Transformada De Fourier

Nota: Las siguientes líneas son un resumen de las cuestiones que se han tratado en clase sobre este tema. El desarrollo de todos los tópicos tratados está recogido en la bibliografía recomendada en la Programación de la asignatura.

Tema 12. Transformada de Fourier 12.1. Introducción Hasta ahora, hemos visto que, bajo ciertas condiciones, es posible representar una función periódica mediante una serie trigonométrica (serie de Fourier). También que es posible aproximar una función por una serie trigonométrica, si esta función está definida en un intervalo [a, b] acotado, bastando para ello prolongar la función, repitiéndola en cada intervalo de longitud b-a. Lo que nos planteamos ahora es cómo representar una función cuando está definida en todo R y no es periódica. De manera intuitiva podemos idear un procedimiento para obtener su serie de Fourier de la siguiente forma: Interpretamos el trozo de función definida en el intervalo [-T, T] y desarrollamos esta nueva función suponiendola periódica y de periodo 2T después haremos T tender a infinito y ver que resultado obtenemos; dicho de otra formar, estamos asumiendo que nuestra función es periódica de periodo infinito. Haciendo esto se obtiene, bajo ciertas condiciones, que: f(x)'

4 1 4 [f (t) e & i ω (t & x)dω]dt m&4 2π m&4

O de otra forma: 4 1 4 [f (t) cos[ω(t&x)]dω]dt m0 π m&4 Para ser mas precisos estos resultados vienen determinados por el Teorema de la integral de Fourier.

f(x)'

12.2. Teorema de la integral de Fourier Teorema 12.2.1 de la Integral de Fourier Sea f(x) una función absolutamente integrable en R y tal que para el punto x se verifica que existen los valores de f(x+), f(x-), y que las integrales δ f (x % t) & f(x%) δ f (x & t) & f(x&) dt ; dt son absolutamente convergentes para un cierto δ > 0 , entonces: m0 m0 t t f (x%) % f (x&) 1 4 4 ' [ f (u) cos [ω (u & x)]du]dω 2 π m0 m& 4

Igual que sucedía con las series de Fourier, el Teorema de la integral de Fourier admite una forma exponencial que expresamos a continuación.

Teorema 12.2.2 de la Integral de Fourier en forma exponencial Bajo las mismas hipótesis del toerema 13.2.1 si, además, existe

m&4 4

*f(x%t)&f(x&t)* dt , se tiene que: t

f (x%) % f (x&) 1 4 4 ' ( f (u)e i ω (u & x) du) dω 2 2 π m& 4 m& 4

Las hipótesis de este Teorema, al igual que nos sucedía con las Series de Fourier, son poco manejables por lo que, normalmente, el Teorema de la integral de Fourier se enuncia con unas hipótesis más restrictivas pero que son más operativas. Así enunciamos, de forma resumida, el Teorema de la Integral de Fourier de la manera siguiente Proposición 12.2.3 Sea f(x) una función definida en todo R verificando que 4 a) existe *f(x)*dx m&4 b) f(x) es continua salvo en un conjunto discreto de puntos {x1, x2, ..., xn,...}. En estos puntos, xi existen, y son finitos, los límites laterales f(xi+) y f(xi-). c) f(x) es derivable por la izquierda y por la derecha Entonces es f (x%) % f (x&) 1 4 4 1 4 4 ' [ f (u) cos [ω (u & x)]du]dω ' [ f (u)e i ω (u & x)du]dω m m 2 π &4 0 2 π m& 4 m& 4

12.3. Transformada Integral. Transformada de Fourier

K(t,s)f(t)dt existe para una función dada, m&4 f(t), obtenemos una nueva función, F(s), a la que denominaremos Transformada integral de la función f(t) respecto al núcleo K(t, s). Según la elección que hagamos de K(t, s) tenemos distintos tipos de Transformadas integrales. Una que tiene bastante utilidad, por ejemplo en la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, es la Transformada de Laplace que se corresponde cuando elegimos como núcleo K(t, s) = e-t s y trabajamos con funciones, f(t), tales que tanto ella como el núcleo son nulos cuando t < 0. Aquí la que nos ocupa es la denominada Trasformada de Fourier. La transformada de Fourier es una transformada integral con núcleo, K(t, s) = e- i t s, donde "i" es la unidad imaginaria. Así, dada f(t) se denomina transformada de Fourier de f(t) a la función, F(ω), definida por: 4 &itω e f (t)dt ; con & 4 < ω < 4 ö [ f (t) ] ' F (ω) ' m& 4 si tal integral existe. Si K(t, s) es una función de las variables "t" y "s" y la integral

4

Dos tipos particulares de esta transformada son las denominadas transformadas seno y coseno de Fourier y que se definen como: 4 4 ös[ f (t) ] ' Fs(ω) ' f(t)sen(tω)dt ; öc[f(t)] ' Fc(ω) ' f(t) cos(tω)dt m0 m0 si tales integrales existen. Volviendo a la transformada de Fourier, observemos que si f(t) es una función continua que satisface todas las hipótesis requeridas a f(t) para el Teorema de la Integral de Fourier (Teorema 12.2.2) en forma exponencial, tenemos que: 1 4 itω 1 4 itω 4 &iuω e F (ω)dω ' e ( e f (u)du)dω ' m& 4 2 π m& 4 2 π m& 4 1 4 4 & i ω (t & u) 1 4 4 & i ω (u & t) ( e f (u)du)dω ' ( e f (u)du)dω ' f (t) ' 2 π m& 4 m& 4 2 π m& 4 m& 4 donde la última igualdad es cierta pues, como observamos en la demostración del teorema de la integral de Fourier en forma exponencial, la parte de "seno" que se generaba a partir de la exponencial valía cero, y el cambio de signo aquí tan sólo altera el signo de la parte nula de la integral.

De acuerdo con esta igualdad, hemos encontrado que 1 4 iωt f (t) ' e F (ω) dω , 2 π m& 4 donde F(ω) es la transformada de Fourier de f(t), es decir, a cada función f(t) se le puede hacer corresponder una única función, F(ω), denominada transformada de Fourier de f(t) y , recíprocamente, a cada F(ω) le corresponde una función, f(t), por tanto tiene sentido hablar de transformación inversa de Fourier y establecer el resultado siguiente: Teorema 12.3.1 de inversión Sea f(t) una función que verifica las hipótesis del Teorema de la integral de Fourier en forma exponencial. En 4 &itω e f (t) dt , se tiene que los puntos donde f(t) es continua, si F (ω) ' ö [ f ] ' m& 4 1 4 itω ö&1 ( F (ω) ) ' f (t) ' e F (ω) dω 2 π m& 4

12.4. Propiedades de la Transformada de Fourier En lo que sigue, trataremos con funciones, f (t) o g(t), que verifican las hipótesis del Teorema de Inversión pues son estas funciones las que nos van a ser útiles en las aplicaciones, ya que la aplicabilidad de las transformadas reside en el hecho de que un problema concreto, difícilmente solucionable en los términos originales, aplicando transformada pasaremos a otro que será mas manejable en sus cálculos a la vez que nos pueda servir para extraer propiedades. Pero después, en la mayoría de los casos, habrá que volver al problema original y, para ello, deberemos poder invertir el resultado volviendo al primer problema; es decir deberemos poder calcular la transformada inversa del resultado.

Proposición 12.4.1 (linealidad) Si existen las transformadas de Fourier de f(t) y g(t), entonces, para todas las constantes a y b,también existe la de af(t) + bg(t) y ö[af + bg] = aö[f] + bö[g].

Proposición 12.4.2 (cambio de escala) Si "a" es un número real y F(T) es la transformada de f(t), entonces 1 ω ö(f(at)) = F( ) *a* a

Obsérvese que, de esta propiedad, se sigue que si ö[f(t)] = F(ω), entonces ö[f(- t)] = F(- ω).

Proposición 12.4.3 (traslación) Si existe la transformada de f(t), entonces, ö [f(t - a)] = e -iTa ö [f(t)]

Proposición 12.4.4. Si F(s) = ö [f(t)], y la función F(T) es integrable, entonces ö [F(t)] = 2Bf(-T)

Proposición 12.4.5 Si la transformada de f(t) es F(T) entonces, ö [ ei k tf(t)] = F(T-k)

Proposición 12.4.6 Si f(t) y f '(t) verifican que son absolutamente integrables en R y que limf(t)'0 , se tiene que t6±4

ö [f '(t)] = iTö [f(t)]

Proposición 12.4.7. La condición necesaria y suficiente para que una función, f(t), sea una función de valores reales es que, si F(T) es su transformada de Fourier, se verifique que F(- T)= F(ω)

12.5. Convolución Una operación, en términos de integrales, entre funciones que es muy útil, tanto en el cálculo de transformadas de funciones como en aplicaciones físicas es el llamado producto de convolución de funciones o, simplemente, convolución. Su definición es la siguiente

Definición 12.5.1. Dadas dos funciones, f y g, se denomina convolución de ambas, y se representa por f(g a una nueva función definida por: 4 ( f ( g ) (t) ' f (x) g (t & x) dx m& 4 si tal integral existe.

Proposición 12.5.2 El producto de convolución es conmutativo, es decir f(g=g(f

Proposición 12.5.3 El producto de convolución es asociativo: f((g(h) = f((g(h)

Proposicón 12.5.4 Si f(x) = g(x) = 0 para todo x < 0, entonces ( f ( g ) (t) '

m0

t

f (x) g (t & x) dx

NOTA: Esta última es la expresión de la convolución en el estudio de Transformadas de Laplace.

Para asegurar la existencia de la convolución de dos funciones se pueden dar diversas condiciones, nosotros consideramos las siguientes por operatividad

Teorema 12.5.5 Si f,g son absolutamente integrables en R y si una de las dos funciones está acotada, entonces existe la convolución de f y g para todo x de R.

Teorema 12.5.6 Si f y g son absolutamente integrables en R y convergen las integrales:

m&4 4

*f(x)*2dx,

m&4 4

*g(x)*2dx entonces,

también existe la convolución de las funciones f y g.

Corolario 12.5.7 Si f(t) y g(t) verifican la hipótesis de alguno de los dos teoremas anteriores, se tiene que: a) (f(g)(x) es una función acotada. b) (f(g)(x) es continua e integrable si una de las dos funciones, f ó g, es continua.

Teorema 12.5.8 de convolución para transformadas de Fourier Sean f (t) y g(t) dos funciones verificando las hipótesis de alguno de los dos teoremas anteriores y supongamos que f (t) o g(t) es continua, entonces: 4 4 4 (f ( g) (t) e & i t ω dt ' ( f (t) e & i t ω dt) ( g(t) e & i t ω dt) m& 4 m& 4 m& 4 o de otra forma: si ö(f(t)) = F(s), ö(g(t)) = G(s) se puede escribir: 4 ö ( f (x) g(t & x) dx) ' ö ( f (t) ) ö ( g(t) ) y m& 4 f (x) g(t & x) dx m& 4 (Obsérvese que esta última fórmula nos permite calcular transformadas inversas de Fourier de productos de transformadas). ö &1 [ F(ω) G(ω) ] ' ( f ( g )(t) '

4

Teorema 12.5.9 (Identidad de Parseval) Sea F(T) la transformada de Fourier de f(t). Entonces: 4 4 * F(ω) *2ds ' 2 π * f (t) *2dt m& 4 m& 4

12.6. Transformadas de las funciones elementales CUADRO DE ALGUNAS TRANSFORMADAS DE FOURIER

f (t) '

1 4 F(ω) e i t ωdω 2π m& 4

F(ω) ' ö [f (t)]'

m& 4 4

f (t)e & i t ω dt

f (t) '

1 4 F(ω) e i t ωdω 2π m& 4

F(ω) ' ö [f (t)]'

m& 4 4

&2c

Π[a,b](t)

e &i a ω & e &i b ω iω

ec*t*

ω2 % c 2

Π[-b,b](t)

2 sen bω ω

sg(t)

2 iω

ect Π[a,b](t), Re(c)<0

1

e b (c & i ω) & e a (c & i ω) c & iω

t 2% c 2 2

e &a t con a > 0

1 iω & c

ect Π[0, 4)(t) con Re(c) < 0

f (t)e & i t ω dt

π & e c*ω* c ω2

π & 4a e a

12.7. Resolución de ecuaciones diferenciales lineales con Transformadas de Fourier La Transformación de Fourier permite, a veces, resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. El uso del método, en otras disciplinas no estriba, en general, en la simplificación de cálculos sino más bien en la serie de ideas que aporta este método en el tratamiento de señales y el estudio de sistemas. Sea una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes y de orden “n” a0

d nx dt

n

%a1

d n&1x dt

n&1

%...%an&1

dx %a x'g(t) dt n

admitiremos que las soluciones y sus derivadas hasta el orden “n” tienden a cero cuando la variable independiente tiende a infinito. Tomando transformadas de Fourier en ambos miembros y aplicando la propiedad 13.4.6 obtenemos que [a0(iω)n%a1(iω)n&1%...%an&1iω%an]ö[x]'ö[g(t)]'G(ω)

podemos llamar Y(s) =

1 a0s n%a1s n&1%...%an&1s%an

con lo cual ö[x]=Y(iω)G(ωs) o bien x=ö-1[Y(iω)G(ω)]. Es

decir, si ö[y(t)] = Y(iω) tenemos finalmente que x(t) = y(t)( g(t) o sea, la convolución de y con g. Obsérvese que esta última fórmula nos quiere indicar que, en general, no es necesario el conocimiento explícito de la transformada de g(t) y que nos basta con conocer la transformada inversa de Y(iω). A la función Y(iω) se le denomina función de transferencia del sistema y, para sistemas estables, es relativamente fácil el cálculo de su transformada inversa.