Solusi Persamaan Difusi 1 Group 2 Dimensi R-z

Zaki Su’ud

Persamaan Difusi 1 group         1 − ∇.D(r )∇φ (r ) + Σ(r )φ (r ) = ν ∑ f (r )φ (r ) keff

Integralkan terhadap mesh (i,j)  

    ∫ − ∇.D(r )∇φ (r )dV + ∫ Σ a (r )φ (r )dV =

i, j

i, j

  1 ∫i, j keff ν ∑ f (r )φ (r )dV     1 − ∫ D(r )∇φ (r ).dA + Σ a ,i , jφi , jVi , j = ν ∑ f ij φijVij keff i, j

  difusi       Suku − ∫ D(r )∇φ (r ).dA = − ∫ D(r )∇φ (r ).dA + i, j

i +1/ 2

j +1 / 2

j −1 / 2

    − ∫ D(r )∇φ (r ).dA +

    ∫ D(r )∇φ (r ).dA

    i +1 / 2 dφ − ∫ D(r )∇φ (r ).dA = − D dr i +1 / 2 = −D

i +1 / 2

φi +1, j − φi , j Ai +1/ 2 ri +1 − ri

Ai +1/ 2 i +1 / 2

    ∫ D(r )∇φ (r ).dA

i −1 / 2

Suku difusi

    i −1 / 2 dφ D (r )∇φ (r ).dA = D ∫ dr i −1 / 2

Ai −1/ 2 i −1 / 2

φi , j − φi −1, j =D Ai −1/ 2 ri − ri −1     i , j +1 / 2 dφ D(r )∇φ (r ).dA = D ∫ dz j +1 / 2 i −1 / 2

=D

i , j +1 / 2

φi , j +1 − φi , j Ai , j +1/ 2 z j +1 − z j

A j +1/ 2 j +1 / 2

Suku Difusi     ∫ D(r )∇φ (r ).dA = D

i , j −1 / 2

j −1 / 2

=D

i , j −1 / 2

φi , j − φi , j −1 Ai , j −1/ 2 z j − z j −1

dφ dz

A j −1/ 2 j −1 / 2

Persamaan Difusi yang telah didiskritisasikan −D

φ

i + 1 / 2 i + 1, j

+D

− φ i, j

ri + 1 − ri i , j −1 / 2

Ai + 1/ 2 +

D

φ − φ i − 1, j

i − 1/ 2 i , j

ri − ri − 1

φi , j − φi , j −1 Ai , j −1/ 2 z j − z j −1

Ai − 1/ 2 − D

φ

i , j + 1/ 2 i , j + 1

− φ i, j

z j+1 − z j

1 + Σ a ,i , jφi , jVi , j = ν ∑ f ij φijVij keff

Ai , j + 1/ 2

Persamaan Difusi yang telah didiskritisasikan φi , j −1 (+

D i, j−1/2 z j − z j −1

D i +1/2, j ri +1 − ri

φi +1, j (-

A i, j-1/2 ) + φi −1, j (-

A i +1/2, j +

D i +1/2, j ri +1 − ri

D i, j−1/2 z j − z j −1

D i-1/2, j ri − ri −1

A i, j−1/2 +

A i +1/2, j ) + φi , j +1 (-

A i −1/2, j ) + φij (

D i-1/2, j ri − ri −1

D i, j+1/2 z j +1 − z j

D i, j+1/2 z j +1 − z j

A i, j+1/2

A i −1/2, j + Σ a ,i , jVi , j ) +

A i, j+1/2 ) =

1 ν ∑ f ij φijVij keff

− γ ijφi , j −1 − α ijφi −1, j + β ijφij − α ijφi +1, j − γ ij +1φi , j +1 = Sij

Syarat Batas φ ( R + 0,71λtr , z ) = 0

dφ dr

=0 r =0

φ (r , H / 2 + 0,71λtr ) = 0 φ (r ,− H / 2 − 0,71λtr ) = 0

Terapkan syarat batas i=1 , j bebas, − γ 1 jφ1, j −1 − α1 jφ0, j + β1 jφ1 j − α1 jφ2, j − γ 1 j +1φ1, j +1 = S1 j

φ0, j = φ1, j − γ 1 jφ1, j −1 + ( β1 j − α1 j )φ1 j − α1 jφ2, j − γ 1 j +1φ1, j +1 = S1 j

Terapkan syarat batas(lanjutan) i = I(max.) , j bebas

− γ IjφI , j −1 − α IjφI −1, j + β IjφIj − α IjφI +1, j − γ Ij +1φI , j +1 = S Ij

φI +1, j = 0 − γ IjφI , j −1 − α IjφI −1, j + β IjφIj − γ Ij +1φI , j +1 = S Ij

Terapkan syarat batas(lanjutan) j = 1, i = bebas − γ i1φi , 0 − α i1φi −1,1 + β i1φi1 − α i1φi +1,1 − γ i 2φi , 2 = Si1

φi ,0 = 0 − γ iJ φi , J −1 − α iJ φi −1, J + β iJ φiJ − α iJ φi +1, J = Si1

Terapkan syarat batas(lanjutan)

j = J + 1, i = bebas − γ iJ φi , J −1 − α iJ φi −1, J + β iJ φiJ − α iJ φi +1, J − γ iJ +1φi , J +1 = Si1

φi , J +1 = 0 − γ iJ φi , J −1 − α iJ φi −1, J + β iJ φiJ − α iJ φi +1, J = Si1

Bentuk persamaan Matriks AΦ = S  β1,1 - α 2,1  − α 2,1 β 2,1    A=       

- γ 1,1 - γ 2,1 • • - αi, j

- γ I,J

β i , j - α i +1, j

- α I ,J β I ,J

             

Fluks dan Sumber φ1,1    φ2,1              Φ=  φi , j                φI , J 

 S1,1    S  2,1              S=  S i , j                 S I , J 

Algoritma Untuk Eigen Value 1. Tebak harga fluks awal dan keff awal 2. Hitung Vektor Sumber 3. Cari fluks baru dari AΦ=S 4. Hitung Sumber Fisi baru

F

m +1

= ∑νΣ φ

m +1 fi , j i , j

i, j

5. Hitung Keff baru: keffm+1= keffm(Fm+1/Fm)

Algoritma Cek konfergensi keff Cek konfergensi fluks Bila belum konfergen kembali ke 2 Normalisasi fluks dengan power

ANALISA BURNUP B

Decay

+n A

+n C

decay

    dN A A C = −λ A N A − ∑ σ ag φg  N A + λ B N B + ∑ σ λg φg  N C dt g  g 

Analisa Burnup λ N A

A

hilang karena peluruhan radioaktif A

  A ∑ σ ag φg  N A g 

hilang karena tangkapan neutron oleh A

λBNB masuk karena peluruhan dari B ke A

  C ∑ σ cgφ g  N C g 

masuk karena perpindahan dari C ke A

melalui

tangkapan neutron

Analisa Burnup Persamaan burnup merupakan persamaan

differensial orde 1 terkopel dan biasanya dipecahkan bergantian dengan persamaan difusi. Fluks netron dari hasil difusi digunakan untuk melakukan analisa burnup, selanjutnya perubahan komposisi akibat persamaan burnup pada gilirannya perlu dimasukkan dalam perhitungan kembali konstanta-konstanta difusi, penampang lintang reaksi, dsb.