Pengantar Matriks By Indra Maipita

MATRIKS DAN OPERASINYA

Matrix • Definitions • Some properties • Basic matrix operations

Matrix Definition: A matrix is a rectangular array of numbers. A matrix of m rows and n columns is called an m×n matrix, denoted Am×n. The element or entry at the ith row and jth column is denoted ai,j. The matrix can also be denoted A = [ai,j]. Example ⎡1 1 ⎤ A3, 2 = ⎢⎢0 2⎥⎥ ⎢⎣1 3⎥⎦ column

row

a3,2 = 3

Matrix Two matrices Am×n and Bp×q are equal if they have the same number of rows and columns (m = p and n = q), and their corresponding entries are equal (ai,j =bi,j for all i, j). Am×n is a square matrix if m = n, denoted Am A square matrix A is said to be symmetric if ai,j = aj,i for all i and j. ⎡1 2 3⎤ ⎥ ⎢ A3,3 = ⎢2 3 4⎥ ⎥ ⎢ ⎢⎣3 4 1 ⎥⎦

DEFENISI Jika A dan B adalah sebarang dua matrik yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adalah matrik yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang bersesuaian dalam kedua matrik tersebut. ‹ Matrik yang ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan. ‹

Matrix arithmetic (operations)

Matrix addition. Am×n and Bm×n ‹ must have the same numbers of rows and columns ‹ add corresponding entries Am×n + Bm×n = Cm×n = [ai,j + bi,j]

A3, 2

⎡1 1 ⎤ = ⎢⎢0 2⎥⎥ ⎢⎣1 3⎥⎦

B3, 2

5⎤ ⎡ 4 ⎡ 5 6⎤ = ⎢⎢− 1 6 ⎥⎥ A3, 2 + B3, 2 = ⎢⎢− 1 8⎥⎥ ⎢⎣ 2 − 3⎥⎦ ⎢⎣ 3 0⎥⎦

Matrix subtraction is done similarly

DEFENISI ‹

‹

Jika A adalah suatu matrik dan c adalah skalar, maka hasil kali (product) cAadalah matrik yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri A dengan c. Jika A adalah matrik mxr dan B adalah matrik rxn, maka hasil kali AB adalah matrik mxn yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut: • Untuk mencari entri bari I dan kolom j dari AB, pilihlah baris I dari A dan kolom j dari B. • Kalikan entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama kemudian tambahkanlah hasil kalinya.

Matrix arithmetic (operations) Multiply a matrix by a number. ‹ b⋅A = [b⋅ai,j] (i.e., multiply the number to each entry.) Multiplication of two matrices. Am×k and Bk×n ‹ number of columns of the first must equal number of rows of the second ‹ the product is a matrix, denoted AB = Cm×n th ‹ Entry ci,j is the sum of pair-wise products of the i row of A and jth column of B

ci , j = ai ,1b1, j + ai , 2b2, j + L + ai ,k bk , j

Matrix arithmetic (operations) Example A4,3

⎡1 0 4 ⎤ ⎡ 2 4⎤ 2 1 1 ⎢ ⎥ = ⎢3 1 0 ⎥ B3, 2 = ⎢1 1 ⎥ ⎢⎣3 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 2 2⎥⎦

AB = C4, 2

⎡14 8 ⎢ = ⎢7 ⎢⎣ 8

4⎤ 9⎥ 13⎥ 2 ⎥⎦

c1,1 = a1,1b1,1 + a1, 2b2,1 + a1,3b3,1 = 1⋅ 2 + 0 ⋅1 + 4 ⋅ 3 = 14 c1, 2 = a1,1b1, 2 + a1, 2b2, 2 + a1,3b3, 2 = 1⋅ 4 + 0 ⋅1 + 4 ⋅ 0 = 4 c2,1 = a2,1b1,1 + a2, 2b2,1 + a2,3b3,1 = 2 ⋅ 2 + 1⋅1 + 1⋅ 3 = 8

Matrix Multiplication: ⎡ a b ⎤ ⎡ x ⎤ = ⎡ ax + by ⎤ ⎣⎢ c d ⎦⎥ ⎣⎢ y ⎦⎥ ⎢⎣ cx + dy ⎥⎦ ⎡ a b ⎤ ⎡u x ⎤ = ⎡ au + bv ax + by ⎤ ⎣⎢ c d ⎦⎥ ⎣⎢ v y ⎦⎥ ⎢⎣ cu + dv cx + dy ⎥⎦ Product of a 1×n matrix a n×1 matrix is a scalar. Product of a n×1 matrix and a 1×n matrix is an n×n matrix

⎡ x⎤ [ a b c ] ⎢ y ⎥ = ax + by + cz ⎢⎣ z ⎥⎦ Generally, A B ≠ B A

⎡ x⎤ ⎡ xa xb xc ⎤ ⎢ y ⎥ [ a b c ] = ⎢ ya yb yc ⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦ ⎢⎣ za zb zc ⎥⎦

• You cannot multiply any two matrices. They have to be compatible: to get AB, the number of columns of A must equal to the number of rows of B, e.g., A: k×n, B: n×m.

Powers and Transposes Identity matrix: In • A square matrix of n rows and n columns • Diagonal entries are 1, all other entries are 0 (ii,i = 1 for all i, ii,j = 0 for all i != j.) • For matrix Am×n, we have Im A = A In = A ⎡1 0 0⎤ I 3 = ⎢0 1 0 ⎥ ⎢⎣0 0 1⎥⎦

A3, 2

⎡1 1 ⎤ = ⎢0 2 ⎥ ⎢⎣1 3 ⎥⎦

Powers of (square) matrix An A0 = In =, Ar = AA···A r times

I 3 ⋅ A3, 2

⎡1 1 ⎤ = ⎢0 2⎥ = A3, 2 ⎢⎣1 3 ⎥⎦

Powers and Transposes Matrix transpose: Am×n • the transpose of A, denoted At, is a n ×m matrix • At = [bi,j = aj,i] • ith row of A becomes ith column of At ⎡1 1 ⎤ 1 0 1 t ⎡ ⎤ = A A3, 2 = ⎢0 2⎥ ⎢⎣1 2 3⎥⎦ ⎢⎣1 3 ⎥⎦ Theorem: A square matrix An is symmetric iff A = At

Systems of Linear Algebraic Equations ƒ A system of linear equations: a11x1 + a12x2 + .. + a1nxn = y1 a21x1 + a22x2 + .. + a2nxn = y2 :

:

am1x1 + am2x2 + .. + amnxn = ym where aij, yi∈ R or C are given, xi’s are to be solved.

ƒ In matrix form: Ax = y ⎡ a 11 ⎢ a 21 A=⎢ L ⎢a ⎣ m1

a 12 a 22 L a m2

L a 1n ⎤ L a 2n ⎥ , O M ⎥ L a mn ⎥⎦

m×n

⎡ x1 ⎤ ⎢x 2 ⎥ x = ⎢ ⎥, M ⎢x ⎥ ⎣ n⎦ n ×1

⎡ y1 ⎤ ⎢ y2 ⎥ y=⎢ ⎥ M ⎢y ⎥ ⎣ m⎦ m ×1

INVERS MATRIK

DEFENISI z Jika

A adalah matrik kuadrat, dan jika kita dapat mencari matrik B sehingga AB=BA=I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers (inverse) dari A. z Inverss dari matrik A ditulis A-1

Invers Matrik

Buktikanbahwa A dan B saling Invers: ⎡ 2 − 5⎤ ⎡3 5⎤ A= ⎢ ; B=⎢ ⎥ ⎥ ⎣−1 3 ⎦ ⎣1 2⎦

Invers Matrik ⎡a b ⎤ Jika A = ⎢ , dan ad − bc ≠ 0, maka ⎥ ⎣c d ⎦ 1 ⎡ d − b⎤ −1 A = ad − bc ⎢⎣− c a ⎥⎦ ⎡ add−bc = ⎢ −c ⎣ ad −bc

−b ad −bc a ad −bc

⎤ ⎥ ⎦

DEFENISI A adalah sebarang matrik mxn, maka transpos A dinyatakan oleh At dan didefenisikan denganmatrik nxm yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A dan kolom keduanya dalah baris kedua dari A dan seterusnya

z Jika

TEOREMA z Jika

A dan b adalah matrik yang dapat dibalik, maka: z (A-1)-1

=A z (At)t = A z (A+B)t = At + Bt z (kA)t = kAt z (AB)t = BtAt

DETERMINAN MATRIK

Determinant: A scalar defined for a square matrix det ⎡ a b ⎤ = ad − bc; ⎢⎣ c d ⎥⎦ ⎡a b c ⎤ det ⎢ d e f ⎥ = aei + dhc + gbf − gec − ahf − dbi ⎢⎣ g h i ⎥⎦

a d ⎡a b c ⎤ ⎢d e f ⎥ ⇒ g ⎢⎣ g h i ⎥⎦ a d

b c e f h i b c e f

⎡1 2 3⎤ Exercise: det ⎢ 3 2 1 ⎥ ⎢⎣ 4 5 6 ⎥⎦

DEFENISI EKSPANSI KOFAKTOR DAN ATURAN CRAMER; z Jika A adalah matrik kuadrat, maka minor entri aij dinyatakan oleh Mij dan didefenisikan menjadi determinan submatrik yang tetap setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. z Bilangan (-1)i+jMij dinyatakan oleh Cij dan dinamakan kofaktor entri aij

Contoh Hitunglah minor dan kofaktor entri a11 dari : ⎡3 ⎢ A = ⎢2 ⎢⎣ 1

1 5 4

− 4⎤ ⎥ 6 ⎥ 8 ⎥⎦

TEOREMA z

Determinan matrik Anxn dapat dihitung dengan mengalikan entri-entri dalam satu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya danmenambahkan hasil kali-hasil kali yang diperoleh, maka:

det (A) = a1 j C1 j + a2 j C2 j + ... + anj Cnj (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke − j ) det (A) = ai1Ci1 + ai 2Ci 2 + ... + ain Cin (ekspansi kofaktor sepanjang baris ke − i )

Contoh Hitunglah determinan A dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris dan kolom ke - 2 ⎡ 3 1 − 4⎤ ⎢ ⎥ A = ⎢2 5 6 ⎥ ⎢⎣1 4 8 ⎥⎦

DEFENISI z

Jika A adalah sebarang matrik nxn dan Cij adalah kofaktor aij, maka matrik:

⎡C11 C12 ⎢C C 21 22 ⎢ ⎢ ... ... ⎢ ⎣Cn1 Cn 2

... C1n ⎤ ⎥ ... C2 n ⎥ ... ... ⎥ ⎥ ... Cnn ⎦

Dinamakan matrik kofaktor A. Transpos dari matrik ini dinyatakan dengan Adj(A).

Contoh Hitunglah adj(A) : ⎡ 3 1 − 4⎤ ⎢ ⎥ A = ⎢2 5 6 ⎥ ⎢⎣1 4 8 ⎥⎦

DEFENISI z Jika

A adalah matrik yang dapat dibalik, maka:

1 A = adj ( A) det( A) −1

Contoh Hitunglah invers dari A : ⎡ 3 1 − 4⎤ ⎢ ⎥ A = ⎢2 5 6 ⎥ ⎢⎣1 4 8 ⎥⎦

DEFENISI z

ATURAN CRAMER; Jika AX=B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n variabel sehingga det(A)≠0, maka sistem tersebut mempunyai pemecahan yang unik, yaitu:

det( An ) det( A1 ) det( A2 ) x1 = ; x2 = ... xn = det( A) det( A) det( A) dimana A j adalah matrik yang kita dapatkan dengan menggantikan entri - entri dalam kolom ⎡ b1 ⎤ ke - j dari A dengan entri - entri dari matrik B = ⎢⎢ ... ⎥⎥ ⎢⎣b2 ⎥⎦

Contoh Gunakan aturan Cramer untuk memecahkan persamaan berikut:

x1 + x2 − 2 x3 = 1 − 2 x1 − x2 + x3 = 2 x1 − 2 x2 − 4 x3 = −4

APLIKASI MATRIK: MODEL INPUT-OUTPUT

† Model input-output Leontief memperlihatkan perekonomian sebagai sejumlah sektor industri yang saling berelasi. † Disebut berelasi karena output industri yang satu akan menjadi input industri yang lainnya. † Pembentukan model diawali dengan membuat seluruh output dan permintaan dalams atuan mata uang. † Harga diasumsikan tetap, sehingga diperoleh kuantitas fisik dengan membagi kuantitas degan harga per unit.

† Nilai nominal output industri disimbolkan dengan Xi, dengan:

† Permintaan akhir konsumen akan output industri ke-I disimbolkan dengan di, dengan:

⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ 2⎥ ⎢ ; x≥0 xi = ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦

⎡ d1 ⎤ ⎢d ⎥ 2⎥ ⎢ di = ; d ≥0 ⎢ ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎣d n ⎦

† Andaikan aij adalah nilai output yang dibutuhkan untuk memproduksi satu unit output industri j. Dengan asumsi teknologi adalah tetap, maka kebutuhan akan input ditunjukkan oleh baris dan kolom matrik berikut:(disebut matrik koefisien produksi)

⎡ a11 ⎢a 21 ⎢ A= ⎢ ... ⎢ ⎣an1

a12 a22 ... an 2

... a1n ⎤ ⎥ ... a2 n ⎥ ; aij ≥ 0 ... ... ⎥ ⎥ ... ann ⎦

† Total output industri i yang dibutuhkan semua industri adalah: n

∑a x i =1

ij

j

= ai1 x1 +ai 2 x2 + ... + ain xn

aij x j adalah output industri - i yang dibutuhkan untuk memproduksi x j unit output industri - j

† Total permintaan akan output seluruh industri ditunjukkan oleh matrik: ⎡ a11 x1 ⎢a x ⎢ 21 1 ⎢ ... ⎢ ⎣an1 x1

a12 x2 a22 x2 ... a n 2 x2

... a1n xn ⎤ ... a2 n xn ⎥⎥ ... ... ⎥ ⎥ ... ann xn ⎦

† Dalam bentuk sederhana:

⎡ a11 ⎢a 21 ⎢ Ax = ⎢ ... ⎢ ⎣an1

a12 a22 ... an 2

... a1n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ ... a2 n ⎥ ⎢ x2 ⎥ ... ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎥⎢ ⎥ ... ann ⎦ ⎣ xn ⎦

† Permintaan perekonomian akan output industri-i secara keseluruhan menjadi: n

∑a i =1

ij

x j + di

untuk penawaran sama dengan permintaan pada industri - i , diperoleh : xi =

n

∑a i =1

ij

x j + d i , jika seluruh permintaan

dalam perekonomi an ditawarkan untuk seluruh industri, maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi x = Ax + d

Andaikan matrik koefisien produksi adalah A dan vektor permintaan adalah d , vektor output x, maka x − Ax = d , atau ( I − A) x = d −1

jika kedua ruas dikali dengan ( I − A) , diperoleh : x = ( I − A) −1 d

Contoh Andaikan perekonomian terdiri dari 3 sektor, yaitu pertanian, pertambangan dan industri. Untuk memproduksi 1 unit output pertanian dibutuhkan Rp 0,3 outputnya sendiri, Rp 0,2 output pertambangan dan Rp 0,4 output industri. Untuk memproduksi 1 unit output pertambangan masing-masing dibutuhkan Rp 0,2, Rp 0,5 dan Rp 0,2 output sendiri, pertanian dan industi. Untuk memproduksi 1 unit output industri masing-masing dibutuhkan Rp 0,3 output sendiri, pertanian dan pertambangan. Jika permintaan akhir konsumen untuk pertanian, pertambangan dan industri adalah Rp 20.000; Rp 10.000 dan Rp 40.000 tentukanlah kuantitas keseimbangan untuk ketiga industri.

Penyelesaian ⎡ 0,3 0,5 0,3⎤ ⎡20000⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ A = ⎢0,2 0,2 0,3⎥; d = ⎢10000 ⎥ ⎢⎣0,4 0,2 0,3⎥⎦ ⎢⎣40000⎥⎦ ⎡ 0,7 − 0,5 − 0,3⎤ ( I − A) = ⎢⎢− 0,2 0,8 − 0,3⎥⎥ ⎢⎣− 0,4 − 0,2 0,7 ⎥⎦ ⎡4,4643 3,6607 3,4821⎤ ⎢ ⎥ −1 ( I − A) = ⎢2,3214 3,3036 2,4107 ⎥ ⎢⎣3,2143 3,0357 4,1071 ⎥⎦

Penyelesaian −1

x = ( I − A) d ⎡4,4643 3,6607 3,4821⎤ ⎡20000⎤ = ⎢⎢2,3214 3,3036 2,4107 ⎥⎥ ⎢⎢10000 ⎥⎥ ⎢⎣3,2143 3,0357 4,1071 ⎥⎦ ⎢⎣40000⎥⎦ ⎡265.117 ⎤ Dalam keadaan seimbang, = ⎢⎢175.892 ⎥⎥ pertanian sebaiknya berproduksi sebesar Rp 265.117; ⎢⎣258.927 ⎥⎦ Pertambangan Rp 175.892 dan Industri Rp 258.927

z Kerjakan

soal berikut dan kirimkan jabawan anda ke email: …. Paling lambat tanggal….

SOAL 1.

Himpunan latihan 2.4.halaman 85 nomor 3a dan b; 4a dan b; 8 dan 20 pada buku Aljabar Linear Elementer edisi ke lima, karangan Howard Anton, penerbit Erlangga.

SOAL 2.

Suatu pertanian terdiri dari 4 sektor: manufaktur, pertanian, pertambangan dan jasa. Keempat sektor memiliki keterkaitan sebagai Input berikut: Ounput

Manufaktur Pertanian Tambang Jasa

Manufakt 0,2 0,4 0,3 0,4

Pertanian 0,3 0,2 0,2 0,1

Tambang Jasa 0,4 0,1 0,3 0,1 0,4 0,1 0,2 0,3

Permintaan akhir rumah tangga untuk masing-masing sektor manufaktur, pertanian, pertambangan dan jasa adalah Rp350.000; Rp 200.000; Rp300.000 dan Rp 500.000. Hitunglah tingkat output keempat sektor dalam keadaan seimbang.

Selamat Bekerja

Indra Maipita