Sucesiones

Sucesiones MatemáTICas: 1,1,2,3,5,8,13, … http://profeblog.es/blog/luismiglesias

Profesor: Luis Miguel Iglesias Albarrán

Ejercicio Averigua el término general de las siguientes sucesiones: a) 4, 7, 12, 19, 28, … b)

4 7 10 13 16 , , , , ,... 2 8 26 80 242

MatemáTICas: 1,1,2,3,5,8,13, …

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a) 4, 7, 12, 19, 28, … ✔

A primera vista parece claro que le sumamos 3, luego 5, más tarde 7, ...

Pero, esto que parece tan simple, es difícil de formalizar, al no tratarse de un crecimiento constante, es decir, al no aumentar una cantidad fija. ✔

✔

Hay que buscar otra alternativa ...

Si seguimos observando la sucesión, también podemos darnos cuenta de que: “Cada elemento se obtiene elevando al cuadrado la posición que ocupa y, posteriormente, sumándole 3 unidades” ✔

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a) 4, 7, 12, 19, 28, … Así que “SÓLO” nos queda encontrar, una expresión, que nos permita, simplemente sustituyendo “n” por “un número”, encontrar el elemento de la sucesión que ocupe el lugar indicado por este número. ✔

✔

Basta traducir el “lenguaje verbal” al “lenguaje matemático”

El elemento que ocupa la posición “n”en la sucesión se obtendrá de la siguiente manera: “elevando n al cuadrado” y posteriormente “sumándole 3” ✔

✔

✔

Así, el término general de la sucesión es:

2

an = n  3

Finalmente, basta comprobar que todo ha ido bien, dándole valores a “n” Para n=1 obtenemos 1+3=4 Para n=2 obtenemos 4+3=7 Para n=3 obtenemos 9+3=12 Para n=4 obtenemos 16+3=19 Para n=5 obtenemos 25+3=28 Para n=6 obtenemos 36+3=39 MatemáTICas: 1,1,2,3,5,8,13, …

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a) 4, 7, 12, 19, 28, … ✔

¡ Hemos triunfado !

✔

Hemos encontrado el término general de la sucesión:

an = n 2  3

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b) ✔

4 7 10 13 16 , , , , , ... 2 8 26 80 242

A primera vista parece claro que:

(1) Al numerador le sumamos 3, de modo constante. Luego, el numerador está formado por una progresión aritmética de diferencia 3. (2) El denominador lo multiplicamos por 3 y luego le sumamos 2. Pero, esto que por separado parece tan simple, es bastante difícil de formalizar, ya que obtener el término general debemos ser capaces de obtener la fracción completa con una única expresión. ✔

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b)

4 7 10 13 16 , , , , , ... 2 8 26 80 242

Así que “SÓLO” nos queda encontrar, una expresión, que nos permita, simplemente sustituyendo “n” por “un número”, encontrar el elemento de la sucesión que ocupe el lugar indicado por este número. ✔

✔

Basta traducir el “lenguaje verbal” al “lenguaje matemático”

✔

Vayamos por partes. Recuerda: “Divide y Vencerás”

NUMERADOR: El término general del numerador, al ser una progresión aritmética viene dado por la expresión: a n = a 1  n−1⋅d ✔

En nuestro caso: a 1 = 4 y d = 3 Luego el término general de la sucesión del numerador viene dado por:

a n = 4  n−1⋅3 MatemáTICas: 1,1,2,3,5,8,13, …

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b) ✔

4 7 10 13 16 , , , , , ... 2 8 26 80 242

Vayamos ahora con el denominador.

DENOMINADOR: Ya hemos visto que para calcular el denominador de un término, necesitamos “multiplicar por 3 el denominador del término anterior y, luego, sumarle 2”. ✔

✔

Bien, ¿y cómo obtenemos el denominador del término anterior?

Para obtener el denominador de una fracción cualquiera, basta con “dividir el numerador de la fracción entre la propia fracción”. Veamos un ejemplo: ✔

Dada la fracción ,

7 7 para obtener el denominador , dividimos 7÷ = 7 8 8 MatemáTICas: 1,1,2,3,5,8,13, …

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b)

4 7 10 13 16 , , , , , ... 2 8 26 80 242

En nuestro caso, cuando queramos calcular el denominador del término a n necesitamos el denominador del término a n−1 ✔

El denominador del término a n−1 se obtiene dividiendo el numerador de dicho término, entre el propio término. ✔

✔

Ahora bien, el numerador del término a n−1 viene dado por: 4  n−2 ⋅3

Por tanto, para obtener el denominador de la fracción, realizamos la siguiente operación: 4 n−2 ⋅3  ÷ a n−1 ✔

Finalmente, “basta” con “multiplicar la expresión anterior por 3 y luego sumarle 2”, obteniendo la expresión del término general del denominador: ✔

3⋅[4n−2⋅3 ÷ a n−1 ]  2 MatemáTICas: 1,1,2,3,5,8,13, …

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b)

4 7 10 13 16 , , , , , ... 2 8 26 80 242

Llegados a este punto, nos queda colocar en el NUMERADOR y en el DENOMINADOR, las expresiones correspondientes a ellos, así, “por fin”, habremos conseguido encontrar el término general de una sucesión, que aparentemente, a primera vista, no parecía nada del otro mundo. ✔

✔

✔

Corolario: Las apariencias engañan (y en Matemáticas, aún más) Así, el término general de la sucesión es:

4 2 4n−1⋅3 an = si n2 3⋅[ 4n−2⋅3 ÷ a n−1 ]  2 a1 =

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b) ✔

4 7 10 13 16 , , , , , ... 2 8 26 80 242

Finalmente, basta comprobar que todo ha ido bien, dándole valores a “n” - Debes obtener al menos, los 5 primeros términos. Para n=2 obtenemos:

a2 =

4  2−1⋅3 = 3⋅ [ 42−2⋅3 ÷ a 2−1 ]  2

4 3 7 = 4 8 3⋅[ 4÷ ]2 2

✔

¡ Hemos triunfado !

✔

… pero después de esto no me quedan fuerzas, y me voy a la cama.

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