Solusi Persamaan Difusi Neutron Satu Grup Pada Geometri Bola Dengan Menggunakan Metode Sor

http://syeilendrapramuditya.wordpress.com

Solusi Persamaan Difusi Neutron Satu Grup Pada Geometri Bola Dengan Menggunakan Metode S.O.R

Persamaan umum difusi satu grup :  1 ∂φ      −∇⋅ D ( r ) ∇φ( r , t ) + Σa ( r ) φ ( r , t ) = S ( r , t ) v ∂t

(1) Pada keadaan steady state dan medium homogen, persamaan (1) akan berbentuk :    − D∇2φ ( r ) + Σa φ ( r ) = S ( r )

(2) Operator Laplacian untuk koordinat bola :

∇2 =

∂2 2 ∂ 1 ∂2 cos φ ∂ 1 ∂2 + + + + ∂r 2 r ∂r r 2 sin 2 φ ∂θ 2 r 2 sin φ ∂φ r 2 ∂φ 2

(3) Pada persoalan difusi neutron, fluks hanya fungsi r saja, dan bukan fungsi sudut, maka :

1

d2 2 d ∇ = 2 + r dr dr 2

(4)

Pada geometri bola, persamaan (2) akan berbentuk : d2 2 d     −D 2 + φ ( r ) + Σa φ ( r ) = S ( r ) r dr   dr

(5)    d 2φ (r ) 2 dφ ( r ) Σa S (r )  + − φ ( r ) = − r dr D D dr 2

(6) Untuk kasus pada pusat bola (r = 0), suku kedua pada persamaan (6) akan ditangani dengan menggunakan teorema L’Hospital : d 2φ ( r = 0 ) 2 dφ (r = 0) =2 r dr dr 2

(7) Maka, untuk keperluan perhitungan numerik, persamaan difusi terbagi menjadi dua, yaitu : 3

d 2φ (r = 0) Σa S ( r = 0) − φ ( r = 0) = − ⇔ untuk r = 0 2 dr D D

(8)    d 2φ (r ) 2 dφ (r ) Σa S (r )  + − φ (r ) = − ⇔ untuk r ≠ 0 dr 2 r dr D D

(9) dengan syarat batas fluks dan source di permukaan bernilai nol. Diskritisasi persamaan diferensial berdasarkan central finite difference : df ( x) f − f i −1 ≅ i +1 dx 2∆x (10)

2

f − 2 f i + f i −1 d 2 f ( x) ≅ i +1 2 dx ( ∆x ) 2

(11) Maka dalam bentuk diskrit, persamaan (8) dapat ditulis sebagai berikut :

3

φ i +1− 2φ0 + φ i −1 (∆r )

2

−

Σa S φ0 = − 0 ⇔ untuk r = 0 D D

(12) berdasarkan prinsip simetri : 3

2φ 1 − 2φ0 Σ S − a φ0 = − 0 ⇔ untuk r = 0 2 D D ( ∆r )

(13) Setelah disusun ulang maka persamaan (12) akan berbentuk :

φ 0new =

D (∆r ) 2 6 D + Σ a (∆r ) 2

 6 S0  old  (∆r ) 2 φ 1 + D  ⇔ untuk r = 0  

(14) Persamaan (9) dalam bentuk diskrit adalah sebagai berikut :

φ i +1− 2φ i + φ i −1 ( ∆r )

2

+

2 φ i +1−φ i −1 Σa S − φ i = − i ⇔ untuk r ≠ 0 i∆r 2∆r D D

(15) setelah disusun ulang, persamaan (15) akan berbentuk :

φ

new i

old old φ iold D( ∆r ) 2 φ iold S  +1 + φ i −1 +1 − φ i −1 = + + i  ⇔ untuk r = 0 2  2 2 2 D + Σa (∆r )  ( ∆r ) i ( ∆r ) D

(16) Evaluasi nilai fluks secara numerik dilakukan dengan menggunakan persamaan (14) dan (16). Kedua persamaan tersebut dikenal sebagai Metode Jacobi. Perhitungan dapat dibuat lebih efisien dengan menggunakan Metode Gauss-Siedel, yaitu :

φ inew =

new new φ iold D( ∆r ) 2 φ iold S  +1 + φ i −1 +1 − φ i −1 + + i  ⇔ untuk r = 0 2  2 2 2 D + Σ a (∆r )  (∆r ) i (∆r ) D

(17)

3

dan bahkan dapat dibuat lebih efisien lagi dengan menggunakan parameter akselerasi α pada metode Succesive Over Relaxation atau S.O.R, yaitu : φ iSOR = φ inew + α (φ inew − φ iold )

(18) dimana nilai parameter akselerasi α antara 0 dan 1, dan bersifat unik untuk setiap persamaan.

FLOW CHART SKEMA ITERASI S.O.R

4

START

Definisikan syarat batas Inisialisasi nilai awal Source, Flux, koefisien difusi, cross section absorpsi, selang partisi, dan koefisien SOR

Evaluasi nilai flux dengan pers. (14), (17), dan (18)

φinewφ−iold <

error , all i

N

Y FINISH!

Hasil Perhitungan : Parameter Akselerasi S.O.R

5

S.O.R Acceleration Parameter 700 0

Total Iteration

600

0.1

500

0.535 0.2

0.3

0.4

400

0.45 0.5

0.53

300 200 100 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

alpha (range between 0 and 1)

alpha 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.45 0.5 0.53 0.535

Total Iteration 636 580 533 493 459 444 429 475 602

Berdasarkan gambar dan tabel diatas, terlihat bahwa parameter SOR yang paling optimal untuk digunakan di dalam perhitungan adalah 0.5. http://syeilendrapramuditya.wordpress.com

6