3- Transformada De Laplace.pdf

CAPÍTULO 2 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE En el año 1782 Pierre Simon Laplace estudió la transformación integral que lleva su nombre. Sin embargo, no es hasta el periodo de 1880-1887 cuando Oliver Heaviside la aplica para la resolución de ecuaciones diferenciales. Esta transformación es muy útil para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. La principal ventaja de su uso es que permite convertir el sistema de ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento de una planta, en un sistema de ecuaciones algebraicas en una variable compleja s.

2.1

DEFINICIÓN

Se define la transformada de Laplace F(s) de una determinada función temporal f(t) como: ∞

F ( s ) = L [ f (t )] = ∫ f (t )e − ts dt

(2.1)

0

Donde f(t) es una función real de variable real, generalmente el tiempo, y su transformada de Laplace F(s) es una función compleja de variable compleja. Se reservarán las letras minúsculas para las funciones temporales y las mayúsculas para sus transformadas de Laplace. L f(t)

F(s)

Fig. 2.1 Transformada de Laplace

Como la integral (2.1) se extiende desde cero hasta infinito, dos funciones cualesquiera que difieran únicamente en valores de tiempo negativos, poseen la misma transformada de Laplace. Sin embargo, no tiene mucho sentido hablar de tiempos negativos. Lo habitual será trabajar con funciones causales, es decir, aquellas que son nulas para tiempos negativos y toman valores finitos en tiempos positivos. La variable compleja s, tiene unidades de rad/s sobre el eje imaginario y de s–1 sobre el eje real. Esto se puede ver en (2.2), por la propia definición de la transformada de Laplace. e − ts = e − t ( a + bj ) = e − ta e− tbj = e − ta −tb

(2.2)

Para que el exponente del módulo del número complejo sea adimensional, a que es la parte real de la variable compleja s, debe tener unidades de s–1. El argumento tendrá unidades de rad si b que es la parte imaginaria de la variable compleja s tiene unidades de rad/s.

2.2

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

En la Tabla 2.1 se resumen las principales propiedades de la transformada de Laplace.

9

Propiedad

Expresión

Linealidad

L [α f (t ) + β g (t )] = α F ( s ) + β G ( s )

Integración real

⎡t ⎤ F ( s) L ⎢ ∫ f (τ )dτ ⎥ = s ⎣0 ⎦

Derivación real

⎡ df (t ) ⎤ L ⎢ = sF ( s ) − f (0+ ) ⎥ ⎣ dt ⎦

Valor final

lim f (t ) = lim sF ( s ) si existen los dos límites t →∞

s →0

lim f (t ) = lim sF ( s ) si existen los dos límites

Valor inicial

t → 0+

s →∞

Traslación en el tiempo

L [ f (t − α )] = e −α s F ( s )

Traslación en Laplace

L [e −α t f (t )] = F ( s + α )

Convolución

L [ f (t ) ⊗ g (t )] = F ( s )G ( s ) con f (t ) ⊗ g (t ) = ∫ f (t − τ ) g (τ ) dτ

t

0

⎡ L ⎢f ⎣

Escalado en el tiempo

⎛ t ⎞⎤ ⎜ ⎟ ⎥ = α F (α s ) ⎝ α ⎠⎦

Tabla 2.1 Algunas propiedades de la transformada de Laplace

2.3

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES ELEMENTALES

En este apartado se calculan las transformadas de Laplace de algunas funciones elementales. La función escalón unitario u(t) se define como: ⎧1 para t > 0 u (t ) = ⎨ ⎩0 para t < 0 Su transformada de Laplace se obtiene por definición:

(2.3)

∞

∞ ⎡ e − ts ⎤ 1 U ( s ) = L [u (t )] = ∫ e − ts dt = ⎢ ⎥ = ⎣ −s ⎦0 s 0

(2.4)

Para el caso de la función pulso de área unidad p(t), también por definición: ⎧1 ⎪ p (t ) = ⎨α ⎪⎩0 α

para 0 < t < α

(2.5)

resto α

1 ⎡ e − ts ⎤ 1 − e −α s P ( s ) = L [ p (t )] = ∫ e dt = ⎢ = α ⎣ − s ⎥⎦ 0 αs 0α 1

− ts

(2.6)

El mismo resultado se puede conseguir escribiendo la función pulso de área unidad como suma de dos funciones escalón un poco modificadas: −α s 1 ⎡1 ⎤ 1 ⎛1 e P ( s ) = L [ p(t )] = L ⎢ u (t ) − u (t − α ) ⎥ = ⎜ − α s ⎣α ⎦ α⎝s

La función impulso unitario δ(t) se define como: 10

⎞ 1 − e −α s ⎟= αs ⎠

(2.7)

⎧∞ ⎩0

δ (t ) = ⎨

para t = 0 resto

∞

de forma que

∫ δ (t )dt = 1

(2.8)

−∞

En este caso, su transformada de Laplace se puede obtener como límite de la función pulso de área unidad, cuando el parámetro α tiende a cero, es decir: 1 − e −α s =1 (2.9) α →0 αs Donde se ha empleado el teorema de l’Hopital para el cálculo del límite. Otra forma de obtener este mismo resultado es considerar función escalón unitario se obtiene integrando la función impulso unitario: Δ( s ) = L [δ (t )] = lim

⎡t ⎤ Δ( s ) 1 (2.10) U ( s ) = L [u (t )] = L ⎢ ∫ δ (τ )dτ ⎥ = = ⇒ Δ( s) = 1 s s ⎣0 ⎦ Las funciones que más se emplean como entradas en los sistemas controlados son precisamente aquellas que se obtienen al ir integrando sucesivamente la función impulso unitario: Función f(t) F(s) Impulso unidad

δ (t )

1

Escalón unidad

u (t ) = 1 para t > 0

1 s

Rampa unidad

v(t ) = t para t > 0

1 s2

Aceleración un medio

a(t ) =

t2 para t > 0 2

1 s3

Tabla 2.2 Transformadas de Laplace de las entradas habituales en los sistemas

En la Tabla 2.3 se muestran las transformadas de otras funciones, definidas para tiempos positivos. f(t) F(s) f(t) F(s)

e − at

1 s+a

t k −1

(k − 1)! sk

te − at

1 ( s + a)2

e − at − e − bt

b−a ( s + a)( s + b)

t k −1e − at

(k − 1)! ( s + a)k

sin at

a s + a2

1 − e − at

a s(s + a)

cos at

s s + a2

a s (s + a)

1 − at e sin bt b

1 ( s + a)2 + b2

a2 s( s + a)2

e − at cos bt

s+a ( s + a)2 + b2

t−

1 − e − at a

1 − (1 + at )e − at

2

2

2

Tabla 2.3 Transformadas de Laplace de diversas funciones

2.4

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

El proceso matemático de pasar de la expresión matemática en el dominio de Laplace a la expresión en el dominio del tiempo se denomina transformada inversa de Laplace.

11

1

−1

f (t ) = L [ F ( s )] =

c + jω

∫ ω F ( s )e

2π j c − j

ts

ds

(2.11)

Evaluar la integral (2.11) puede ser bastante complicado por lo que se suele calcular acudiendo a la Tabla 2.3. Si en la tabla no se encuentra una determinada función F(s), se recomienda descomponerla en funciones simples en s, de las cuales sí se conozcan sus transformadas inversas. Como las funciones de Laplace que se van a utilizar suelen ser fracciones de polinomios en s, el cálculo de transformadas inversas se reduce a dividir estas expresiones en fracciones simples. Como ejemplo, se va a calcular la función temporal de la función de Laplace F(s) de la ecuación (2.12). Lo primero que se hace es dividir la única fracción en tres simples:

F ( s) =

s 2 + 2s + 3 A B C A + B ( s + 1) + C ( s + 1) 2 = + + = ( s + 1)3 ( s + 1)3 ( s + 1) 2 ( s + 1) ( s + 1)3

(2.12)

Las constantes A, B y C se calculan igualando coeficientes de los polinomios del numerador. También es posible obtenerlos igualando los numeradores después de dar un valor numérico a la variable s. Los valores numéricos más adecuados son las raíces de distintos monomios. De esta forma es posible determinar más rápidamente las constantes. F ( s) =

2.5

2 1 + 3 ( s + 1) ( s + 1)

f (t ) = t 2 e − t + e − t = e − t (1 + t 2 )

⇒

(2.13)

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON LAPLACE

En este apartado se utiliza la transformada de Laplace para solucionar ecuaciones diferenciales lineales. Sea la siguiente ecuación diferencial:

a0 f (t ) + a1

df (t ) d 2 f (t ) dr (t ) + a2 = b0 r (t ) + b1 2 dt dt dt

(2.14)

Las condiciones iniciales son:

df (0+ ) = c1 r (0+ ) = d 0 dt Se aplica la transformada de Laplace a los dos miembros de la ecuación: f (0+ ) = c0

(2.15)

a0 F ( s ) + a1[ sF ( s ) − c0 ] + a2 [ s 2 F ( s ) − c0 s − c1 ] = b0 R ( s ) + b1[ sR( s ) − d 0 ]

(2.16)

(a0 + a1 s + a2 s ) F ( s ) + b1d 0 = (b0 + b1s ) R ( s ) + a1c0 + a2 c1 + a2 c0 s

(2.17)

2

F ( s) =

b0 + b1s a c + a2 c1 − b1d 0 + a2 c0 s R( s) + 1 0 2 a0 + a1s + a2 s a0 + a1s + a2 s 2

(2.18)

La ecuación diferencial (2.14) se convierte en una ecuación algebraica (2.16) en el dominio de Laplace. De esta forma es muy sencillo obtener la solución (2.18) a la ecuación diferencial, también en el dominio de Laplace. La solución en el dominio del tiempo se puede obtener calculando la transformada inversa de Laplace de F(s), conocida la función r(t). Si en lugar de una única ecuación diferencial se tiene un sistema de ecuaciones diferenciales, en el dominio de Laplace se obtiene un sistema de ecuaciones algebraicas. De esta forma es muy sencillo eliminar aquellas variables que se consideren innecesarias, y obtener una única expresión de la salida del sistema en función de la entrada. Por ejemplo, un sistema propuesto en el capítulo anterior:

vi

R

L

vo C

i

Fig. 2.2 Sistema eléctrico resistencia-bobina-condensador

Si se aplica la transformada de Laplace al sistema de ecuaciones que gobierna el sistema, suponiendo condiciones iniciales nulas:

12

t ⎫ di 1 + ∫ idτ ⎪ dt C 0 ⎪ ⎬ t 1 ⎪ vo = ∫ idτ ⎪ C0 ⎭

vi = Ri + L

Vi = RI + LsI +

L ⎯⎯ →

I Vo = sC

I ⎫ 1 sC ⎪⎪ Vi ⎬Vo = 1 + RCs + LCs 2 ⎪ ⎭⎪

(2.19)

Donde se ha conseguido expresar la tensión de salida del circuito en función de la tensión de entrada, independientemente de la otra variable, que es la intensidad que circula por la malla. Conviene resaltar también cómo el cociente que multiplica a la tensión de entrada Vi no modifica sus unidades, por lo que la tensión de salida tiene las misma unidades que la tensión de entrada. Si repasamos en el denominador de ese cociente, cada uno de los sumandos es adimensional, es decir, ohmio por faradio entre segundo es adimensional y henrio por faradio entre segundo al cuadrado es también adimensional. Comprobar las unidades puede ayudar a detectar posibles errores en la resolución del sistema. Si la tensión de entrada en el sistema de la Fig. 2.2 es un escalón de valor 3 voltios, es posible encontrar el valor que alcanza la tensión en la capacidad cuando el tiempo tiende a infinito a través del teorema del valor final: 1 1 3 V = lim s = 3 voltios (2.20) 2 i 2 → 0 s 1 + RCs + LCs 1 + RCs + LCs s Con este ejemplo, queda patente cómo es posible conocer características de la respuesta temporal del sistema sin haber calculado la expresión general de la tensión vo(t) en función del tiempo a través de la transformada inversa de Laplace. Con los teoremas del valor inicial y final es posible conocer el valor en régimen permanente, el valor inicial de la función y las sucesivas derivadas del la función en el origen. lim vo (t ) = lim sVo = lim s t →∞

2.6

s →0

s →0

PROBLEMA RESUELTO

Obtener la función x(t) que cumple la ecuación diferencial con condiciones iniciales no nulas:

d 2 x(t ) dx(t ) dx(0+ ) + + + x t = x = a =b 3 2 ( ) 0 con (0 ) dt 2 dt dt Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación diferencial: s 2 X ( s ) − sa − b + 3[ sX ( s ) − a ] + 2 X ( s ) = 0

(2.21)

(2.22)

La solución en el dominio de Laplace es: X ( s) =

sa + 3a + b s 2 + 3s + 2

(2.23)

La solución en el dominio del tiempo es:

x(t ) = L

2.7

−1

⎡ sa + 3a + b ⎤ ⎢ s 2 + 3s + 2 ⎥ = L ⎣ ⎦

−1

⎡ 2a + b a + b ⎤ −t −2 t ⎢ s + 1 − s + 2 ⎥ = (2a + b)e − (a + b)e ⎣ ⎦

(2.24)

PROBLEMA RESUELTO

Obtener la función x(t) que cumple la ecuación diferencial con condiciones iniciales nulas:

d 2 x(t ) dx(t ) +2 + 5 x(t ) = 3u (t ) 2 dt dt Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación diferencial: s 2 X ( s ) + 2sX + 5 X ( s ) =

3 s

(2.25)

(2.26)

La solución en el dominio de Laplace es:

X ( s) =

3 s ( s + 2s + 5) 2

La solución en el dominio del tiempo es:

13

(2.27)

x(t ) = L

−1

3 x(t ) = L 5

⎡ ⎤ 3 ⎢ s ( s 2 + 2 s + 5) ⎥ = L ⎣ ⎦

−1

⎡1⎤ 3 ⎢s⎥ − 5L ⎣ ⎦

−1

⎡ s+2 ⎤ ⎢ s 2 + 2s + 5 ⎥ ⎣ ⎦

(2.28)

⎡ ⎤ 3⎛ s +1 1 2 1 −t ⎞ −t ⎢ ( s + 1) 2 + 22 + 2 ( s + 1) 2 + 22 ⎥ = 5 ⎜ 1 − e cos 2t − 2 e sin 2t ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

(2.29)

−1

Bs + C ⎤ 3 ⎡A ⎢ s + s 2 + 2s + 5 ⎥ = 5 L ⎣ ⎦

14

−1

⎡1⎤ 3 ⎢s⎥ − 5L ⎣ ⎦

−1

APÉNDICE

A

Tablas de la transformada de Laplace

El Apéndice A presenta la variable compleja y la función compleja. Después se presentan las tablas de parejas de la transformada de Laplace y las propiedades de la transformada de Laplace. Finalmente, se presentan teoremas usuales de la transformada de Laplace y las transformadas de Laplace de la función pulso y de la función impulso. Variable compleja. Un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria, y ambas son constantes. Si la parte real y/o la parte imaginaria son variables, el número complejo se denomina variable compleja. En la transformada de Laplace, se emplea la notación s como variable compleja; esto es, s % p ! ju donde p es la parte real y u es la parte imaginaria. Función compleja. Una función compleja G(s) es una función de s, que tiene una parte real y una parte imaginaria, o bien, G(s) % Gx ! jGy donde Gx y Gy son cantidades reales. La magnitud de G(s) es ∂G2x ! G2y , y el ángulo h de G(s) es tan.1 (Gy/Gx). El ángulo se mide en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj, a partir del eje real positivo. El complejo conjugado de G(s) es G1 (s) % Gx . jGy. Las funciones complejas que se suelen encontrar en el análisis de los sistemas de control lineales son funciones univaluadas de s y se determinan en forma única para un determinado valor de s.

www.FreeLibros.org

860

Ingeniería de control moderna

Se dice que una función compleja G(s) es analítica en una región, si G(s) y todas sus derivadas existen en esa región. La derivada de una función analítica G(s) se obtiene mediante G(s ! Bs) . G(s) BG d G(s) % lím % lím Bs ds Bsr0 Bsr0 Bs Como Bs % Bp ! jBu, Bs se puede aproximar a cero a lo largo de un número infinito de trayectorias diferentes. Se puede demostrar, aunque no se realiza aquí, que si las derivadas tomadas a lo largo de dos trayectorias particulares, esto es, Bs % Bp y Bs % jBu son iguales, entonces la derivada es única para cualquier otra trayectoria Bs % Bp ! jBu, y por lo tanto, la derivada existe. Para una trayectoria determinada Bs % Bp (lo que significa que la trayectoria es paralela al eje real),

A

B

BGx BGy LGx LGy d G(s) % lím !j % !j Bpr0 Bp Bp Lp Lp ds Para otra trayectoria determinada Bs % jBu (lo que significa que la trayectoria es paralela al eje imaginario),

A

B

d BGx BGy LGx LGy G(s) % lím !j %.j ! ds jBur0 jBu jBu Lu Lu Si estos dos valores de la derivada son iguales, LGx LGy LGy LGx !j % .j Lp Lp Lu Lu o si se satisfacen las dos condiciones siguientes, LGx LGy % Lp Lu

y

LGy LGx %. Lp Lu

la derivada dG(s)/ds se determina de forma única. Estas dos condiciones se conocen como las condiciones de Cauchy-Riemann. Si se cumplen estas condiciones, la función G(s) es analítica. Como ejemplo, considérese la siguiente G(s): G(s) %

1 s!1

Por lo tanto,

www.FreeLibros.org G(p ! ju) %

1 % Gx ! jGy p ! ju ! 1

Apéndice A. Tablas de las transformadas de Laplace

861

donde Gx %

p!1 (p ! 1)2 ! u2

y

Gy %

.u (p ! 1)2 ! u2

Se puede apreciar que, excepto en s %.1 (esto es, p %.1, u % 0), G(s) satisface las condiciones de Cauchy-Riemann: u2 . (p ! 1)2 LGx LGy % % Lp Lu [(p ! 1)2 ! u2]2 LGy LGx 2u(p ! 1) % % Lp Lu [(p ! 1)2 ! u2]2 Por tanto, G(s) % 1/(s ! 1) es analítica en todo el plano s, excepto en s %.1, y la derivada dG(s)/ds, excepto en s % 1, es: d LGx LGy LGy LGx G(s) % !j % .j Lp Lp Lu du ds %.

1 1 2 %. (p ! ju ! 1) (s ! 1)2

Obsérvese que la derivada de una función analítica se obtiene simplemente diferenciando G(s) con respecto a s. En este ejemplo,

A B

1 d 1 %. ds s ! 1 (s ! 1)2 Los puntos en el plano s en los cuales la función G(s) es analítica se denominan puntos ordinarios, mientras que los puntos del plano s en los cuales la función G(s) no es analítica se denominan puntos singulares. Los puntos singulares en los cuales la función G(s) o sus derivadas tienden a infinito se denominan polos. Los puntos singulares en los que la función G(s) es igual a cero se denominan ceros. Si G(s) tiende a infinito conforme s se aproxima a .p y si la función: G(s)(s ! p)n,

para n % 1, 2, 3, ...

tiene un valor finito diferente de cero en s %.p, entonces s %.p se denomina polo de orden n. Si n % 1, el polo se designa polo simple. Si n % 2, 3, ..., el polo es un polo de segundo orden, polo de tercer orden, etc. Como ejemplo, se considera la función compleja

www.FreeLibros.org G(s) %

K(s ! 2)(s ! 10) s(s ! 1)(s ! 5)(s ! 15)2

862

Ingeniería de control moderna

G(s) tiene ceros en s %.2, s %.10, polos simples en s % 0, s %.1, s %.5, y un polo doble (polo múltiple de orden 2) en s %.15. Se observa que G(s) se vuelve cero en s % ä. Como, para valores grandes de s, G(s) ⯐

K s3

G(s) posee un cero triple (cero múltiple de orden 3) en s % ä. Si se incluyen puntos en infinito, G(s) tiene el mismo número de polos que de ceros. En resumen, G(s) tiene cinco ceros (s %.2, s %.10, s % ä, s % ä, s % ä) y cinco polos (s % 0, s %.1, s %.5, s %.15, s %.15). Transformada de Laplace. Sean f (t) % una función del tiempo t tal que f (t) % 0 para t a 0 s % una variable compleja ᏸ % un símbolo operativo que indica que la cantidad a la que antecede se va a transformar .st dt mediante la integral de Laplace : ä 0 e F(s) % transformada de Laplace de f (t) Entonces la transformada de Laplace de f (t) se obtiene mediante ᏸ[ f (t)] % F(s) %

I

ä

e.st dt[ f (t)] % 0

I

ä

f (t)e.st dt 0

El proceso inverso de encontrar la función del tiempo f (t) a partir de la transformada de Laplace F(s) se denomina transformada inversa de Laplace. La notación para la transformada inversa de Laplace es ᏸ.1 se encuentra a partir de F(s) mediante la siguiente integral de inversión: ᏸ.1[F(s)] % f (t) %

1 2nj

I

c!jä

F(s)est ds,

para t b 0

c.jä

donde c, la abscisa de convergencia, es una constante real que se eligió más grande que las partes reales para todos los puntos singulares de F(s). Por tanto, la trayectoria de integración es paralela al eje ju y se desplaza una cantidad c a partir de él. Esta trayectoria de integración va hacia la derecha de todos los puntos singulares. Parece complicado evaluar la integral de inversión. En la práctica, rara vez se emplea esta integral para encontrar f (t). Normalmente se utiliza el método de expansión en fracciones simples dado en el Apéndice B. En lo que sigue, en la Tabla A-1 se presentan las parejas de transformadas de Laplace de las funciones más comunes, y en la Tabla A-2, se presentan las propiedades de las transformadas de Laplace.

www.FreeLibros.org

Apéndice A. Tablas de las transformadas de Laplace

Tabla A-1.

Parejas de la transformada de Laplace.

f (t)

F(s)

1

Unidad de impulso d(t)

1

2

Unidad de paso 1(t)

1 s

3

t

1 s2

4

tn.1 (n . 1)!

5

tn

1 sn

(n % 1, 2, 3, ...)

n!

(n % 1, 2, 3, ...)

n!1

s

6

e.at

1 s!a

7

te.at

1 (s ! a)2

8

1 tn.1e.at (n . 1)!

9

tne.at

(n % 1, 2, 3, ...)

1 (s ! a)n n! (s ! a)n!1

(n % 1, 2, 3, ...)

10

sen ut

u s ! u2

11

cos ut

s s2 ! u2

12

senh ut

u s . u2

13

cosh ut

s s . u2

14

1 (1 . e.at) a

1 s(s ! a)

15

1 (e.at . e.bt) b.a

1 (s ! a)(s ! b)

16

1 (be.bt . ae.at) b.a

s (s ! a)(s ! b)

C

863

2

2

2

D

www.FreeLibros.org 17

1 1 1! (be.at . ae.bt) ab a.b

1 s(s ! a)(s ! b)

(continúa)

864

Ingeniería de control moderna

Tabla A-1. (Continuación).

f (t) 1 (1 . e.at . ate.at) a2 1 (at . 1 ! e.at) a2

18 19 20

e.at sen ut

21

e.at cos ut

22

un ∂1 . f2

e.funt sen un ∂1 . f2t 1

. ∂1 . f 23

2

(0 a f a 1)

e.funt sen (un ∂1 . f2t . h)

h % tan

.1

∂1 . f2 f

F(s) 1 s(s ! a)2 1 2 s (s ! a) u (s ! a)2 ! u2 s!a (s ! a)2 ! u2 u2n s2 ! 2funs ! u2n s s ! 2funs ! u2n 2

(0 a f a 1, 0 a h a n/2) 1 . ∂1 . f 24

2

e.funt sen (un ∂1 . f2t ! h)

h % tan.1

∂1 . f2 f

u2n s(s2 ! 2funs ! u2n)

(0 a f a 1, 0 a h a n/2) 25

1 . cos ut

26

ut . sen ut

27

sen ut . ut cos ut

28

1 t sen ut 2u

29

t cos ut

30 31

1 u22 . u21

(cos u1t . cos u2t)

(u21 Ç u22)

1 (sen ut ! ut cos ut) 2u

u2 s(s2 ! u2) u3 s2(s2 ! u2) 2u3 (s2 ! u2)2 s 2 (s ! u2)2 s2 . u2 (s2 ! u2)2 s 2 2 (s ! u1)(s2 ! u22) s2 (s2 ! u2)2

www.FreeLibros.org

Apéndice A. Tablas de las transformadas de Laplace

865

Tabla A-2. Propiedades de la transformada de Laplace.

1

ᏸ[A f (t)] % AF(s)

2

ᏸ[ f1(t) u f2(t)] % F1(s) u F2(s)

3

ᏸu

4

C C

ᏸu

5

ᏸu

C

D

d f (t) % sF(s) . f (0u) dt

D D

d f (t) % s2F(s) . s f (0u) . f0 (0u) dt2 2

n

n (k.1) d n n.k f (0u) f (t) % s F(s) . ; s dtn k%1

dk.1 f (t) dtk.1

(k.1)

donde f(t) % 6 7

ᏸu ᏸu u

CI I ñ

CI

D

f (t) (dt)n %

8 9

D

f (t) dt %

ᏸ

I

ä

F(s) 1 ! s s n

f (t) dt

CI

t

D

f (t) dt % 0

I

si

sr0

F(s) s

ᏸ[ f (t . a)1(t . a)] % e.as F(s)

ᏸ[t2 f (t)] %

14 15

ᏸ[tn f (t)] % (.1)n

C D I

1 ᏸ f (t) % t

17

F(s) ds

ᏸ

CI

t

an0

(n % 1, 2, 3, ...) si lím tr0

s

C A BD

t%0u

d2 F(s) ds2

ä

1 a

D

dF(s) ds

dn F(s) dsn

ᏸ f

16

f (t) (dt)k

f (t) dt salidas

11

13

ñ

0

ᏸ[e.at f (t)] % F(s ! a)

ᏸ[t f (t)] %.

CI I

ä

10

12

D

t%0u

1 F(s) n ! ; n.k!1 s k%1 s

f (t) dt % lím F(s)

0

CI

1 f (t) salidas t

% aF(as)

D

f1(t . q) f2(q) dq % F1(s)F2(s)

0

www.FreeLibros.org 18

ᏸ[ f (t)g(t)] %

1 2nj

I

c!jä

F(p)G(s . p) dp

c.ju

866

Ingeniería de control moderna

Por último se presentan dos teoremas frecuentemente utilizados junto con las transformadas de Laplace de la función pulso y de la función impulso. Teorema de valor inicial

f (0!) % lím f (t) % lím sF(s) tr0!

Teorema de valor final

srä

f (ä) % lím f (t) % lím sF(s) trä

sr0

Función pulso f (t) %

A A 1(t) . 1(t . t0) t0 t0

ᏸ[ f (t)] %

A A . e.st0 t 0s t 0s

Función impulso A , t0r0 t0

g(t) % lím % 0,

para 0 a t a t0 para t a 0, t0 a t

ᏸ[g(t)] % lím

t0r0

C

D

A (1 . e.st0) t 0s

d [A(1 . e.st0)] dt0 % lím d t0r0 (t s) dt0 0 As % %A s

www.FreeLibros.org

B

APÉNDICE

Método de desarrollo en fracciones simples Antes de presentar la aproximación de MATLAB para el cálculo de desarrollos en fracciones simples de funciones de transferencia, se presenta la aproximación manual para calcular desarrollos en fracciones simples de funciones de transferencia. Desarrollo en fracciones simples cuando F (s) sólo contiene polos distintos. Considérese F(s) escrita en la forma factorizada F(s) %

B(s) K(s ! z1)(s ! z2) ñ (s ! zm) % , (s ! p1)(s ! p2) ñ (s ! pn) A(s)

para m a n

donde p1, p2, ..., pn y z1, z2, ..., zm son cantidades reales o complejas, pero para cada pi o zj complejo se tendrá el complejo conjugado de pi o zj, respectivamente. Si F(s) sólo involucra polos distintos, puede expandirse en una suma de fracciones simples del modo siguiente: F(s) %

a1 a2 an B(s) % ! !ñ! A(s) s ! p1 s ! p2 s ! pn

(B-1)

donde ak (k % 1, 2, ..., n) son constantes. El coeficiente ak se denomina residuo del polo en s %.pk. El valor de ak se calcula multiplicando ambos miembros de la Ecuación (B-1) por (s ! pk) y suponiendo que s %.pk; esto conduce a

C

(s ! pk)

B(s) A(s)

D

s%.pk

%

C

a1 a2 (s ! pk) ! (s ! pk) s ! p1 s ! p2

www.FreeLibros.org !ñ!

% ak

an ak (s ! pk) ! ñ ! (s ! pk) s ! pk s ! pn

D

s%.pk

868

Ingeniería de control moderna

Se observa que todos los términos expandidos se cancelan, con excepción de ak. Por tanto, el residuo ak se calcula a partir de B(s) ak % (s ! pk) A(s) s%.pk

C

D

Obsérvese que, como f (t) es una función real del tiempo, si p1 y p2 son complejos conjugados, en tal caso los residuos a1 y a2 también son complejos conjugados. Sólo necesita evaluarse uno de los conjugados, a1 o a2, porque el otro se conoce automáticamente. Como ak ᏸ.1 % ake.pkt s ! pk

C D

f (t) se obtiene así:

f (t) % ᏸ.1[F(s)] % a1e.p1t ! a2e.p2t ! ñ ! ane.pnt,

para t n 0

EJEMPLO B-1 Encuentre la transformada inversa de Laplace de F(s) %

s!3 (s ! 1)(s ! 2)

El desarrollo en fracciones simples de F(s) es F(s) %

a1

s!3 (s ! 1)(s ! 2)

%

s!1

!

a2 s!2

donde a1 y a2 se encuentran mediante

C C

a1 % (s ! 1) a2 % (s ! 2) Por tanto:

s!3 (s ! 1)(s ! 2) s!3 (s ! 1)(s ! 2)

D D

C D C D s!3

% s%.1

s!2

%2 s%.1

s!3

% s%.2

s!1

%.1 s%.2

f (t) % ᏸ.1[F(s)] % ᏸ.1

C D 2

s!1

% 2e.t . e.2t,

! ᏸ.1

C D .1

s!2

para t n 0

EJEMPLO B-2 Obtenga la transformada inversa de Laplace de G(s) %

s3 ! 5s2 ! 9s ! 7 (s ! 1)(s ! 2)

Aquí, como el grado del polinomio del numerador es mayor que el polinomio del denominador, se debe dividir el numerador entre el denominador.

www.FreeLibros.org G(s) % s ! 2 !

s!3

(s ! 1)(s ! 2)

Apéndice B. Método de desarrollo en fracciones simples

869

Observe que la transformada de Laplace de la función impulso d(t) es 1 y que la transfomada de Laplace de dd(t)/dt es s. El tercer término del lado derecho de esta última ecuación es F(s) en el Ejemplo B-1. Por tanto, la transformada inversa de Laplace de G(s) se obtiene como g(t) %

d dt

d(t) ! 2d(t) ! 2e.t . e.2t,

para t n 0.

EJEMPLO B-3 Encuentre la transformada inversa de Laplace de F(s) %

2s ! 12 s2 ! 2s ! 5

Observe que el polinomio del denominador se puede factorizar como s2 ! 2s ! 5 % (s ! 1 ! j2)(s ! 1 . j2) Si la función F(s) contiene un par de polos complejos conjugados, es conveniente no expandir F(s) en las fracciones simples usuales, sino en la suma de una función seno amortiguada y una función coseno amortiguada. Observando que s2 ! 2s ! 5 % (s ! 1)2 ! 22 y utilizando las transformadas de Laplace de .at e sen ut y e.at cos ut, reescritas por tanto, ᏸ[e.at sen ut] % ᏸ[e.at cos ut] %

u (s ! a)2 ! u2 s!a (s ! a)2 ! u2

la F(s) dada se escribe como una suma de una función seno amortiguada y una función coseno amortiguada. 10 ! 2(s ! 1) 2s ! 12 % F(s) % 2 s ! 2s ! 5 (s ! 1)2 ! 22 %5

2 (s ! 1)2 ! 22

!2

s!1 (s ! 1)2 ! 22

De aquí se sigue que f (t) % ᏸ.1[F(s)] % 5ᏸ.1 .t

% 5e

C

2 2

D

2

(s ! 1) ! 2 .t

sen 2t ! 2e

! 2ᏸ.1

cos 2t,

C

s!1

D

(s ! 1)2 ! 22

para t n 0

Desarrollo en fracciones simples cuando F (s) contiene polos múltiples. En lugar de analizar el caso general, se utilizará un ejemplo para mostrar cómo obtener el desarrollo en fracciones simples de F(s). Considérese la siguiente F(s): s2 ! 2s ! 3 F(s) % (s ! 1)3

www.FreeLibros.org El desarrollo en fracciones simples de esta F(s) contiene tres términos: F(s) %

b1 b2 b3 B(s) % ! 2! (s ! 1)3 A(s) s ! 1 (s ! 1)

870

Ingeniería de control moderna

donde b3, b2 y b1 se determinan del modo siguiente. Si se multiplican ambos miembros de esta última ecuación por (s ! 1)3, se tiene que (s ! 1)3

B(s) % b1(s ! 1)2 ! b2(s ! 1) ! b3 A(s)

(B-2)

Por tanto, si se supone que s %.1, la Ecuación (B-2) da por resultado:

C

(s ! 1)3

D

B(s) A(s)

s%.1

% b3

Asimismo, la diferenciación de ambos miembros de la Ecuación (B-2) con respecto a s da

C

D

d B(s) (s ! 1)3 % b2 ! 2b1(s ! 1) ds A(s)

(B-3)

Si se supone que s %.1 en la Ecuación (B-3), entonces,

C

D

B(s) d (s ! 1)3 A(s) ds

s%.1

% b2

Diferenciando ambos miembros de la Ecuación (B-3) con respecto a s, resulta

C

D

d2 B(s) 3 % 2b1 2 (s ! 1) A(s) ds A partir del análisis precedente, se observa que los valores de b3, b2 y b1 se encuentran sistemáticamente del modo siguiente:

C

b3 % (s ! 1)3

B(s) A(s)

2

D

s%.1

% (s ! 2s ! 3)s%.1 %2 b2 % %

E C C

DF D

d B(s) (s ! 1)3 ds A(s) d 2 (s ! 2s ! 3) ds

% (2s ! 2)s%.1

s%.1

s%.1

%0 b1 %

E C C

DF D

B(s) 1 d2 3 2 (s ! 1) A(s) 2! ds

1 d % (s2 ! 2s ! 3) 2! ds2 2

s%.1

www.FreeLibros.org 1 % (2) % 1 2

s%.1

Apéndice B. Método de desarrollo en fracciones simples

871

Por tanto, se obtiene f (t) % ᏸ.1[F(s)] % ᏸ.1

C D

C

D

C

1 0 2 .1 ! ᏸ.1 2 !ᏸ s!1 (s ! 1) (s ! 1)3

D

% e.t ! 0 ! t2e.t % (1 ! t2)e.t,

para t n 0

Comentarios. Para funciones complicadas con denominadores que contienen polinomios de orden superior, un desarrollo en fracciones simples puede llevar mucho tiempo. En tal caso, se recomienda el uso de MATLAB. Desarrollo en fracciones simples con MATLAB. MATLAB tiene una orden para obtener el desarrollo en fracciones simples de B(s)/A(s) Considérese la función de transferencia B(s)/A(s): B(s) num b0sn ! b1sn.1 ! ñ ! bn % % n A(s) den s ! a1sn.1 ! ñ ! an donde algunos ai y bj pueden ser cero. En MATLAB, los vectores fila num y den especifican los coeficientes del numerador y del denominador en la función de transferencia. Es decir, num = [b0 b1 ... bn] den = [1 a1 ... an]

El comando [r,p,k] = residue(num,den)

encuentra los residuos (r), los polos (p) y los términos directos (k) de una desarrollo en fracciones simples del cociente de dos polinomios B(s) y A(s). El desarrollo en fracciones simples de B(s)/A(s) se obtiene mediante r(1) r(2) r(n) B(s) % ! !ñ! ! k(s) s . p(n) A(s) s . p(1) s . p(2)

(B-4)

Comparando las Ecuaciones (B-1) y (B-4), se observa que p(1) %.p1, p(2) %.p2, ..., p(n) %.pn; r(1) % a1, r(2) % a2, ..., r(n) % an. [k(s) es un término directo.] EJEMPLO B-4 Considere la siguiente función de transferencia:

www.FreeLibros.org B(s) A(s)

2s3 ! 5s2 ! 3s ! 6

%

s3 ! 6s2 ! 11s ! 6

872

Ingeniería de control moderna

Para esta función, num = [2 5 3 6] den = [1 6 11 6]

La orden [r,p,k] = residue(num,den)

proporciona el resultado siguiente:

[r,p,k] = residue(num,den) r= -6.0000 -4.0000 3.0000 p= -3.0000 -2.0000 -1.0000 k= 2

(Observe que los residuos se devuelven en el vector columna r, las posiciones de los polos en el vector columna p y el término directo en el vector fila k). Esta es la representación en MATLAB del siguiente desarrollo en fracciones simples de B(s)/A(s): B(s) A(s)

2s3 ! 5s2 ! 3s ! 6 %

s3 ! 6s2 ! 11s ! 6

%

s!3

.6

3

.4 !

s!2

!

s!1

!2

Observe que si p( j) % p( j ! 1) % ñ % p( j ! m . 1) [esto es, pj % pj!1 % ñ % pj!m.1], el polo p( j) es un polo de multiplicidad m. En este caso, el desarrollo incluye términos en la forma r( j) s . p( j)

r( j ! 1) !

2!ñ!

[s . p( j)]

r( j ! m . 1) [s . p( j)]m

www.FreeLibros.org Consúltense los detalles en el Ejemplo B-5.

Apéndice B. Método de desarrollo en fracciones simples

873

EJEMPLO B-5 Obtenga el desarrollo B(s)/A(s) siguiente en fracciones simples utilizando MATLAB. s2 ! 2s ! 3

B(s) A(s)

%

(s ! 1)

3

s2 ! 2s ! 3 %

s ! 3s2 ! 3s ! 1 3

Para esta función, se tiene num = [1 2 3] den = [1 3 3 1]

La orden [r,p,k] = residue(num,den)

proporciona el resultado siguiente: num = [1 2 3]; den = [1 3 3 1]; [r,p,k] = residue(num,den) r= 1.0000 0.0000 2.0000 p= -1.0000 -1.0000 -1.0000 k= []

Es la representación en MATLAB del desarrollo en fracciones simples de B(s)/A(s): B(s) A(s)

1 %

s!1

0 !

(s ! 1)

2 2!

(s ! 1)3

Observe que el término directo k es cero.

www.FreeLibros.org

Cap´ıtulo 1

La transformada de Laplace 1.1.

Introducci´ on

La transformada de laplace es un operador LINEAL muy u ´til para la resoluci´on de ecuaciones diferenciales. ´ Laplace demostr´o c´omo transformar las ecuaciones lineales NO HOMOGENEAS en ecuaciones algebraicas que pueden resolverse por medios algebraicos.

1.2.

Conceptos b´ asicos

Denotamos al operador de Laplace por L, y como operador, act´ ua sobre una funci´on f y devuelve otra funci´on L[f ] Definici´ on 1. La transformada de Laplace de una funci´ on f (t), 0 ≤ t ≤ ∞ es una funci´ on L[f ] de una variable real s dada por: Z (F (s) =)L[f ](s) =

Z

∞

f (t)e 0

−st

dt = l´ım

τ →∞ 0

Est´ a definida para todo s ∈ R donde la integral tenga sentido.

1

τ

f (t)e−st dt

(1.1)

CAP´ITULO 1. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

2

Ejemplo 1.1. Si f (t) = c. Calcula su transformada de Laplace. Z

∞

L[c](s) =

−st

ce 0

−st

dt = l´ım ce τ →∞

· ¸ −1 −st τ dt = l´ım c e = τ →∞ s 0

¸ · −1 −sτ 1 −s0 c c = l´ım c e + e =0+ = , s>0 τ →∞ s s s s observa que si s > 0, entonces l´ımτ →∞ e−τ s = 0

Ejercicio.- Comprobar las siguientes igualdades:

1. L[t](s) =

1 , s2

2. L[eat ](s) =

s>0

1 s−a ,

3. L[senbt](s) =

s>a

b , s2 +b2

s>0

Proposici´ on 1. La transformada de Laplace es lineal. Es decir, si L[g](s) y L[g](s) est´ an definidas en un intervalo s > s0 , entonces tambi´en lo est´ a L[αf + βg](s) para cualesquiera α, β ∈ R.

L[αf + βg](s) = αL[f ](s) + βL[g](s)

Ejemplo 1.2. Calcula L[11 + 5e4t − 6sen2t]

L[11 + 5e4t − 6sen2t] = L[11] + L[5e4t ] + L[−6sen2t] =

1 1 2 11 5 12 = 11L[1] + 5L[e4t ] − 6L[en2t] = 11 + 5 −6 2 = + − 2 s s−4 s +4 s s−4 s +4 con s > 0 y s > 4 −→ s > 4

1.3. TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA

1.3.

3

Transformada de una derivada

Supongamos que y 0 (t) es continua para t ≥ 0 y que para toda s > s0 (para alg´ un s0 ) se verifica que e−sτ y(τ ) → 0 si τ → ∞. Entonces se tiene que: L[y 0 ](s) = −y(0) + sL[y](s)

(1.2)

Nota 1. Para que la transformada sea u ´til, debe ser posible recuperar f (t) de L[f ](s). El operador con que haremos esto es lineal, se denota por L−1 y se denomina transformada de Laplace inversa

1.4.

Problemas de valor inicial y transformadas

Consideremos el problema de valor inicial:   y 0 (t) + ay(t) = f (t) (P V I) =  y(0) = y 0

con a constante y f una funci´on continua a trozos en [0, +∞)

´ s > s0 . Para Supongamos que L[y 0 ], L[y] y L[f ] est´an definidas en un INTERVALO COMUN resolver la ecuaci´on hacemos lo siguiente:

1. Aplicamos L a cada miembro de la Ecuaci´on diferencial (usamos que el operador de Laplace es lineal) Resultando: L[y 0 ](s) + aL[y](s) = L[f ](s), s > s0

CAP´ITULO 1. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

4

2. Si el l´ımτ →∞ e−sτ y(τ ) = 0 entonces usamos la f´ormula de la derivada, de manera que la ecuaci´on anterior resulta: sL[y](s) − y(0) + aL[y](s) = L[f ](s) 3. La ecuaci´on anterior, es una ecuaci´on algebraica. Despejando L[y](s), resulta: L[y](s) =

y(0) L[f ](s) + s+a s+a

Ejemplo 1.3. Tomemos, y(0) = 1 y f (t) = 4t3 e−at Podemos calcular (usando que L[tn eat ] =

n! ): (s−a)n+1

L[f ](s) = L[4t3 e−at ] =

24 (s + a)4

Por tanto L[y](s) =

1 24 + s + a (s + a)5

¡ ¢ Debido a la linealidad de L−1 y que L−1 L[y] = y, obtenemos: y(t) = L−1

£ 1 ¤ £ 24 ¤ (t) + L−1 (t) s+a (s + a)5

Por las tablas: y(t) = e−at + t4 e−at

Ejercicio.- Resuelve el ejercicio anterior por t´ecnicas habituales Transformada de derivadas

Bajo ciertas condiciones sobre las funciones y sus derivadas:

L[y 00 ](s) = s2 L[f ](s) − sf (0) − f 0 (0)

1.4. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y TRANSFORMADAS

y en general:

L[y (n) ] = sn L[f ] − sn−1 y(0) − sn−2 y 0 (0) − . . . − sy (n−2) (0) − y (n−1) (0)

Veamos c´omo obtener L[y 00 ] a partir de L[y 0 ]:

L[y 00 ] = L[(y 0 )0 ] = sL[y 0 ](s) − f 0 (0) =

¡ ¢ = s sL[y](s) − y(0) − y 0 (0) = s2 L[y](s) − sy(0) − y 0 (0)

1.4.1.

El m´ etodo de la transformada para resolver un PVI de segundo orden

Usando lo anterior, resolver el siguiente problema de valor inicial:

y 00 − y = 1, y(0) = 0, y 0 (0) = 1 Aplicando la transformada de Laplace a ambos lados, obtenemos:

L[y 00 − y] = L[1] Luego:

s2 L[y] − sy(0) − y 0 (0) − L[y] =

1 s

Despejando, resulta:

L[y] =

sy(0) + y 0 (0) + s2 − 1

1 s

=

1 + 1s 1 1 = − , s>1 2 s −1 s−1 s

5

CAP´ITULO 1. LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

6

Por medio de la tabla, tenemos que: y(t) = et − 1

Teorema 1. Teorema de corrimiento. Bajo ciertas condiciones, se tiene que: L[eat f (t)](s) = L[f ](s − a)

(1.3)

L[f (t − a)H(t − a)](s) = e−as L[f (t)], a ≥ 0

(1.4)

L[f (t)H(t − a)](s) = e−as L[f (t + a)], a ≥ 0

(1.5)

donde se define f (t) = 0 para t < 0

Demostraci´ on.(1.3) se deduce directamente de la definici´on del operador de la transformada de laplace, de modo que al multiplicar una funci´on en el dominio de tiempo por eat se recorre la variable s de la transformada de L[f ](s) por la cantidad a. Para demostrar la f´ormula (1.4), observamos que:

Z L[f (t−a)H(t−a)] =

∞

Z e−st f (t−a)H(t−a)dt =

0

∞

Z e−st f (t−a)dt =

0

∞

e−s(x+a) f (x)dx = e−as L[f ]

0

donde se utiliz´o el cambio de variable t = x + a en la u ´ltima integral. Transformaci´ on de funciones escal´ on. Seg´ un la f´ormula (1.5) del teorema del corrimiento, tenemos que: L[H(t − a)] = L[1 · H(t − a)] = e−as L[1] =

e−as , s>0 s

que pudo haberse obtenido por integraci´ on directa. La transformada de H(t − a) es: Z L[H(t − a)] =

Z

a

e 0

−st

1dt + a

∞

e−st 0dt =

1 − e−as , s > 0, a > 0 s

1.4. PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y TRANSFORMADAS

7

Transformada de una funci´ on a trozos lineal por partes Calcular la transformada:    1,   f (t) =

2 − t,     0,

si 0 ≤ t < 1 si 1 ≤ t < 2 si 2 ≤ t

Esta funci´on la puedo escribir de la siguiente forma:

f (t) = (H(t) − H(t − 1)) + (2 − t)(H(t − 1) − H(t − 2)) = H(t) − (t − 1)H(t − 1) + (t − 2)H(t − 2)

Por tanto:

L[f ] = L[H(t)] − L[(t − 1)H(t − 1)] + L[(t − 2)H(t − 2)] = (usando el teorema de corrimiento) =

1 1 1 s − e−s − e−2s − e−s 2 + e−2s 2 = , s>0 s s s s2

Nota 2. Una funci´ on f (t) puedo activarse en t = a si se multiplica por H(t − a)