Sucesiones

Definición Una sucesión de números reales (o una sucesión en R) es una aplicación de N en R ( X : N R) y se denota como X = ( x n ) n o X = { x n | n N } Los números reales x 1 , x 2 , x 3 ,... se denominan elementos de la sucesión, valores de la sucesión o términos de la sucesión. Al término x n se le llama término n-esimo o término general de la sucesión. Formas frecuentes de dar una sucesión: 1. Dando los primeros términos. 2. Dando la fórmula de x n en función de n. 3. Dando x n en función de términos anteriores (forma recursiva). Sea X = ( x n ) n una sucesión de números reales y sea n 1 < n 2 < · · · < n k < · · · una sucesión estrictamente creciente de números naturales. Entonces a la sucesión Y dada por ( xn1, xn2, · · · , xnk, · · · ) se le llama una subsucesión o una sucesión parcial de X. Es útil para algunas demostraciones que aparecen en este tema aplicar el Principio de inducción:

Principio de inducción Sea una propiedad P(n) que hace referencia a todos los números naturales. Supongamos que sabemos demostrarla para n=1, es decir, la propiedad se cumple para P(1). Si la suponemos cierta para P(n) y demostramos que es cierta para P(n+1), entonces el principio de inducción dice que es cierta para todos los números naturales. Ejemplo: Demostrar que 1+3+5+···+(2n-1) = n2. Solución: Veamos que es cierto para n=1 • • •

(2·1-1) = 12. Supongamos que es cierto para n: 1+3+5+···+(2n-1) = n2. Vamos a demostrar que se cumple para n+1:

[*]

1+3+5+···+(2n-1)+(2(n+1)-1) = (n+1)2 1+3+5+···+(2n-1)+(2n+1) = n2+2n+1 y sustituyendo la expresión [*] obtenemos n2+2n+1=n2+2n+1.

Operaciones entre Sucesiones

Dadas dos sucesiones de números reales X = ( x n ) n Y = ( y n ) n definimos: suma producto división potencia

X+Y=(xn+yn)n X·Y=(xn·yn)n X/Y=(xn/yn)n, n:yn 0 XY=

Sucesiones Acotadas y Sucesiones Monótonas Sea X = ( x n ) n una sucesión de números reales. Se dice que X est· acotada superiormente si M1 > 0 tal que x n M1 n N. Se dice que X est· acotada inferiormente si M2 > 0 tal que x n M2 n N. Se dice que X est· acotada si lo est· superior e inferiormente, es decir, M > 0 tal que | x n | M1 n N. Se dice que X es creciente si cumple: x 1 x 2 · · · x n x n+1 · · · Se dice que X es decreciente si cumple: x 1 x 2 · · · x n x n+1 · · · Se dice que X es monótona si es creciente o bien decreciente. Si las desigualdades son estrictas, se dice, respectivamente, que X es estrictamente creciente, estrictamente decreciente y estrictamente monótona.

Límite Finito de una Sucesión: Sucesión Convergente Sea X = ( x n ) n una sucesión de números reales y L un número real. Decimos que L es límite de X si cumple : >0 n0>0:|xn-L|< n n0 y denotamos por L = lím X , L = lím ( x n ), L = ( x n) ó x n L Si L es límite de X, se dice también que X converge a L o que X es convergente. Si una sucesión converge a un límite L se cumple que, dado arbitrariamente un entorno de L, fuera del entorno hay a lo sumo un número finito de elementos de la sucesión.

Sucesiones Divergentes y Oscilantes

Decimos que una sucesión X = ( x n ) n de números reales tiende a + ( x n = + ) si k R n 0 N : x n > k n n 0 Decimos que una sucesión X = ( x n ) n de números reales tiende a ( x n = - ) si k R n 0 N : x n < k n n 0 Decimos que una sucesión X = ( x n ) n tiende a ( infinito sin signo ) ( x n = ) si k R n 0 N : | x n | > k n n 0 y, adem·s, a partir de este lugar n 0, hay términos positivos y términos negativos. Una sucesión ( x n ) n es divergente cuando tiene límite + , - o . Una sucesión ( x n ) n es oscilante cuando no es convergente ni divergente.

Teoremas : Sobre Límites

»Toda sucesión convergente tiene un único límite.

»Si una sucesión X = ( x n ) n tiene límite l , + ó - todas sus sucesiones parciales tienen el mismo límite. »Si X tiene límite , todas sus parciales tienen límite + , ó - , ó .

1. Toda sucesión convergente est· acotada. 2. El recíproco es falso, en general. 3. Si la sucesión es monótona, el recíproco és cierto: Teorema de convergencia monótona: Una sucesión monótona de números reales es convergente si y

sólo si es acotada. »Si X = ( x n ) n es creciente acotada entonces: ( x n) = sup { x n } »Si Y = ( y n ) n es decreciente acotada entonces: ( y n) = inf { y n }

»Sean X = ( x n ) n Y = ( y n )n sucesiones convergentes que cumplen: xn

yn

n

n 0 (para cierto n0 N )

Entonces : ( x n)

( y n ).

- Teorema de Compresión »Sean X = ( x n ) n Y = ( y n ) n y Z = ( z n ) n sucesiones convergentes de números reales tales que: xn

yn

zn

n

n0:

Entonces: ( y n ) n es convergente y (x n) =

(y n) =

(z n)

( x n) =

( z n)

»Sean X = ( x n ) n con Y = ( y n ) n acotada. Entonces:

xn =0

(x n· y n) n es convergente y de límite 0

Límite de la suma. Sean xn y yn dos sucesiones con límite finito o infinito.

Si

y

entonces

Indeterminaciones:

Límite del producto.

Si

y

Indeterminaciones: 0 x

Límite del cociente.

entonces

Si

y

entonces

Indeterminaciones:

Límite de la potencia.

Si

y

entonces

Si

y

entonces

Si

y

entonces

Si

y

entonces

Indeterminaciones:

Indeterminaciones -

,0·

,

,

,

,

,

.

Los criterios son los siguientes...

-Limite de un Polinomio» =

Ejemplo |

(ap· np + ap-1· np-1 + ... + a2· n2 + a1· n + a0) = ¤ + si a p> 0 (ap· np) = ¤ - si a p<0

Ejercicio

-Limite de un Cociente de Polinomios-

» ,si p=q » 0 si pq y signo ap »- si p>q y signo ap

Ejemplos |

= signo bq signo bq

Ejercicios

-Limite de expresiones Irracionales»El mismo método anterior: dividir numerador y denominador por la potencia de n de mayor exponente (posiblemente fraccionario)

Ejemplo |

Ejercicio -Limites del tipo -

»

(

)=(+

)-(+ )

» Se multiplica y se divide por la expresión conjugada:

Ejemplos |

Ejercicio -Limites del tipo

-

»La sucesión es monótona creciente y acotada, por lo tanto es convergente. Al límite de dicha sucesión lo llamamos por definición número e:

=e En general,

= e , siempre que

(a n ) = + , - ó

Fórmula: Si

(

)=

entonces

(

Ejemplos |

)=

Ejercicios -Criterio de Stolz-

»Sean ( a n ) n , ( b n ) n dos sucesiones tales que: 1.-

(b n ) n es estrictamente monótona( creciente o decreciente )

2.-

(b n ) = ±

Entonces, = l (finito o infinito)

Ejemplos |

Ejercicio -Criterio de la Raiz-

=l

»Si ( a n ) n es una sucesión de reales positivos, se verifica que:

=l (finito o infinito)

Ejemplo |

Ejercicios -Otros Criterios-

»Sea ( a n ) n una sucesión de números reales entonces: 1.2.-

Ejemplo |

=L<1 L<1

Ejercicio

(a n )= 0 (a n )= 0

=l