Solucionario Taller Transformada De Fourier
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- Pages: 19
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA
SOLUCIONARIO TALLER DE TRANSFORMADA DE FOURIER, TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER Y TEOREMA DE LA CONVOLUCION
PRESENTADO AL PROFESOR:
ING. VICTOR CORREA
POR EL ESTUDIANTE JUAN PABLO GOMEZ GALLEGO
PARA LA MATERIA COMUNICACIONES I DEL PROGRAMA INGENIERIA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN
Miércoles, 23 de mayo de 2007
Taller
1. Calcular la trasnformada de Fourier para las siguientes funciones no periódicas
Solución a)
2 cos cos
1 1 1 4# 4 4 ) 1 1 $% & 1 4' ( + 4 4 * 1 1 ) # 4 4 1 ) 1 4
b)
c)
2 2 ./0 12/ #1 % , , * 4 2 2 2 % ( , *
d)
e)
(
*
A ∂t 3 ∂t 1 ∂t 3 2 9% : 3 : 1 : 1 : 3 ( ; 2 - - 2 2sin 3 sin
A ∂t 5 ∂t 4 ∂t 3 ∂t 3 ∂t 4 ∂t 5
A % ∂t 5 ∂t 4 ∂t 3 ∂t 3 ∂t 4 ∂t 5 (
? @ ) - - ) @ A
8C/D5 C/D4 C/D3
f) H
Fω % costdt
H H
H H H π JK JK ( 2 sin Mω O 4 e e 2 D Mω πO JKL FA A % e dt A H H
iω iω ω P 2
g)
4 π 4 D Mω O por la propiedad de la modulación P 2
cos 20
4 % cos 20 [ \ [ \
Y
Z(
[
] ^_`a \ Z [
_`[
] \ Z
]
^
_`[ \
Z
_`[
_`[
^ ] \ ] \ Z
P P D M 4 20O D M 4 20O 5 5 cos20 2 \
H bJc Z @
[ \
=sa(@ w) H
h)
,
% e
( Z(
e
% ,
( Z(
,
e
fZ( fZ(
4e 4,
1 fZe fZe 1 fZe fZe
4 4 4 4 4
i)
h
%
,
(
g
Z(
e
%
,
(
Z(
1 fZ i 4
e
fZ( fZe 1
4, 4 4
a)
2. Para una funcióncon trasnformada 4comprobar las siguiente propiedades
Propiedad de diferenciación en frecuencia: j 4 k
4 % Z( k
En general:
l b)
k % Z( 4 4 k k % Z( 4 k
j 4
l 4 l
Propiedad de la simetría:
j 2P 4
1 k % 4 Z( m 0nop q o/0 r sg : 2P k
Se reemplaza w por x
1 k % 4 Z( 2P k
k
2P % 2 u( 2 k
k
Se reenop q t por w
2P 4 % 2 uZ 2 k
Se reemplaza x por t
k
2P 4 % (Z k
j 2P 4
d) Propiedad de escalamiento: j
1 4 M O | |
Sea una constante real positiva k
% Z( k
Se reemplaza 2
Z 1 k M Ou % 2 2 k 1 4 M O 1 4 j M O
e) Convolución en la frecuencia:
* j * 4
w j w 4 k
% * 2 22 j * 4w 4 k
1 k % g 4 gg 2P k * 1 * j 4 y w 4# 2P x * j
3. Si la función con transformada 4, calcular la transformada de sin4,
k k k k Z( Z( 1 % D14z % $ + $% Z( % Z( + 2 2 k k k k 1 4 4, 4 4, 2
4. Calcula la transformada de Fourier de las siguientes funciones (dibujarr p 4) a.
Con a=-1
( g k
4 % ( Z( k
$ fZ( 4
,
% fZ( ,
4 1k + {0 12/ #2 4 ,
1 4
b.
a=-1
C.
|
|} sin4, g 1 1 1 4 4 4, 4 4, ~ ( gZZ ( gZfZ 2 2 2 1 1 1 4 # 2 4 4, 4 4,
x x
( cos 4, g
k
4 % ( cos 4, Z( g k k
4 % ( Z( ,
1 4
4 ZZ 4 ZfZ 4 2
1 1 4 4, 4 4, 4 2 d.
| .
a=1
4 Yk ( Z( k
(
g ( g 2 ( Z(
Z(
4
Z( 2 k ( Z( 2 k ( Z(
% 0
% 4 4 k 4 k 2 4 4
4 4
4 (
2
4 44 0 4
4 P Z 4 4 ln 4 4 4 Z ) ) 4 2 4
e.
f.
Saw, t cos3w, t Fw
k
% Saw, teJL dt k
2π G w w,
4 ZZ 4 ZfZ 4 2 π 4 ?G w 3w, G w 3w, A w, g. sin cos6 4
4
4 % D1cos 6 Z(
, ] _a ] \_a ] ^\_a f] ^_a O Z( dt Y, M Y, Z( -Y, @Z( Y, @fZ( Y, fZ Z( @Z( @fZ( fZ
4
7 4, 5 4, 5 4, 7 4,
4
H.
1 k
Z 1 @Z 1 @fZ 1 fZ*
7 4 5 4
7 4
7 4
(
4 % 1 k ( &4 '
&
( '
4
^a
] Z
Z
√2P
√2P 4
√2P
4 √2P
4 √2P
( Z(
^`
^`
^`
k
% k
( Z(
k
% ] k
^a
Z(
Z
1 4 )
√2P
^`
1 4 )= 4 √2P
^`
1 1 4
5. Usando la transformada de Fourier hacer las siguientes integrales a. 0 Yk1 w } k
w
k
4 Yk Z( 0 Yk k
k
k
k
k
% 1 2 ) } % } 2 % } % } )
b.
k
Z √P & ) ' $1
√P
k
0 % k k
}w
C/D
w
k
w
k
4 4)
+ C/1 4 0 2 8
5
k
4 % k k
Z(
w
k
k
w
0 % k
k 1 w w w % } 1 C/D10 $% } % } C/D10+ 2 k k k Z
M } O √P & ) ' C/1 4 0 M } O √P w
√P
@
@
√P 9 ) ; 9 ) ;#
w
2 6. Calcular la trasnformada de Fourier de las siguientes señales periódicas: a. |D14, |
l
4, % sin 4, Z l( 2P , 4, eZ ( eZ Z l( % $ + 2P , 2i 4, Z *l( $%
% Z *fl( + 4P , ,
Z *fl( 4, Z *l( 4P 4, 1 1, 4, 1 1 ,
k
4, Z *l 1 Z *l 1 $
+ 4P 4, 1 1 4, 1 1 4, 1 1 4, 1 1 4, Z *l 1 Z *l 1 $ + 4P 4, 1 1 4, 1 1
4, Z *l 1 Z *l 1 Z l( $ +e 2 4, 1 1 4, 1 1 k k
4, Z *l 1 Z *l 1 4 $ + :4 14, 2 4, 1 1 4, 1 1 k
b.
cos200P h
* 1 1 1 lZ ( 1 eJcZ L eJcZ l % fteJc L dt % lZ ( A$ + i h 4 * 4 14, * 4 in4,
*
1 ASan4, t 2 k
¡ 2P m 14, lZ (
4
4
k
k
¡ 2P m 14, :4 14, k
4 ZZ 4 ZfZ 2 k
k
4 P m 14, :4 200 14, m 14, :4 200 14, c.
k
k
C/D100P 1 * lZ 1 lZ ( lZ ( sin 14, l % & ; m 14, ' 9 4 * 4
14, 2 14, 2 k
¡ P m 14, lZ ( k k
4 P
4
k
m 14, :4 14,
4 ZZ 4 ZfZ 2 k
k P ¢ £ m 14, :4 100 14, m 14, :4 100 14, 2 k
k
7.Si f(t) tiene la transformada 4 calcular la transformada de las siguientes funciones a)
b)
k
2 % 2 Z( k
k
k
2 2
k
2 % 2 Z( % Z( 2 % Z( k
k
k
2 2 24 c) 2 2
k k 2 k % 2 2 Z( % 2 Z( 2 % 2 Z( 2 k k k 1 2 2 2 2 2 24 2
8.Calcular * y o 0 p D D¡g1D Dñ pD:
a.
f* t f t ut k
k
L
% g2g 22 % g 22 % 2 2,( t k
b.
,
f* t ut, f t eL ut k
% g2g 2e k
c.
L¦
,
k
2 % g 2e ,
f* t eL ut, f t sin3t k
k
L¦
% e¦ ux sin3t x 2 % e¦ $ k
,
L
2 % (u 2 Zu , Z( 1 ,
-(u -(u + 2 2
k k 1 $% f-uf-( 2 % -u-( 2+ 2 , , k
(
k
1 f-uf-( -u-( 1 -( -(
+ $ 2 2 3 ,
2 3 , 2 2 3 3 2
d. * ( g, cos 2 g
k ( (u (u + 2 % e¦ ux cos2t xut x 2 % e¦ $ 2 k , (
%
,
*fuf
(
2 % ,
*u
1 *( $
+ 2 2 1 2 1 2 1 2 1
e.
*f(
* ( sin4 g, g
¨ ( sin4 g© ¨g© 9 k
4 1 ; 9P 4 ; 2 4 16 4 (
% u sin42 g2 g 22 % u sin42 2 k
,
( ( 1 ( 1 % u ? )u )u A 2 $% )u 2 % f)u 2+ 2 , 2 , ,
1 )u f)u
2 2 4, 2 4, (
f.
(
(
1 )( 1 )( 1 $
+ 2 2 4 2 4 2 4 2 4
* g1
ª 2 2
(
*fuf *u
1 2 ,
1 2 ,
ª ª * ª 2
% g1 2 2 22
%
2 22
22
2, 2 , 2 k 2
*
ª 1 2 # 2 2
10.Calcular la transformada inversa de Fourier de los siguientes espectros 4 a.
4 sin4, 1 k 1 k ( Z % sin, 4 Z( 4 % ? ( Z A Z( 4 2P k 4P k
k k 1 1 ( f(Z ( (Z $% ( f(Z 4 % ( (Z 4+
4P k 4P , k , k k k
b.
k
4 Z g4 1 k 1 k Z 1 k Z (Z % g4 (Z 4 % 4 % f(Z 4 2P , 2P k 2P ,
1 f(Z 1 1 $ + 9 ; 2P , , 2P k
c.
4 g4
d.
1 k (Z 1 (Z 1 1 % 4 9 ; & ' 2P , 2P 2P , k
Z Z f 1
4 4, 2 (Z 4 % 4 4, 2 (Z 4 + $% 2P Z 2 2 Z
Z Z f 4 4, 2 (Z 4 % 4 4, 2 (Z 4 + $% 4 P Z Z
(Z 41 4 4, (Z 2 (Z
+ «$ 4 P Z Z
(Z 41 4 4, (Z 2 (Z
Z
Z f
¬
e.
4 |4| ®4 , 4 4 ( Z 1 Z Z (( Z (( Z % ( Z Z( 4 + ? (( Z AZ $ 2P Z 2P , P 2 ,
f.
sin4, , 2 sin4, , 2 m 4, , , P i 2P i , i
, Z / $ % Z( 4 % Z( 4+ 2P Z / ,
Z( Z(
2P it / , ,
Z /
Z Z 4, 1 ( ( 1 2 2C/D M 2 O
± ° ° ± 2P it it it 2P
Anexos. #1 %
(
% (
Y (
% (
#2
(] ²a ³
g
g 2
2 % (
³ Y e³L dt *
% (
(
g , g , ( ,
te³L e³L te³L e³L a a
(
2 te³L e³L 2 te³L e³L ( 2 te³L e³L & ' ( 2 2 -
te³L e³L e³L a 1 % (
(
SOLUCIONARIO TALLER DE TRANSFORMADA DE FOURIER, TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER Y TEOREMA DE LA CONVOLUCION
PRESENTADO AL PROFESOR:
ING. VICTOR CORREA
POR EL ESTUDIANTE JUAN PABLO GOMEZ GALLEGO
PARA LA MATERIA COMUNICACIONES I DEL PROGRAMA INGENIERIA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN
Miércoles, 23 de mayo de 2007
Taller
1. Calcular la trasnformada de Fourier para las siguientes funciones no periódicas
Solución a)
2 cos cos
1 1 1 4# 4 4 ) 1 1 $% & 1 4' ( + 4 4 * 1 1 ) # 4 4 1 ) 1 4
b)
c)
2 2 ./0 12/ #1 % , , * 4 2 2 2 % ( , *
d)
e)
(
*
A ∂t 3 ∂t 1 ∂t 3 2 9% : 3 : 1 : 1 : 3 ( ; 2 - - 2 2sin 3 sin
A ∂t 5 ∂t 4 ∂t 3 ∂t 3 ∂t 4 ∂t 5
A % ∂t 5 ∂t 4 ∂t 3 ∂t 3 ∂t 4 ∂t 5 (
? @ ) - - ) @ A
8C/D5 C/D4 C/D3
f) H
Fω % costdt
H H
H H H π JK JK ( 2 sin Mω O 4 e e 2 D Mω πO JKL FA A % e dt A H H
iω iω ω P 2
g)
4 π 4 D Mω O por la propiedad de la modulación P 2
cos 20
4 % cos 20 [ \ [ \
Y
Z(
[
] ^_`a \ Z [
_`[
] \ Z
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^
_`[ \
Z
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^ ] \ ] \ Z
P P D M 4 20O D M 4 20O 5 5 cos20 2 \
H bJc Z @
[ \
=sa(@ w) H
h)
,
% e
( Z(
e
% ,
( Z(
,
e
fZ( fZ(
4e 4,
1 fZe fZe 1 fZe fZe
4 4 4 4 4
i)
h
%
,
(
g
Z(
e
%
,
(
Z(
1 fZ i 4
e
fZ( fZe 1
4, 4 4
a)
2. Para una funcióncon trasnformada 4comprobar las siguiente propiedades
Propiedad de diferenciación en frecuencia: j 4 k
4 % Z( k
En general:
l b)
k % Z( 4 4 k k % Z( 4 k
j 4
l 4 l
Propiedad de la simetría:
j 2P 4
1 k % 4 Z( m 0nop q o/0 r sg : 2P k
Se reemplaza w por x
1 k % 4 Z( 2P k
k
2P % 2 u( 2 k
k
Se reenop q t por w
2P 4 % 2 uZ 2 k
Se reemplaza x por t
k
2P 4 % (Z k
j 2P 4
d) Propiedad de escalamiento: j
1 4 M O | |
Sea una constante real positiva k
% Z( k
Se reemplaza 2
Z 1 k M Ou % 2 2 k 1 4 M O 1 4 j M O
e) Convolución en la frecuencia:
* j * 4
w j w 4 k
% * 2 22 j * 4w 4 k
1 k % g 4 gg 2P k * 1 * j 4 y w 4# 2P x * j
3. Si la función con transformada 4, calcular la transformada de sin4,
k k k k Z( Z( 1 % D14z % $ + $% Z( % Z( + 2 2 k k k k 1 4 4, 4 4, 2
4. Calcula la transformada de Fourier de las siguientes funciones (dibujarr p 4) a.
Con a=-1
( g k
4 % ( Z( k
$ fZ( 4
,
% fZ( ,
4 1k + {0 12/ #2 4 ,
1 4
b.
a=-1
C.
|
|} sin4, g 1 1 1 4 4 4, 4 4, ~ ( gZZ ( gZfZ 2 2 2 1 1 1 4 # 2 4 4, 4 4,
x x
( cos 4, g
k
4 % ( cos 4, Z( g k k
4 % ( Z( ,
1 4
4 ZZ 4 ZfZ 4 2
1 1 4 4, 4 4, 4 2 d.
| .
a=1
4 Yk ( Z( k
(
g ( g 2 ( Z(
Z(
4
Z( 2 k ( Z( 2 k ( Z(
% 0
% 4 4 k 4 k 2 4 4
4 4
4 (
2
4 44 0 4
4 P Z 4 4 ln 4 4 4 Z ) ) 4 2 4
e.
f.
Saw, t cos3w, t Fw
k
% Saw, teJL dt k
2π G w w,
4 ZZ 4 ZfZ 4 2 π 4 ?G w 3w, G w 3w, A w, g. sin cos6 4
4
4 % D1cos 6 Z(
, ] _a ] \_a ] ^\_a f] ^_a O Z( dt Y, M Y, Z( -Y, @Z( Y, @fZ( Y, fZ Z( @Z( @fZ( fZ
4
7 4, 5 4, 5 4, 7 4,
4
H.
1 k
Z 1 @Z 1 @fZ 1 fZ*
7 4 5 4
7 4
7 4
(
4 % 1 k ( &4 '
&
( '
4
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] Z
Z
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√2P 4
√2P
4 √2P
4 √2P
( Z(
^`
^`
^`
k
% k
( Z(
k
% ] k
^a
Z(
Z
1 4 )
√2P
^`
1 4 )= 4 √2P
^`
1 1 4
5. Usando la transformada de Fourier hacer las siguientes integrales a. 0 Yk1 w } k
w
k
4 Yk Z( 0 Yk k
k
k
k
k
% 1 2 ) } % } 2 % } % } )
b.
k
Z √P & ) ' $1
√P
k
0 % k k
}w
C/D
w
k
w
k
4 4)
+ C/1 4 0 2 8
5
k
4 % k k
Z(
w
k
k
w
0 % k
k 1 w w w % } 1 C/D10 $% } % } C/D10+ 2 k k k Z
M } O √P & ) ' C/1 4 0 M } O √P w
√P
@
@
√P 9 ) ; 9 ) ;#
w
2 6. Calcular la trasnformada de Fourier de las siguientes señales periódicas: a. |D14, |
l
4, % sin 4, Z l( 2P , 4, eZ ( eZ Z l( % $ + 2P , 2i 4, Z *l( $%
% Z *fl( + 4P , ,
Z *fl( 4, Z *l( 4P 4, 1 1, 4, 1 1 ,
k
4, Z *l 1 Z *l 1 $
+ 4P 4, 1 1 4, 1 1 4, 1 1 4, 1 1 4, Z *l 1 Z *l 1 $ + 4P 4, 1 1 4, 1 1
4, Z *l 1 Z *l 1 Z l( $ +e 2 4, 1 1 4, 1 1 k k
4, Z *l 1 Z *l 1 4 $ + :4 14, 2 4, 1 1 4, 1 1 k
b.
cos200P h
* 1 1 1 lZ ( 1 eJcZ L eJcZ l % fteJc L dt % lZ ( A$ + i h 4 * 4 14, * 4 in4,
*
1 ASan4, t 2 k
¡ 2P m 14, lZ (
4
4
k
k
¡ 2P m 14, :4 14, k
4 ZZ 4 ZfZ 2 k
k
4 P m 14, :4 200 14, m 14, :4 200 14, c.
k
k
C/D100P 1 * lZ 1 lZ ( lZ ( sin 14, l % & ; m 14, ' 9 4 * 4
14, 2 14, 2 k
¡ P m 14, lZ ( k k
4 P
4
k
m 14, :4 14,
4 ZZ 4 ZfZ 2 k
k P ¢ £ m 14, :4 100 14, m 14, :4 100 14, 2 k
k
7.Si f(t) tiene la transformada 4 calcular la transformada de las siguientes funciones a)
b)
k
2 % 2 Z( k
k
k
2 2
k
2 % 2 Z( % Z( 2 % Z( k
k
k
2 2 24 c) 2 2
k k 2 k % 2 2 Z( % 2 Z( 2 % 2 Z( 2 k k k 1 2 2 2 2 2 24 2
8.Calcular * y o 0 p D D¡g1D Dñ pD:
a.
f* t f t ut k
k
L
% g2g 22 % g 22 % 2 2,( t k
b.
,
f* t ut, f t eL ut k
% g2g 2e k
c.
L¦
,
k
2 % g 2e ,
f* t eL ut, f t sin3t k
k
L¦
% e¦ ux sin3t x 2 % e¦ $ k
,
L
2 % (u 2 Zu , Z( 1 ,
-(u -(u + 2 2
k k 1 $% f-uf-( 2 % -u-( 2+ 2 , , k
(
k
1 f-uf-( -u-( 1 -( -(
+ $ 2 2 3 ,
2 3 , 2 2 3 3 2
d. * ( g, cos 2 g
k ( (u (u + 2 % e¦ ux cos2t xut x 2 % e¦ $ 2 k , (
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(
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1 *( $
+ 2 2 1 2 1 2 1 2 1
e.
*f(
* ( sin4 g, g
¨ ( sin4 g© ¨g© 9 k
4 1 ; 9P 4 ; 2 4 16 4 (
% u sin42 g2 g 22 % u sin42 2 k
,
( ( 1 ( 1 % u ? )u )u A 2 $% )u 2 % f)u 2+ 2 , 2 , ,
1 )u f)u
2 2 4, 2 4, (
f.
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(
1 )( 1 )( 1 $
+ 2 2 4 2 4 2 4 2 4
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1 2 ,
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% g1 2 2 22
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2 22
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2, 2 , 2 k 2
*
ª 1 2 # 2 2
10.Calcular la transformada inversa de Fourier de los siguientes espectros 4 a.
4 sin4, 1 k 1 k ( Z % sin, 4 Z( 4 % ? ( Z A Z( 4 2P k 4P k
k k 1 1 ( f(Z ( (Z $% ( f(Z 4 % ( (Z 4+
4P k 4P , k , k k k
b.
k
4 Z g4 1 k 1 k Z 1 k Z (Z % g4 (Z 4 % 4 % f(Z 4 2P , 2P k 2P ,
1 f(Z 1 1 $ + 9 ; 2P , , 2P k
c.
4 g4
d.
1 k (Z 1 (Z 1 1 % 4 9 ; & ' 2P , 2P 2P , k
Z Z f 1
4 4, 2 (Z 4 % 4 4, 2 (Z 4 + $% 2P Z 2 2 Z
Z Z f 4 4, 2 (Z 4 % 4 4, 2 (Z 4 + $% 4 P Z Z
(Z 41 4 4, (Z 2 (Z
+ «$ 4 P Z Z
(Z 41 4 4, (Z 2 (Z
Z
Z f
¬
e.
4 |4| ®4 , 4 4 ( Z 1 Z Z (( Z (( Z % ( Z Z( 4 + ? (( Z AZ $ 2P Z 2P , P 2 ,
f.
sin4, , 2 sin4, , 2 m 4, , , P i 2P i , i
, Z / $ % Z( 4 % Z( 4+ 2P Z / ,
Z( Z(
2P it / , ,
Z /
Z Z 4, 1 ( ( 1 2 2C/D M 2 O
± ° ° ± 2P it it it 2P
Anexos. #1 %
(
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#2
(] ²a ³
g
g 2
2 % (
³ Y e³L dt *
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(
2 te³L e³L 2 te³L e³L ( 2 te³L e³L & ' ( 2 2 -
te³L e³L e³L a 1 % (
(
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