d) 13

5. Z; X; V; T; ... a) S d) B

b) W e) R

c) U

3 4 12

6 5 30

a) 12 d) 20

A; B; D; G; ... b) C e) Ñ

b) 10 e) 15

c) K

b) 14 e) 31

4

21; 7; 12; 4; 9; ... b) 4 e) 17

7 2 x c) 17

13.

7.

a) 3 d) 14

c) 11

12.

6.

a) D d) P

9 13 x

3

2

6

4

24

x

2

3

7

c) 7 a) 70 d) 48

6

14

b) 40 e) 54

c) 36

• En cada uno de los siguientes casos, determinar el valor de "x".

14. 9

7

8

2

7

13 5

4

6. 6

a) 2 d) 5

24 10

x

b) 3 e) 6

3 6

c) 4

4

10

5 3

6

1

a) 3 d) 8

20

7

7

b) 5 e) 9

19

3

5 6

c) 7

3

5

12

x

5

8

c) 4

4

16

x

12 10

14 5

b) 42 e) 81

3

c) 12

c) M 9. 10

8

50

5

9

15

5

60

12

6

7

x

c) 195 a) 60 d) 42 c) Y

b) 56 e) 54

c) 48

10. 4

5.

13

10; 8; 4; 2; 1; ... b) -1 e) -2

7

6

a) 18 d) 16

B; E; J; P; ...

a) 0 d) 6

c) 77

2

6

4. b) X e) A

9

6

c) Ñ

5; 6; 12; 15; 60; 65; ...

a) W d) Z

x

b) 3 e) 6

3. b) 390 e) 145

3

1

C; E; G; I; ...

a) 260 d) 70

7

8.

2. b) L e) Ñ

8

a) 2 d) 5

B; D; G; K; ...

a) K d) J

9

7

2

1. b) N e) P

5

7.

BLOQUEII

a) M d) O

2

b) 63 e) 64

4

• Hallar el número o letra que sigue en las siguientes sucesiones:

2

30

a) 49 d) 81

x 2

4 36

15. 2

4

5 7

15

24

c) 3 a) 51 d) 60

6 8

12 x

35

b) 48 e) 66

3

c) 54

BLOQUE III

3.

6 8 12

• En cada uno de los siguientes casos determinar el valor de "x": a) 12 d) 4

1.

a) 36 d) 30

7

3

6

2

32

b) 38 e) 40

9

6

6

3

27

6

4

12

7

a) 2 d) 6

8 64 1

4.

b) 5 e) 8

b) 10 e) 7 12 23 52

c) 42 a) 20 d) 42

3 5 x

5 6 2

15 12 x c) 8

x

2. 25 81 9

2 4 3

(5) (9) (x)

11 13 21

b) 10 e) 61

c) 32

5. 3 2 4

c) 3 a) 15 d) 13

2 4 3 b) 11 e) 4

7 0 x c) 10

¡DEMUESTRA TU CREATIVIDAD! Luego de haber desarrollado la clase y resuelto los problemas, crea dos problemas pertinentes al tema y desafía a tus compañeros o también al profesor para que los resuelva. 1.

2.

Autoevaluación

* Determinar el número o letra que sigue en las siguientes sucesiones:

* En cada caso determinar el valor de "x". 4.

1.

6

4; 12; 9; 27; 24; ... a) 62 d) 21

b) 72 e) 48

13

12

7

5

c) 5

B; D; C; F; E; ...

11

X

13

a) 10 d) 14

2.

9

3

6

b) 13 e) 20

c) 16

5. a) I d) L

b) J e) Ñ

c) K

6

4

10

3

7

4

5

3

4

5

9

2

18

3.

22

X

0; 1; 2; 5; 20; 25; ... a) 120 d) 150

b) 130 e) 200

c) 180

a) 21 d) 24

b) 22 e) 25

c) 23

9