Sucesiones

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE COSAMALOAPAN

MAESTRO: SERGIO GARCIA MENDEZ

ALUMNO (S): PABLO DE JESUS GONZALEZ ANGON INOCENTE RAMOS RAMOS

MATERIA: MATEMATICAS 1

CARRERA: INGENIERIA INDUSTRIAL

SEMESTRE: 1 GRUPO: 102-B

04 / 12/ 09

6.1 SUCESIONES En matemáticas, la palabra “sucesión” se usa en un sentido muy parecido al lenguaje usual. Decir que una colección de objetos o de sucesos esta en sucesión significa que están ordenados de modo que alguno de ellos se identifica como el primero, otro como el segundo, etc. Matemáticamente, una sucesión se define como una función cuyo dominio lo constituyen los números enteros positivos. Aunque una sucesión es una función, suelen denotarse las sucesiones mediante una notación de subíndice en lugar de con la notación habitual de las funciones.

6.2 LIMITE DE UNA SUCESION. Tales sucesiones se llaman convergentes. Por ejemplo, la sucesión {1/ 2n} ½, ¼,1/8, 1/16, 1/32,… Converge a cero, de acuerdo con la siguiente definición. DEFINICION DEL LÍMITE DE UNA SUCESION. Sea L un número real. Se dice que L es el límite de una sucesión {an}, lo cual se denota

lim an=L n-∞

Gráficamente, esta definición dice que finalmente (para n>M) los términos de una sucesión que converge a L estarán en la franja comprendida entre las rectas

SUCESIONES MONOTONAS Y ACOTADAS. Hasta ahora hemos decidido la convergencia de una sucesión calculando su límite. Ahora bien, incluso cuando no se sabe hallar el límite, sigue siendo importante conocer si la sucesión es convergente o divergente. El

teorema 8.5 proporciona un criterio que permite averiguar si la sucesión converge, sin necesidad de tener que hallar el límite.

Supongamos que la sucesión es no decreciente, como muestra la figura 8.4. Con el fin de simplificar, suponemos que todos sus términos son positivos, por ser acotada la sucesión, debe existir una cota superior M tal

que

Por el carácter completo de los reales, existe una cota superior minima L

tal que

SERIES Y CONVERGENCIAS Una importante aplicación de las sucesiones consiste en representar sumas infinitas. Dicho brevemente, si {an} es una sucesión, entonces

Es una serie. Los números a1, a2, a3,… son los términos de la serie.

PROPIEDADES DE LAS SERIES. Donde p es una constante positiva. Para p=1, la serie

Se conoce como la serie armónica. Una serie armónica general es de la forma

SERIES DE POTENCIA.

SERIE DE TAYLOR Y MCLAURIN.

Probar que la serie de Maclaurin de f(x) = seno x converge a seno x para todo x.