Statika Komparatif Dan Differensial By Indra Maipita

STATIKA KOMPARATIF DAN KONSEP DERIVATIF Oleh

Indra Maipita

Lisensi Dokumen ◆

◆ ◆

Dokumen ini disusun dan disarikan dari berbagai sumber oleh Indra Maipita, sebagai bahan tambahan bagi mahasiswa dalam mempelajari matakuliah Matematika Ekonomi di Universitas Negeri Medan. Di publish di website Unimed untuk dapat dimanfaatkan oleh khalayak ramai. Boleh dikopi untuk kebutuhan pembelajaran.

Berisi tentang: •Sifat Statika Komparatif •Differensial dan Penggunaannya Dalam Statika Komparatif •Penggunaan Dalam Statika Komparatif (terapan Ekonomi) Indra Maipita, State University of Medan

SIFAT STATIKA KOMPARATIF  Menelaah

perbandingan keadaan equilibrium yang berbeda-beda;  Mengabaikan proses penyesuaian variabel;  Hanya membandingkan keadaan equilibrium awal (sebelum perubahan) dengan equilibrium akhir (setelah perubahan);  Dapat berwujud kuantitatif maupun kualitatif;

SIFAT STATIKA KOMPARATIF Contoh:  Apakah kenaikan C akan menaikkan atau menurunkan tingkat ekuilibrium Y? Jika

ingin mengetahui arah, analisisnya kualitatif; Jika ingin mengetahui besarnya kenaikan atau penurunan, analisisnya kuantitatif.

 Jika

Tingkat Perubahan dan Derivatif

x0 berubah ke x1, maka perubahan diukur dengan x1-x0, ditulis Δx=x1-x0.

 Jika

x berubah dari x0 ke (x0+Δx), maka nilai fungsi y=f(x) berubah dari f(x0) ke f(x0+Δx).

 Perubahan

dalam y per unit x ditunjukkan oleh difference quotient ) − f ( x0 ) ∆y f ( x0 + ∆xberikut): (hasil bagi perbedaan = ∆x ∆x

Contoh  Carilah

hasil bagi perbedaan sebagai fungsi x dan Δx dari: f(x)=4x2-9

DIFFERENSIAL DAN PENGGUNAANNYA DALAM STATIKA KOMPARATIF

Fungsi Satu Variabel Aturan Fungsi Konstan : y = f ( x) = k dy dk = 0 atau = 0 atau f ' ( x) = 0 dx dx Dapat juga ditulis : d d d y= f ( x) = k = 0 dx dx dx

Fungsi Satu Variabel

Aturan Fungsi Pangkat : y = f ( x) = cx d n n −1 n −1 cx = cnx atau f ' ( x) = cnx dx

n

Contoh 1. Carilah derivatif dari fungsi berikur : −1

a. y = −4u b. y = 3 x 2. Selesaikan : d d d −4 1/ 3 4 a. (− x ) b. 7 x c. 9 w dx dx dw 3. Carilah nilai dari f ' (a ) dan f ' (2) dari : 1/ 2

a. f ( x) = 34 x

4 3

b. f ( x) = 5 x

1 3

Fungsi Dua atau Lebih Variabel Aturan Penjumlahan dan Pengurangan Jika h( x) = f ( x) ± g ( x), maka : d d h( x) = [ f ( x) ± g ( x)] dx dx d d = f ( x) ± g ( x), atau dx dx h' ( x ) = f ' ( x ) ± g ( x )

Fungsi Dua atau Lebih Variabel Aturan Hasil Kali Jika h( x) = f ( x).g ( x), maka : d d h( x ) = [ f ( x ) g ( x )] dx dx d d = f ( x) g ( x) + g ( x) f ( x), atau dx dx h' ( x ) = f ( x ) g ' ( x ) + g ( x ) f ' ( x ) Lebih singkat, andaikan f ( x) = u dan g ( x) = v maka : (uv )' = uv '+u ' v

Fungsi Dua atau Lebih Variabel Aturan Hasil Bagi f ( x) Jika h( x ) = , maka : g ( x) d f ( x) h' ( x ) = dx g ( x ) f ' ( x ) g ( x ) −f ( x ) g ' ( x ) = g 2 ( x) atau u  u ' v −uv '  ' = 2 v v  

Fungsi dari Variabel yang Berbeda ATURAN RANTAI (Chain Rule) Jika z=f(y), dan y merupakan fungsi variabel lain, katakan y=f(x). Maka derivatif z terhadap x =derivatif z terhadap y dikalikan derivatif y terhadap x, ditulis:

dz dz dy = = f ' ( y ) g ' ( x) dx dy dx

Contoh Bila z = ( x + 3 x − 2) , tentukan derivatif z terhadap x. 2

17

Solusi : 2 17 misalkan y = x + 3 x − 2, maka z = y dz dz dy = dx dy dx 16 = 17 y (2 x + 3) 2 16 = 17( x + 3 x − 2) (2 x + 3)

Soal  Dengan

derivatif terhadap x dari fungsi berikut menggunakan aturan rantai.

1. y = u + 1; u = 5 − x 2 2 2.w = ay ; y = bx + cx −2 3. y = (16 x + 3) 3

2

DIFERENSIASI PARSIAL  Contoh:

Carilah f1 dan f 2 dari 3 2 2 y = 2 x1 − 11x1 x2 + 3 x2

Penggunaan untuk Analisa Statis Komparatif

Model Pasar  Fungsi

permintaan dan penawaran pada model pasar sederhana: Q=a-bP (a,b>0), [permintaan] Q=-c+dP c,d>0), [penawaran] Penyelesaian dari kedua persamaan:

a+c P= b+d

ad − bc ; Q= b+d

Model Pasar  Untuk

mengetahui pengaruh perubahan parameter terhadap P*, dapat dilihat dari hasil diferensial parsial persamaan di atas.  Hasil diferensial parsial P* terhadap parameter juga dapat menentukan arah dan besarnya perubahan yang terjadi.

Model Pasar Misal , derivatif parsial semua parameter positif dalam model, sehingga dari P adalah : ∂P ∂a ∂P ∂b

=

∂P ∂c ∂P ∂d

=

=

=

1 b+d −( a + c ) (b + d )

2

∂P 1 = b+d ∂a −( a + c ) ∂P = ∂b (b + d ) 2

disimpulkan :

∂P = ∂P > 0 ∂a ∂c ∂P = ∂P < 0 ∂b ∂d

Q

Naik dalam a

Model Pasar S

Q

S

Naik dalam b

D’

D

D P* P’

Q

D’

Naik dalam c

P

P’ P*

P

Q

S

Naik dalam d

S’ S

S’ D

D P*

P’

P

P’

P*

P

Model Pasar (a)

Menggambarkan kenaikan parameter a ke kanan. Karena b (slope) tidak berubah maka a menyebabkan kenaikan yang sejajar dari kurva permintaan (D D’).

National Income Model Model pendapatan nasional 3 sektor:

Y = C + I 0 + G0 C = α + β (Y − T ) T = γ + δY

(α > 0; < 0 β < 1) (γ > 0;0 < δ < 1)

Model ini diselesaikan untuk memperoleh equilibrium pendapatan:

α − βγ + I 0 + G0 Y= 1 − β + βδ

National Income Model Dari model equilibrium pendapatan dapat diturunkan derivatif statis komparatif, al:

∂Y 1 = > 0; ∂G0 1 − β + βδ ∂Y −β = <0 ∂γ 1 − β + βδ

National Income Model Cari derivatif parsial yang lain, jelaskan arti serta tentukan tandanya.

∂Y ∂Y ∂Y ∂Y , , dan ∂δ ∂I 0 ∂α ∂β

Soal 1. Ujilah sifat statis komparatif dari equilibrium quantity ad − bc Q= b+d periksalah hasil anda dengan analisa grafik

Masukkan teori produksi

terimakasih